由一道联赛题猜想的计数公式

由一道联赛题猜想的计数公式1993年全国高中数学联赛中有一道关于自然数两用数字卡片统计的打印试题：三位数（100，101，999）共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片打印一个三位数，有的卡片所打印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861（1倒过来看仍视为1）；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡两用，于是至多可少打印 张卡片。为便于猜想n位自然数中倒过来看能两用的数字卡片的计数公式，先以最简单的一卡两用问题谈起。例1 在自然数中，倒过来看仍是一位数，两位数的两用数字卡片各可少打印多少张？解（1）一位数中能两用的数字卡片有6和9，故可少打印1张数字卡片；（2）能两用的二位数只能由1、6、8、9组成，这种二位数有C14C14个。又因11，69，88，96倒过来看仍是原数，故两用的二位数卡片可少打印（C41C41-4）=6张。例2 倒过来看仍是三位数的两用数卡应打印多少张（联赛题改编）？解 能两用的三位数的十位上数字可取0、1、6、8、9中的某一个，而百位上与个位上的数字只可能取1、6、8、9中的某一个，这样的三位数共有C51C41C41个，但其中有的三位数倒过来看仍是原数，如619、808等，这种数的十位上数字只能取0、1、8中的某一个，百位上数字可取1、6、8、9 中的某一个，且这时个位上数字就随之确定了，如101、111、181、609、619、689、808、818、906、916、986，共有C31C41个。故两用的三位数卡片可少打印（C51C41C41-C31C41）=34张。例3 倒过来看仍是四位数的两用数卡可少打印多少张？解 能两用的四位数由0、1、6、8、9组成，而0不能排在首位或个位上（因倒过来看时个位就变为首位了），这种四位数共有C41C41C51C51个；但其中倒过来看仍是原数的有1001、1111、1881、1691、1961等，这种四位数的千位和个位上的数字只能取1、6、8、9中的某一个，且千位上的数字取定之后，个位上的数字就随之确定了；同样的方法可知百位和十位上的数字可取0、1、6、8、9中的某一个，且百位上的数字取定之后，十位上数字就随之确定了，因此倒过来看仍是原数的四位数有C41C51个，故两用四位数卡有C41C41C51C51-C41C51张，即可少打印的四位数卡有（C41C41C51C51-C41C51）=190张。例4 倒过来看仍是五位数的两用数卡可少打印多少张？解 在两用的五位数中，万位和个位上的数字只能取1、6、8、9中的某一个，其他数位上的数字可取0、1、6、8、9中的某一个，这种五位数共有C41C41C51C51C51个。但其中倒过来看仍是原数的有68089、68189等等。这种数中间一位即百位上数字只能取0、1、8中的某一个；万位上数字可取1、6、8、9中的某一个，且对应的个位上数字就随之确定了；同样的方法可知千位上数字可取0、1、6、8、9中某一个，且对应的十位上数字也就随之确定了，因此，这种倒过来看仍是原数的五位数有C41C41C51个。故两用的五位数卡可少打印（C41C41C51C51C51-C31C41C51）=970张。由以上各例的解答过程，我们容易归纳出一般性的统计方法：在打印n位自然数中，倒过来看仍是n位数的两用数字卡片可少打印的张数记为an，则计数公式为：当n=1时，a1=1；当n2时，通项公式为当n=1，2，3，4，5时，可用前面各例所求结果检验公式的正确性。当n=6，7，8，可逐一分析，所求结果与直接用公式计算出的结果是一致的。分奇数或偶数，用数学归纳法可证明公式。证（1）设n为偶数时，。（i）当n=2时，由例1所求结果a2=6，知公式成立；（ii）设n=2k(kN+)时，。则n=2(k+1)时，即由2k位自然数变到2k+2位自然数时，首位与个位上数字排法不变，即都只能取1、6、8、9中某一个，其他数位上数字排法也不改变，即都只能取0、1、6、8、9中某一个，只是数位增加了两位，因此得，公式也成立。由（i）、（ii）两步知n为偶数时公式都成立。（2）设n为奇数时，（n3）。（i）当n=3时，由例2所求结果a3=34，知公式成立；（ii）设n=2k-1时，。则n=2k+1时，即由2k-1位自然数变到2k+1位自然数时，首位与个位上数字排法不变，即都只能取1、6、8、9中某一个；正中间数位上数字排法不变，即都只能取0、1、8中某一个；其他数位上数字排法也不改变，即都只能取0、1、6、8、9中某一个，只是数位增加了两位，因此得，公式也成立。由（i）、（ii）两步知n为奇数（n3）时，公式都成立。故所得的计数公式是正确的。运用上面的分析方法还可研究下面的问题。思考题 倒过来看仍是五位数