高中数学一轮复习 第7讲 正弦定理、余弦定理及其实际应用

第7讲 正弦定理、余弦定理及其实际应用1.在ABC中,如果BC=6,AB=4,cos那么AC等于( ) A.6B.C.D. 【答案】 A 【解析】 cosB,代入数据,解得AC=6. 2.在ABC中若ABC的面积为则tanC为( ) A.B.1C.D. 【答案】 C 【解析】 由sin得BA=1, 由余弦定理得cosB, . ABC为直角三角形,其中A为直角. tan. 3.已知ABC外接圆的半径为R,且2R(sinsinsinB,那么角C的大小为( ) A.30B.45C.60D.90【答案】 B 【解析】 根据正弦定理,原式可化为 . 结合余弦定理可知cosC=45. 4.若ABC中,acosA=bcosB,则ABC一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形 【答案】 C 【解析】 由acosA=bcosB,根据正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B. 2A=2B或2A+2B=,即A=B或. ABC是等腰三角形或直角三角形. 5.在ABC中,如果A=60则此三角形解的情况是 . 【答案】 无解 【解析】 csinA=4三角形无解. 1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60方向上,则灯塔A在灯塔B的( ) A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西10 【答案】 B 【解析】 由已知, 又AC=BC, 灯塔A位于灯塔B的北偏西10. 2.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得,则A、C两地的距离为( ) A.10 kmB. km C. kmD. km 【答案】 D 【解析】 利用余弦定理cos120 =700, km). 3.下列判断中正确的是( ) A.ABC中,a=7,b=14,A=30,有两解 B.ABC中,a=30,b=25,A=150,有一解 C.ABC中,a=6,b=9,A=45,有两解 D.ABC中,b=9,c=10,B=60,无解 【答案】 B 【解析】 A:a=bsinA,有一解; B:A90,ab,有一解; C:abcsinB,有两解. 4.在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且则ABC是( ) A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形 【答案】 A 【解析】 . cos. 则ABC是钝角三角形.故选A. 5.在ABC中,若2cosBsinA=sinC,则ABC一定是 ( ) A.等腰直角三角形B.等腰三角形 C.直角三角形D.等边三角形 【答案】 B 【解析】 方法一:由正、余弦定理得为ABC外接圆半径),整理得a=b. ABC一定是等腰三角形. 方法二:sinC=sin-(A+B)=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB, 由已知得sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0. 又,),A-B=0,即A=B. ABC为等腰三角形. 6.满足A=45的ABC的个数记为m,则的值为( ) A.4B.2C.1D.不确定 【答案】 A 【解析】 由正弦定理 得sin. ca,CA=45. C=60或. 满足条件的三角形有2个,即m=2. 7.已知ABC三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,且面积则角A等于( ) A.45B.30C.120D.15 【答案】 A 【解析】 由sinA, 得sincosA, A=45. 8.在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120则( ) A.ab B.ab. 9.在直径为30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120,若要光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为 m. 【答案】 【解析】 轴截面如图,则光源高度m). 10.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若cosA=acosC,则cosA= . 【答案】 【解析】 由cosA=acosC,得即 由余弦定理,得cos. 11.如图,有一扇形AOB,圆心角AOB等于60,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设求POC面积的最大值及此时的值. 【解】 因为CPOB,所以 所以. 在POC中,由正弦定理得 即 所以sin. 又所以sin(60. 因此POC的面积为 sinsin(60 sinsin(60sincossin cos). 所以当时取得最大值为. 12.在ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,. (1)若ABC的面积等于求a,b; (2)若sinB=2sinA,求ABC的面积. 【解】 (1)由余弦定理及已知条件,得ab=4, 又因为ABC的面积等于 所以sin得ab=4. 联立方程组 解得a=2,b=2. (2)由正弦定理,sinB=2sinA化为b=2a, 联立方程组 解得. 所以ABC的面积sin. 13.已知A、B、C为ABC的三个内角,且其对边分别为a、b、c,且2coscosA=0. (1)求角A的值; (2)若求ABC的面积. 【解】 (1)由2coscosA=0,得1+cosA+cosA=0, 即cos. 角A为ABC的内角,. (2)由余弦定理得cos则. 又有则bc=4. 故sin. 14.如图,矩形ABCD是机器人踢球的场地,AB=170 cm,AD=80 cm,机器人先从AD中点E进入场地到点F处,EF=40 cm.场地内有一小球从点B向点A运动,机器人从点F出发去截小球.现机器人和小球同时出发,它们均做匀速直线运动,并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍.若忽略机器人原地旋转所需的时间,则机器人最快可在何处截住小球? 【解法一】 设该机器人最快可在点G处截住小球,点G在线段AB上.连接FG, 设FG=x cm.根据题意,得=2x cm. 则AG=AB-=(170-2x) cm. 连接AF.在AEF中,EF=AE=40 cm 所以 cm. 于是. 在AFG中,由余弦定理,得cos. 所以cos45. 解得. 所以AG=170-2x=70 cm,或 cm(不合题意,舍去). 答:该机器人最快可在线段AB上离A点70 cm处截住小球. 【解法二】 设该机器人最快可在点G处截住小球,点G在线段AB上.连接FG, 设FG=x cm.根据题意,得=2x cm. 过点F作垂足为H. 因为AE=EF