高中数学《任意角的三角函数-三角问题》文字素材3 苏教版必修4

数形结合思想三角问题中的妙用解答某些三角问题时，如能依据题设条件及所给式子的结构特征，适时构设单位圆，数形结合，可使这些问题简捷、明快地获解。现举例解析如下：例1：求的值。解析：构设如图1所示的单位圆，显然点在此单位圆上，设线段的中点为，连，则垂直平分，注意到，所以，而，所以由可得，即。例2：求函数的值域。解析：构设如图2所示的单位圆，显然点是单位圆上任意一点，点是单位圆外的一定点，则，设为过的动直线与单位圆相切的两切点，显然有，所以，而，所以，即所求函数的值域为。例3：已知，求的值。解析：构设如图3所示的单位圆，显然点均在此单位圆上，设线段的中点为，连，则垂直平分，不妨假设，并注意到，所以，而，所以由三角函数的定义可得：，即，所以。例4：设是方程的两不等的实根，求。解析：构设如图4所示的单位圆，显然点是该单位圆上任意一点，则是直线与单位圆的两交点，设线段的中点为，连，则垂直平分，不妨假设，并注意到，所以，而，所以由可得：，。通过以上几例的解析可以看出：解答某些三角问题时，如能构设出单位圆，数形结合，不仅能使这些问题的解答简捷明快，而且还能使这些问题的解答独辟蹊径，强化数形结合的意识。三角函数线的应用例举OAMPTxy的终边以原点为圆心、半径为1的圆称为单位圆，它与x轴正半轴的交点是A（1，0）。设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴于M。再过A点作单位圆的切线交角的终边（或终边的反向延长线）于T。右边的四个图中分别讨论了角的终边在第一、二、三、四的情形。由于sin=MP，cos=OM，tanxyOAMTP的终边xyOAMTP的终边=AT，我们把有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，它们统称为三角函数线。 关于三角函数线，要注意以下几点： （1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。 （2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。 （3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在。 （4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角并不是一一对应的。一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个的值。 以下通过事例来谈谈三角函数线的应用。 例1比较下列两个值的大小： （1）sin7900与sin(-1900)；（2）cos880与cos(-4600)；（3）tan(-3400)与tan2500 。xyOP1M1P2M27001700 分析：先在00到3600的范围内找出与这些角终边相同的角，确定终边的位置，再借助于正弦线、余弦线、正切线的长度及方向来比较同名三角函数值的大小。 解：（1）， ， 由图知，正弦线M1P1与 M2P2均为正，M1P1 M2P2，M2xyOP2M1P126001600 即sin7900sin(-1900) 。 （2）， ， 由图知，余弦线OM1与 OM2均为负，且OM1的长度大于OM2的长度，故OM1 OM2，AT2OxyT12500200 ，即cos880cos(-4600) 。 （3）， 由图知，200与2500的正切线分别为AT1和AT2，AT1和AT2均为正，且AT1AT2， ,即tan