计算机图形学10_曲线曲面参数表示的基础知识PPT课件

.曲线和曲面，目录，曲线曲面概要曲线，曲面参数表现的基础知识曲线构筑方法三次样条参数曲线Beizer曲线b样条曲线，曲线曲面概要，图形学中非常复杂且重要的研究领域。 曲线曲面才是造型的真正支配者，它占据了我们生活和幻想中造型的大部分。 但是，曲线的曲面很难理解，人们很长时间都无法征服它。，曲线曲面的概要，自由曲线和曲面发展过程的自由曲线曲面的最初出现在工作场所，为了得到特殊的曲线，人们用有弹性的细木棒或塑料棒(称为花键)，在几个特殊点(控制点)按住花键，花键把这些点人们不断调整控制点，使样条曲线形状符合设计要求，并沿样条曲线绘制曲线。 1963年，美国波音，弗格森使用参数三次方程式构建曲面，1964年至1963年，美国MIT，康斯在闭合曲线四个边界定义了曲面，1971年，法国雷诺汽车，贝塞尔在使用控制多边形定义了曲线和曲面，1974年， 1975年，美国通用汽车、戈登和李森菲尔德、b样条理论用于形状描述，美国锡拉丘兹大学法国弹簧卷轴提出有理b样条80年代，皮格尔和蒂尔将有理b样条用于非均匀有理b样条、NURBS方法、目录、曲线曲面曲面参数表示的基础知识曲线的构建方法的三次参数曲线Beizer曲线b样条曲线，显式的，隐式的，参数表示曲线和曲面都有非参数表示和参数表示的点用非参数显式的分开表示(1)显式的一般形式： y=f(x )，注： x和y是一对一的(2)默认形式： f(x，y)=0，注：容易判断某个定点是在曲线上还是在曲线的一侧。 在非参数表现形式(显示和默认)中，关于坐标斜率无限大的特殊情况难以用非平面曲线、曲面的常数系数的非参数函数来表现， 参数表现形式的优点：满足几何不变性要求的自由度参数控制曲线和曲面形状例：二维三维曲线表现：二维三维曲线参数表现： (3)参数一般形式： P(t)=x(t )，y(t)、注：曲线上的任意点可以表现为规定的参数t的函数。最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段的参数方程是p (t )=P1 (p2-P1 ) TT 0，1 ； 圆广泛应用于计算机图形，第一象限内单位圆弧的非参数表示，因为其参数形式容易处理：(4)斜率无穷大的问题，所以不中断计算。 (6)对于归一化参数变量t 0，1 ，使其对应的几何分量成为有界，并不需要在其他参数中定义其边界。 (5)在参数方程式中，与代数、几何相关无关的变量完全分离，变量的数量没有限制，因此用户容易将低维空间的曲线扩展到高维空间。 (7)几何分量易于用向量和矩阵表示，简化了计算。 基于这些优点，以后用参数公式研究曲线问题。 (3)如果改变由非参数表示的曲线和曲面，则可以直接将曲线和曲面改变为参数方程，该曲线和曲面由必须改变所有点的参数表示。5.1.2参数样条曲面和曲面通用术语在工程设计中通常采用低阶参数样条曲线。 这是因为，计算高次参数样条花费时间时，数学模型的构筑变得困难，性能变得不稳定，也就是说，任何点的几何信息的变化都有可能引起曲线形状的复杂变化。因此，在实际工作中，二次参数样条曲线： P(t)=A0 A1t A2t2三次参数样条曲线： p(t)=a0a1ta2t3t3，参数曲线的相关术语由参数表示的三维曲线是有界点集合，具有参数、连续的、单值的数学函数形式为： x=x(t )即y=y(t )、z=z(t)t0， 1 )、位置向量：曲线上任意点的位置向量(即坐标)能够用向量p(t )表示，p(t)=x(t )、y(t )、z(t)能够将为什么选择了参数t，物理上三维空间的曲线理解为一个移动点的轨迹，位置向量p在时间上与参数曲线相关的术语是切割向量，曲线上的r、q两点参数分别是t和tt。 当q朝向r时，即t0导数的方向p(t )表示r点的切线方向导数的大小，能够近似地表示p的长度，也能够近似地表示该弧长s，在选择剪切向量、弧长s作为参数时，能够将单位向量、 与参数曲线相关联的术语可以由弧长n表示，并且可以由无数个段p0- p1、p1p2的长度表示，由于当p0和p 1为t0时，p0- p 1可以近似地表示，因此从0到t的弧长可以表示为： 参数曲线基础、参数曲线相关术语向量对于空间参数曲线上的任意点，所有垂直切线向量t的向量都具有束，位于同一平面上，该平面称为法线平面。