2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象导学案 新人教A版必修4

14.3正切函数的性质与图象 教材研读预习课本p4245，思考以下问题1正切函数有哪些性质？2正切函数在定义域内是不是单调函数？要点梳理正切函数ytanx的图象与性质解析式ytanx图象定义域值域r周期奇偶性奇单调性在开区间(kz)内都是增函数自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1正切函数的定义域和值域都是r.()2正切函数在整个定义域上是增函数()3正切函数在定义域内无最大值和最小值()答案1.2.3.思考：正切函数的定义域是什么？提示：求下列函数的定义域：(1)ytan；(2)y.思路导引将x看成一个整体由正切函数ytanx的定义域为求解解(1)由xk(kz)得，xk，kz，所以函数ytan的定义域为.(2)由tanx0得，tanx.结合ytanx的图象可知，在上，满足tanx的角x应满足0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令xk，kz，解得x.跟踪训练函数f(x)的定义域是_解析若使函数f(x)有意义，需使tanx10，即tanx1.结合正切曲线，可得kxk(kz)所以函数f(x)的定义域是(kz)答案(kz)思考1：诱导公式tan(x)tanx说明了正切函数的什么性质？tan(kx)(kz)与tanx的关系怎样？提示：周期性tan(kx)tanx.思考2：诱导公式tan(x)tanx说明了正切函数的什么性质？提示：奇偶性 (1)求f(x)tan的周期；(2)判断ysinxtanx的奇偶性思路导引解(1)利用t，解(2)时先看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f(x)与f(x)及f(x)的关系来判断奇偶性解(1)由正切函数的最小正周期，可得t.f(x)tan的周期是.(2)定义域为，关于原点对称，f(x)sin(x)tan(x)sinxtanxf(x)，它是奇函数与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数yatan(x)的最小正周期为t，常常利用此公式来求周期(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(x)与f(x)的关系 跟踪训练下列函数中，既是以为周期的奇函数，又是上的增函数的是()aytanx bycosxcytan dy|sinx|解析由于ytanx与ytan是奇函数，但是只有ytanx的周期为，ycosx与y|sinx|是偶函数答案a思考：从正切线上观察正切函数值，在上是增大的吗？提示：是的 (1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小思路导引将x看成一个整体，比较大小时应将角化到同一个单调区间内解(1)由kxk(kz)得，2kx2k，kz，所以函数ytan的单调递增区间是(kz)(2)由于tantantantan，tantantan，又0，而ytanx在上单调递增，所以tantan，即tantan.变式在(1)中ytan的单调减区间是_解析ytantankxk，kz，解得2kx0，由于ytanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，求得x的范围即可若0，可利用诱导公式先把yatan(x)转化为yatan(x)atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可(2)运用正切函数单调性比较大小的方法运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内运用单调性比较大小关系【温馨提示】正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间(kz)上，都是从增大到，故正切函数在每一个开区间(kz)上是增函数，但不能说函数ytanx在定义域内是增函数跟踪训练(1)函数ysinxtanx，x的值域是_(2)比较大小：tan_tan.解析(1)函数ysinx，ytanx在x内均是单调递增函数，ysinxtanx在上是单调递增函数，函数ysinxtanx的值域为.(2)tantantan，tantantan，又0，ytanx在内单调递增，tantan.答案(1)(2)课堂归纳小结1本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用2要掌握与正切函数性质有关的三个问题(1)正切函数的定义域，见典例1；(2)与正切函数有关的周期性、奇偶性问题，见典例2；(3)正切函数的单调性及应用，见典例3.3本节课的易错点有两处(1)易忽视正切函数ytanx的定义域为，如典例1的第(1)题问(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴.1函数ytan的最小正周期是()a4 b4 c2 d2解析函数ytan的最小正周期t2，故选d.答案d2函数f(x)tan的单调递增区间为()a.，kzb(k，(k1)，kzc.，kzd.，kz解析kxk，kz，kxsinx(由三角函数线可得)，在上，ytanx与ysinx只有一个交点(0,0)，结合ytanx与ysinx的周期性，可知它们交于点(，0)，(0,0)，(，0)，故选c.