2011届高考数学复习课件导数的应用（文）

导数的应用,一、复习目标,理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极值及闭区间上的最值.,会利用导数求最大值和最小值的方法,解决某些简单实际问题.,二、重点解析,(2)用f(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考查各区间上f(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间.,注意若f(x)在(a,b),(b,c)单调递增(减),且f(x)在x=b处连续,则f(x)在(a,c)单调递增(减).,1.利用导数判断单调性的一般步骤:,(1)确定函数的定义域;,(2)求导数f(x);,(3)求f(x)=0的根;,2.求函数极值的步骤:,(3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x)在该点处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在该点处取极小值.,(1)求导数f(x);,(2)求出f(x)=0或f(x)不存在的所有的点;,3.连续函数f(x)在a,b上有最大值和最小值,求最值的一般步骤:,4.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.,(1)求极值;,(2)把极值和f(a),f(b)相比较,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值;,1.函数的单调性,三、知识要点,(1)(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则y=f(x)为增函数,如果f(x)0(x0).显然f(x)=x3在(-1,1)上仍旧是增函数.,极大值与极小值统称为极值.,是函数f(x)的一个极小值,记作:y极小值=f(x0),如果对x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),就说f(x0),2.函数极值的定义,设函数f(x)在点x0及其附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;,(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.,一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,4.求可导函数f(x)的极值的步骤:,(1)确定函数的定义域;,(3)求方程f(x)=0的根;,5.函数的最大值与最小值,在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.,但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值,例如f(x)=x,x(-1,1).,6.设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:,(1)求f(x)在(a,b)内的极值;,(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,(2)求导数f(x);,(4)检查f(x)在方程f(x)=0的根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.,典型例题1,已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.,解:由已知,f(x)=3ax2+6x-1.,而3ax2+6x-10(xR),当f(x)0,当a-3时,f(x)不是减函数.,综上所述,a的取值范围是(-,-3.,典型例题2,求下列函数的最值:(1)f(x)=x3-3x2+6x-2,x-1,1.,解:(1)f(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2),=3(x-1)2+10恒成立,f(x)在-1,1上单调递增.,f(x)min=f(-1)=-12,f(x)max=f(1)=2.,(2)y=3x2-3.,令y=0,得x=-1或1.,当x=1时,ymin=1,典型例题3,已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数f(x);(2)若f(-1)=0,求f(x)在-2,2上的最大值和最小值;(3)若f(x)在(-,-2和2,+)上都是递增的,求a的取值范围.,解:(1)由已知f(x)=x3-ax2-4x+4a,f(x)=3x2-2ax-4.,f(x)=3x2-x-4.,(3)f(x)的图象为开口向上的抛物线且过点(0,-4),由题设得f(-2)0且f(2)0.,8+4a0且8-4a0.,-2a2.,故a的取值范围是-2,2.,典型例题4,又f(x)的图象过点P(0,1),此时f(x)=ax4+cx2+1,偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,(1)求y=f(x)的解析式;(2)求y=f(x)的极大(小)值.,函数在x=1处的切线方程为y=x-2,切线的斜率为1.,解:(1)f(x)是偶函数,b=d=0.,e=1.,f(x)=4ax3+2cx.,1=f(1)=4a+2c.,即4a+2c=1.,切线的切点在曲线上,a+c+1=-1.,典型例题4,由f(x)=0得:,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,解:(2)由(1)知,f(x)=10 x3-9x.,当x=0时,f(x)极大值=1.,极小值,极大值,极小值,偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,(1)求y=f(x)的解析式;(2)求y=f(x)的极大(小)值.,典型例题5,设t0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.(1)用t表示a,b,c;(2)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.,解:(1)函数f(x)的图象过点P(t,0),f(t)=0t3+at=0.,t0,a=-t2.,又函数g(x)的图象也过点P(t,0),g(t)=0bt2+c=0.,c=ab.,两函数的图象在点P处有相同的切线,f(t)=g(t).,而f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,3t2+a=2bt.,将a=-t2代入上式得b=t.,c=ab=-t3.,综上所述,a=-t2,b=t,c=-t3.,(2)方法一,y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).,当y=(3x+t)(x-t)0时,y=f(x)-g(x)为减函数.,函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,t3或t-9.,t的取值范围是(-,-93,+).,(2)方法二,y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.,y=(3x+t)(x-t).,函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,y=(3x+t)(x-t)的图象是开口向上的抛物线,y=(3x+t)(x-t)0对于x(-1,3)恒成立.,则y|x=-10且y|x=30.,即(-3+t)(-1-t)0且(9+t)(3-t)0.,解得t3或t-9.,t的取值范围是(-,-93,+).,典型例题6,已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.,(1)解:函数f(x)是R上的奇函数,f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d对xR恒成立.,d=0.,f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.,当x=1时,f(x)取得极值-2,f(1)=-2且f(1)=0.,a+c=-2且3a+c=0.,a=1,c=-3.,f(x)=3x2-3.,由f(x)0得-1x0得x1.,f(x)在(-,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在,(1,+)上是增函数.,当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2.,故函数f(x)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是,(-,-1)和(1,+);,f(x)的极大值为2.,典型例题6,已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.,(2)证:由(1)知f(x)=x3-3x在-1,1上是减函数,且f(x)在-1,1上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在-1,1上的最小值m=f(1)=-2,对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4恒成立.,解:(1)由已知f(x)=3ax2+2bx-3,依题意得,f(-1)=f(1)=0.,解得a=1,b=0.,3a-2b-3=0且3a+2b-3=0.,f(x)=3x2-3.,由f(x)0得-10,故t的取值范围是5,+).,即f(x)在(-1,1)是增函数,课后练习3,已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0,(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.,解:(1)函数f(x)的图象过点P(0,2),f(0)=2d=2.,f(x)=x3+bx2+cx+2,f(x)=3x2+2bx+c.,f(x)图象在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0,-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,且f(-1)=6.,3-2b+c=6,且-1+b-c+2=1.,即2b-c=-3,且b-c=0.,b=c=-3.,f(x)=x3-3x2-3x+2.,(2)由(1)知f(x)=3x2-6x-3.,课后练习4,解:(1)由已知f(x)=3ax2+2bx-2,函数f(x)在x=-2,x=1处取得极值,12a-4b-2=0且3a+2b-2=0.,由f(x)0得-2x0得x1.,y=f(x)的单调递减区间是(-2,1);,单调递增区间是(-,-2)和(1,+).,f(-2)=f(1)=0.,(2)由(1)知f(x)=x2+x-2.,课后练习5,设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与x轴在原点相切,若函数极小值为-4,(1)求a,b,c的值;(2)求函数的递减区间.,解:(1)函数f(x)的图象过原点,c=0.,函数f(x)的图象与直线y=0相切,f(x)=3x2+2ax+b,0=f(0)=302+2a0+b.,b=0.,f(x)=3x2+