t (切线向量)、n (主法线向量)、b (副法线向量)是向量积为第3个单位向量，与单位向量和单位向量垂直。 经过这一点与向量平等的法线向量称为曲线的这一点上的副法线向量，将向量称为单位副法线向量。 (从截面)、5.1参数曲线的基础，参数曲线的关联术语曲率和曲率半径：曲率几何意义是曲线相对于单位切线矢量的弧长的旋转率，即从P(s )到P(s )的弧的弯曲程度。参数曲线基础、参数曲线相关术语挠曲率：等于副法线方向(或紧密平面)的弧长的旋转率，反映曲线的扭曲特性。 由于平面曲线中紧密的平面是存在曲线的平面，因此副法线向量没有固定，所以旋转率始终为0，非平面曲线的副法线向量发生变化，曲线产生扭曲。 t (切线向量)、n (主法线向量)和b (副法线向量)、曲线构造方法、插值法给出规则的数据点Pi、i=0、1、n，构筑依次通过这些数据点的曲线，插值这些数据点，将构筑的曲线称为插值曲线。 近似法是，按照在某种意义上与给定的数据点最接近的方式构筑曲线(但不一定通过)，将这些数据点近似，将构筑的曲线称为近似曲线。 插值和近似总称为拟合。在曲线构筑方法、之前的插值法中，如果给定的点(模型值点)过多，则难以构筑插值函数，因此可以适当地废弃模型值点。 类型值点：用于确定曲线和曲面的位置和形状，以及相应曲线或曲面通过的点。 控制顶点用于确定曲线和曲面的位置和形状，但对应的曲线或曲面不一定通过。 插值点：插入在类型值点或控制点值之间的一系列点。 并且，曲线构造方法、插值法线性插值：假定给定函数f(x )的两个不同点x1和x2处的值，用线性函数y=ax b近似f(x )，从而称为线性插值函数。 此外，已知的是内插抛物线内插(二次内插) :的三个不同点x1、x2和x3的函数值是y1、y2和y3，并且得到结构函数以使得在xi处f(x )的值等于在xi处的值。曲线的构造方法、光顺：曲线的拐点不多。 对于平面曲线，相对平滑的条件是，不存在二维几何连续性的多个拐点和奇点之间的曲率变化较小，参数连续性零阶参数连续性标记为C0，这意味着两个相邻曲线段在交点处具有相同的坐标。 如图所示。一次参数连续性，记为C1，意味着相邻的两个曲线段在交点处具有相同的一次导数。 如图所示。二次参数连续性，记为C2，意味着相邻的两个曲线段在交点处具有相同的一次和二次导数。 如图所示。、目录、曲线曲面概要参数曲线基础曲线的构建方法二次插值样条曲线三次样条曲线(Hermite、Cardinal样条曲线) Beizer曲线b样条曲线、二次插值样条曲线、二次插值样条曲线的数学公式， 在通过拟合产生样条曲线的许多方法中，我们首先以相对简单的二次样条曲线抛物样条曲线产生方法为基础，研究如何使用插值方法产生通过一个离散型值点的样条曲线。 根据离散点的要求，我们必须首先解决给定定点所定义的抛物线问题。 有三个点P1、P2和P3不在同一条直线上，现在要求在这给定的三个点上定义抛物线。 如图所示。 当通过三个点的二次曲线由向量表达时，抛物线的表达式是p(t)=a1a2t3t2(0t1)(6-1)，并且由于抛物线是单条二次曲线，因此表达式中的参数t的最高阶数为2，并且参数t在0-l之间取值。 即，如果决定式(6-1)的3个系数A1、A2、A3，则决定抛物线的形式，并相应地决定抛物线的曲线图案。 因此，我们的工作就是通过设定一些已知的条件来求出这三个系数。确定这三个系数(现在未知数)需要三个独立的条件。 我们可以给予这三个独立条件。 该抛物线通过P1、P2、P3这3点，而抛物线段以P1点为起点。 也就是说，参数t=0时，曲线通过P1点的抛物线段以P3点为终点。 即参数t=1时，曲线通过P3点参数t=0.5时，曲线超过P2点。 在这三个设定的条件下，结构的抛物线段如图6.3所示。 此外，图6.3过去3点定义的二次曲线，图中的数据点a点为p1 P3的中点，AP2=P2Q，抛物线在P1点平行于P1Q，在p 3点平行于QP3，曲线在P2点平行于切线P2。 