等差数列的前n项和性质及应用

2.3.2等差数列的前n项和的性质及应用,等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,复习回顾,1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则Sn=An2+Bn,令,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,a80,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an0且an+10求得.,练习:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14,C,2.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,n2d,性质2:为等差数列.,2.等差数列an前n项和的性质,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,(2)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶S奇=,nd,性质3:(1)若项数为奇数2n1,则S2n-1=(2n1)an(an为中间项),此时有:S偶S奇=,an,两等差数列前n项和与通项的关系,性质4:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则S9=_,81,3.等差数列an前n项和的性质的应用,解法1：依题意知，S3=9，S6=36,将它们代入公式,解法3：S3，S6S3，S9S6，成等差数列,a7+a8+a9=?,例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=()A.85B.145C.110D.90,A,3.等差数列an前n项和的性质的应用,例3.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.,5,等差数列an前n项和的性质的应用,例4.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.,例5.设数列an的通项公式为an=4n-24,则|a1|+|a2|+|a3|+|a20|=.,10,480,等差数列an前n项和的性质的应用,an=-4n+24,练习2：已知在等差数列an中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,4.数列前n项和其他几种类型,1、裂项相消法,4.数列前n项和其他几种类型,1、裂项相消法,4.数列前n项和其他几种类型,2、倒序相加法,课堂小结,1.根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求的最值.,2.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,n2d,性质2:为等差数列.,2.等差数列an前n项和的性质,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,(2)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶S奇=,nd,性质3:(1)若项数为奇数2n1,则S2n-1=(2n1)an(an为中间项),此时