高中数学教学论文 函数高考题的变式训练（通用）

函数高考题的变式训练改编陈题是高考数学命题的途径之一，近几年的高考几乎每年都有改编自课本习题、历年高考题、竞赛试题的题目。平常教学中，进行有效的变式教学和变式训练，对培养学生思维的灵活性和创造性都起着积极的作用。函数是中学数学最重要的内容之一，其试题灵活性大，综合性强，出题方式多种多样，成为历年高考命题的重中之重。本文对近两年的部分函数高考题，进行变式训练。高考真题1(2020年高考湖南理科卷第8题)用表示两数中的最小值.若函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）A-2 B2 C-1 D1【参考答案】由右图可以看出，要使的图象关于直线对称，则.故选【D】.变式训练1：用表示两数中的最小值.若函数的图象关于直线对称，求的值.【解析】函数和的零点分别是和，结合原题的解答图象，由对称性得，即.变式训练2：用表示两数中的最小值.函数的图象关于直线对称，若方程恰有2个不相等的实数根，求的取值范围.【解析】由原题知，分别作出函数和的图象，数形结合得或.变式训练3：用表示两数中的最小值.给定函数，若不等式恒成立，求的取值范围.【解析】分别作出函数和的图象，数形结合得，即.【小结】原题通过新定义考查学生的创新能力，考查函数的图象，考查考生数形结合的能力.变式题通过使条件一般化，并结合方程、不等式的有关知识进行训练，依然重视考查学生的数形结合的能力。高考真题2(2020年高考全国理科卷第11题)函数的定义域为，若与都是奇函数，则( ) sA.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数【参考答案】由函数是奇函数知 由函数是奇函数知 由知，由知所以，即所以函数是以4为周期的函数.由知，即所以函数是奇函数.故选【D】.变式训练1：对任意的函数，在同一个直角坐标系中，函数与函数的图象恒（ ）A.关于轴对称 B.关于直线对称C.关于直线对称 D.关于轴对称【解析】函数和的图象关于直线（即轴）对称，由函数图象平移变换理论得，函数与（即）的图象关于直线对称，故选【B】.变式训练2：函数在上是增函数，且函数为偶函数，试确定的大小关系.【解析】由函数为偶函数得：，故函数关于直线对称，且开口向下，画出函数的简图，由简图显然有.变式训练3：函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，求的值.【解析】由题，两式相加得即所以因此是周期为6的周期函数.又函数是定义在上的奇函数，所以所以【小结】原题考查奇函数的概念及对抽象复合函数的奇偶性的理解。抽象函数无具体解析式，理解、研究起来困难很大，它是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点。变式题对抽象复合函数的部分题型进行了训练。高考真题3(2020年高考辽宁理科卷第9题文科卷第12题)已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围是( )A.（，） B.，） C.（，） D.，）【参考答案】由于是偶函数,故 原不等式变为,又在区间单调增加得 , 解得.故选【A】.变式训练1：已知奇函数对于任意，都有,求满足的实数的取值范围.【解析】由知在是增函数，又为奇函数所以，即，即，所以.变式训练2：已知奇函数对于任意，都有，若恒成立，求的取值范围.【解析】由知在上是减函数，又为奇函数，其图象关于原点对称，所以在上是减函数.由恒成立，得即恒成立，而，所以.变式训练3：已知是定义在上的奇函数，且满足，.若对所有恒成立.求实数的取值范围.【解析】任取，由为奇函数得： 由已知 即在上为增函数又，故对，恒有要使对所有恒成立，即要成立，故记，对，只需 即，解得：.【小结】原题考查了函数的单调性、奇偶性及抽象函数不等式的解法。抽象函数与不等式的综合命题是近年高考的热点，变式题尝试改变条件的呈现形式，并对不等式的探讨进行拓深、拓广。高考真题4(2020年高考湖南理科卷第20题)已知函数对任意的，恒有.（）证明：当时，；（）若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求的最小值.【参考答案】（）易知，由题设，对任意的，即恒成立，所以，从而.于是，且，因此，故当时，有，即当时，有（）由（）易知，当，有，令，则，而函数的值域是.因此，当时，的取值集合为.当时，由（）易知，此时，从而恒成立.综上所述，的最小值为.变式训练1:设二次函数满足，对于任意实数，都有，并且当时，有.（）求的值；（）求证：；（）当时，函数是单调函数，求实数的取值范围.【解析】（）对于任意，都有,且当时,有. 令 ，即. （）由，可得，则.又对任意，即， .，即.（）,，.,当时，函数是单调函数. ,解得或.变式训练2:设二次函数满足条件：当时，且；当时，；在上的最小值为0.求最大的，使得存在,只要，就有.【解析】由，可知二次函数的对称轴为又由知二次函数的开口向上，即，故可设由知，由知，所以，故，所以.因为的图象开口向上，而的图象是由的图象平移个单位得到.要在区间上，使得的图象在的图象的下方，且最大，则1和是关于的方程 （）的两个根.把代人方程（）得或当时，方程（）的解为，这与矛盾当时，方程（）的解为，所以又当时，对任意，恒有，即.所以，的最大值为9.【小结】原题考查二次函数与一次函数，导数的运算，函数的值域，不等式的证明，考查考生转化与化归能力.二次函数是重要的初等函数之一，几乎每年高考都有涉及，客观题往往是利用它的性质去解决相关问题，解答题主要与最值、不等式等知识综合考查，一般为难题。二次方程、二次不等式与二次函数密切相关，变式题对“三个二次”的内在联系进行训练。高考真题5(2020年高考全国新课标理科卷第21题)设函数.（）若，求的单调区间；（）若当时，求的取值范围.【参考答案】（）时，当时， ；当时，.故的单调递减区间是，单调递增区间是.（）由（）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.变式训练1：已知函数，（为常数）函数定义为：对每个给定的实数，（）如果，证明：；（）若当时，求的取值范围.【解析】本变式仅仅改变原题的背景，让条件以新定义的方式表达，内涵不变，解答与原题基本一致.（）时,记函数，由原题解答知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，因此，即，所以.（）由题意及知等价于的原题条件，解答与原题基本相同.变式训练2：设，函数(为自然对数的底数）. （）判断的单调性；（）若在上恒成立，求的取值范围.【解析】（）由已知 令当时， 在上为减函数.当时，的判别式，在上为减函数. 当时，由得或由 得在上为增函数；在上为减函数. （）当时，在上为减函数.，由得 .当时， 在上不恒成立.的取值范围是 【小结】原题主要考查利用导数知识、函数知识、不等式知识求解综合问题的能力，考查分类思想的运用能力。导数是研究函数性质的重要工具，利用导数解决函数、方程与不等式的较综合