2020届高三数学二轮复习（1）数形结合精品教学案

【专题1】数形结合思想【考察分析】在高考试题中，数字结合的主题随处可见，以图像为工具、载体，寻求解题思路，制定解题方案，体现数字结合简洁灵活的特点往往是填空题。从最近3年的新课程水平的答案来看，关于数学结合的题目很少，预计到2020年有可能加强。 对数形结合等思想方法的考察，是对数学知识更高水平的抽象化和摘要能力的考察，是对学生思维质量和数学技能的考察，是新科目考试的明确命题方向。1 .数形结合是一种重要的数学思想方法，通过将数和数的关系与图形相对应，利用图形研究数的关系，利用数的关系研究图形的性质。 可以具体化抽象问题，简化复杂问题。 “缺少数据时不直观，形式少时不微妙”，利用数据结合的想法可以深刻揭示数学问题的本质。2、数形结合的思想方法在高考中占有十分重要的地位，考纲指出“数学科命题在考察基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考察，注重对数学能力的考察”，运用数形结合的思想方法，可以有效提高思维质量和数学技能。3 .“对数学思想方法的考察是对数学知识更高层次的抽象和摘要的考察，考察时必须与数学知识相结合”，在数学结合的思想方法中，平时学习时需要理解概念的几何意义和图形数量，为数学结合的思想打下坚实的知识基础。4 .函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图和轴表示等为“以形式表示数”，分析几何方程、倾斜、距离公式，向量的坐标表示为“数助形式”，导数为数形式耦合的产物，它们都提供了“数形式耦合”的知识平台。5 .在数学学习和解题的过程中，用数形结合的方法求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题目的地图，帮助解题。 在数形结合的方法中，得到了工作的一半效果，“数形结合如千，数形分离万事休”。看了多年的高考问题，为了解决数学上的抽象问题，灵活运用数学结合的想法，能发挥工作的一半效果，数学结合的重点是研究“形式上帮助数学”。【知识总结】数形结合的数学思想：包括“用形帮助数”和“用数帮助形”两个方面，其应用大致分为两种情况：一是根据形的生动性和直观性明确数之间的关系，即以形为手段，以数为目的，例如应用函数的图像直观地说明函数的性质利用数的正确性和规范的严密性来查明某些形式的属性，即以数为手段，以形式为目的，例如应用曲线的方程式来正确地查明曲线的几何性质。应用数形耦合思想，要注意以下数和形的转换数字结合思想解决的问题常常如下(1)建立函数模型，结合该图像求出参数的可取范围(2)建立函数模型，结合其图像研究方程根的范围(3)建立函数模型，结合其图像研究量与量的大小关系(4)建立函数模型，将其几何意义研究函数的最高值问题与证明不等式相结合(5)建立立体几何模型研究代数问题(6)建立分析几何学中斜率、截距、距离等模型研究的最高值问题(7)建立方程模型，求根的个数(8)研究图形的形状、位置关系、性质等通常应用的数形联接的两个要点是：形助数中经常使用的是，通过经由轴利用函数图像的利用单位圆的数学式的结构特征来分析几何学方法在数助形中经常使用的是根据几何轨迹的数量关系的运算结果和几何定理的结合。数学结合思想是解答高考数学问题的一般方法和技巧，尤其是在选题、填补问题时发挥了特殊的效果，因此我们要求在平时的学习中加强这方面的训练，提高解题能力和速度。 在具体操作中，应注意以下几点： (1)精确绘制函数图像，注意函数的定义域；(2)使用图像方法讨论方程(特别是包含参数的方程)的解的数量是行之有效的方法作成两个函数的图像，从图解中得到了关注.抽象的数学语言和直观的几何图像可以有机地结合起来考虑，促进抽象思维和形象思维的协调复合，通过规范的图形和模式的图形的观察分析，使抽象化直观、直观、精确，可以简单地解决问题1 .数形耦合的根(1)基于坐标系的问题数解通过建立正交坐标系、复平面，可以使图形问题代数化。 这个方法在解析几何学方面相当充分(大学入学考试中主要将解析几何学作为知识载体进行考察)。 需要强调的一点是，在形问题数解的情况下，在辅助角导入三角函数也是常用的技巧(这是因为使用三角式可以大幅度缩短代数推论)。实现数形耦合，实数与轴上点的对应关系函数与图像的对应关系曲线与方程的对应关系以几何要素和几何条件为背景，确立多个、三角函数等概念给出的方程式和代数式的结构具有明显的几何意义。 的双曲馀弦值。一般方法包括：解析法：确立适当的坐标系(正交坐标系、极坐标系)，导入坐标，将几何图形转换为坐标间的代数关系。三角法：将几何问题与三角形沟通，并运用三角代数知识探索结合的途径。向量法：将几何图形向量化，利用向量运算解决几何中的摇角、垂直、角度、距离等问题。 把抽象几何推理成代数演算。 特别是空间向量法有助于解决立体几何中的平行、垂直、角度、距离等问题。(2)通过改变结构来解决问题许多代数结构具有相应的几何意义，从而能够巧妙地转换数和形。 