根据以上设定的条件，能够列举出t=0:P(0)=A1=P1t=1:P(1)=A1 A2十A3=P3(6-2)t=0.5这三个方程式的P(0.5)=A1 0.5A2 0.25A3=P2， 解决以上三个联立方程式： a1=p1p3=a1a3=p1a2a 3a2=p3- p1- a3p2=a 10.5 a 20.25 a 3，即4 p2=4a 12 a3=4p 12 (p3- p1- a3) a3=2p 12 p3- a3a3=2p 12 p3- p4p 2或更高等式由于A2=4P2-P3-3P1，因此通过求解联立方程式而得到3个系数a1， A2是A3，分别是a1=P1 a2=4p2- P3-3 P1 (6-3) a3=2p12 P3-4p 2，若将求出这三个系数的值代入抛物线的式(6-1)，则p (t )=a1 a2 T3 t2=P1 (p4p 2P33 P1 ) t (2p12 P34p2) T2=(2ttp2) 可以将p2(2t 2t ) p3(6-4) (0t1 )式(6-4)改写为矩阵形式：以上的导出式是我们要求的不在直线上的3点： P1(x1，y1)、P2(x2，y2)和P3(x3，y3)的抛物线方程式。 此时，根据参数t的取得方法，可以逐个计算曲线上的数据点，用顺序线描绘曲线图。 此外，二次内插样条曲线的加权合成可以设置离散型值点阵pi (I=1，2，2，n )，根据方程式(6-5)为每个相邻的三点制作抛物线，并且由于具有n个型值点，因此这样的抛物线的线段总共可以制作n-2条。 如图6.4所示。 此外，图6.4产生n-2段抛物线，因此n-2段抛物线段中第I段是通过Pi、Pi 1、Pi 2这3点，从而si (ti )=(2ti2-3ti1) pi1(2ti2- ti2) pi2(0ti1 ) (6-7)， 同样，第I个抛物线段为通过pi1的Pi 2和Pi 3为三点，因此si1(ti1)=(2ti 123 ti1)、pi1(4ti 14 ti 12 )、pi2(2ti 12ti1)、pi3(0ti 11 ) (6-8)，通过四点描绘的两个抛物线段对于Si 1(ti1 )和si1模式，如图6.5所示，在图6.5Si和si1，通常两个曲线之间的重叠部分中，两个抛物线不能重叠。 例如，在图6.5中，Si和Si 1这两条抛物线在Pi 1和Pi 2这两点之间成为重叠区间，在该区间中，Si和Si 1自然地再合成一条曲线的可能性较低。中选择所需的墙类型。 对于拟合曲线，整个值点列必须用平滑曲线连接。 为了实现这个，在Si和si 1这两条曲线的共同区间，需要按照一定规律将其结合成一条曲线的方法，该结合方法是加权合成。 在加权合成过程中，必须首先选择两个合适的加权函数。 如果这里所选择的两个权重函数分别是f(T )和g(T )，加权合成曲线是Pi 1(t )，则pi1(t )=f(T )-si (ti )-g(T )-si1(ti1).在抛物样条曲线中，我们所选择的权重函数f (t )和g (t )是简单的线性函数，它们是抛物样条曲线它们分别为f(T)=l-Tg(T)=T(OT1 )，式： Pi 1(t)=f(T)Si(ti) g(T)Si 1(ti 1)能够改写为pi1(t )=(1- t ) si (ti ) TSI1(ti1) (6-9)，在式(6-9)中，能够改写为t、t 如果这三个变量不统一的话，下一个工作就不能完成，必须先统一式中的变量。 此外，对于曲线段Si(ti )，参数ti的可取值范围是0ti1，但是曲线段Si(ti )和曲线段Si 1(ti 1)彼此交叠的部分是原始曲线段的后半部分，即，从点Pi 1到Pi 2的部分，并且在该部分中类似地，对于曲线段Si 1(ti 1)，在起点Pi 1和Pi 2之间的时间段内，参数ti 1的可能值范围是0ti 10.5。 对于加权函数f(T )和g(T )，变量t可取值的范围为0T1。 另外，为了统一式(6-9)中的3个参数： t、ti和ti 1，必须选择t作为统一后的参数，将原来的3个参数t、ti和ti 1平均化为唯一包含t的形式，决定取适合于t的值的范围。 如果将t的值的范围设为0t0.5，则以上的3个参数变量为， 由于T=2tti=0.5 t0t0.5ti 1=t，因此式(6-9)能够从新参数变量t改写为pi1(t )=(1-2t ) si (t0.5)2TSI1(t ) (6- 10 )，在此，式(6-9)表示1-2 t=f (t )2t=g (t ) si (t ) 若将上述4个式子代入