例如，可以使a0和距离相互化，使a2和面积相互化，a2 b2 ab=a2 b2-2和馀弦定理进行通信，abc0且ba的a、b、c和三角形的三个边进行通信，有序的实数对和点进行通信，使二维线性方程组成直线经常表现此代数结构向几何结构的变换，并且函数的图像也是用于实现数形变换的有效工具之一，基于此函数思想和数形耦合思想总是运用其来充分发挥作用。一般转换方法如下：方程式和不等式的问题常转化为两个图像交点的位置关系问题，利用函数的图像和性质解决问题。利用平面向量的数关系和模型的性质求代数式的性质。(3)建立几何模型。 通过代数式的结构分析，构建符合代数式的几何图形，与正方形的面积互化，与体积互化，与连立定理交流等。(4)分析几何学中曲线与方程的关系，利用重要的公式(如两点间的距离、从点到直线的距离、直线的倾斜度、直线的截距)、定义等求代数式的图形背景和关系性质。2 .数形结合原则(一)等价性原则；数形耦合时，代数性质和几何性质的转换应等价。 不然的话，解题上会出现漏洞。 在某些情况下，由于图形的界限，表现数的一般性不完全。 这种情况下，图形的性质只是直观易懂的说明，这也是抽象严格证明的诱导。(2)双向原则数形耦合需要几何直观分析和代数抽象探索，双方互补，仅代数问题的几何分析(或仅几何问题的代数分析)往往不能成功。例如，在分析几何中，我们主要采用代数方法来研究几何问题，但在很多情况下，通过利用图形充分挖掘几何特征，复杂的问题得到简化。(三)简单性原则；找到解决问题的方法后，使用几何方法、代数方法，或者两种方法并用来阐述解决问题的过程，这种方法比较简单。 追求流动性的模式的代数问题不使用几何学的方法，而是几何学的问题寻找代数的方法。【考试分数的例句】问题类型1 :数轴，在韦恩图集合中的应用例1.(1)(2020大学入学考试浙江处理1 )设集合A=x|1x4、集合B=x|-2x-30时，A(CRB)=()a.(1，4 ) b.(3，4 ) c .分析： b； b= x|- 2x-3-0 = a(CRB )= x|1 x 0)，函数的图像从左到右是点a、b，函数的图像从左到右是c，d .线段AC和BD在x轴上的投影长度分别是a、b、m变化时的最小值是()A. B. C. D分析： b； 如果在同一坐标系中y=m，y=(m0)，则图像如下由=m，得，=，得根据问题的意思是.在同一坐标系中生成y=m，y=(m0)，能够结合图像求解.问题类型3 :解决方程、不等式问题例3 .如果方程式中有唯一的解，则求实数m的可取范围。分析： (1)原方程是设定在同一坐标系上绘制图像(图)。 从原始方程式在(0，3 )内有唯一的解，并且已知的图像只有一个共同点，m的可取值范围是或。例4.(2020大学入学考试真题浙江处理17 )设置ar时，x0时(a-1)x-1(x 2-ax-1)0时，a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析：本问题按一般观点分为以下两种情况(a )、不明白(b )不明白受经验的影响，有可能是本题错了或者解不开本题。 实际上，在x0的整个区间中，我们能够将其分为两个区间(为什么是两个区间)，在各个区间中正或负是一定的。可知函数y1=(a-1)x-1，y2=x 2-ax-1通过定点p (0，1 ) .如果令函数y1=(a-1)x-1:y=0，令m (，0 )，则也能够分析为a1查找函数y2=x 2-ax-1 :明显过了m (，)，代入：得到解：截断，得到答案分数评价：数形结合的想法是研究数学问题的基本方法。 深入理解这一观点有助于我们发现问题，分析问题，提高解决问题的能力。问题类型4 :求解三角函数、平面向量问题例5.(1)(2020大学入学考试的真题江西处理7 )在直角三角形中，点是斜边的中点，点是线段的中点，=()A.2 B.4 C.5 D.10分析：将d直角三角形放入直角坐标系时，如图所示所以呢，所以，选择d(2)(2020年陕西15 )如图所示，在平面内有3个矢量，其中，与的角度为120，与的角度为30，并且|=|=1，|=如果= (，R )，则 的值成为。分析： (1)研究三角函数的计算、分析化应用意识。解法AB=6，AC=BC=，馀弦定理CE=CF=，再从馀弦定理中得到并求解解法2 :坐标化。 AB=6，AC=BC=，f (1，0 )，e (-1，0，0 )，c (0，3 )应用向量的角度公式：答应求解。(2)6； 分析： ()2=( )2=2OA2 2OB2 2=12； 与注意的角度为30，与的角度为120，容易得到结合图案的角度为90，=0，这样就可以得到答案。综合近年来的高考命题，平面向量单纯通过演算解决问题是不够的，需要结合几何学特征。例6.(2020全国卷1句数)圆的半径为1，PA、PB为该圆的2条切线，a、b为2个切点，最小值为()A. B. C. D答案： d【解析1】如图所示，设PA=PB=，APO=，则为APB=，PO=，=命令，即实数，因此了解或者.因此.此时.【解析2】兑换：【解析3】建系：园的方程式是评