Riemann-Stieltjes 积分

第6章黎曼-斯蒂尔切斯积分1第6章黎曼-斯蒂尔切斯积分上一章介绍的黎曼积分可以在几个方向上推广，其中两个分别在本章和下一章介绍。本章要讨论的黎曼-斯蒂尔切斯积点是托马斯乔安尼斯斯蒂尔切斯(1856-1894，荷兰人)在1894年讨论某些连分式的极限时提出的。它可以引入无穷级数和黎曼定积分作为特例，在泛函分析中也有重要的应用。然而，后者涉及广泛的问题，我们将不在本章讨论这个问题。6-1定义中讨论的函数和黎曼-斯蒂杰积分的概念是单个实变量的有界实值函数。因此，一维紧致区间的分割肯定会在讨论中被引用。因为一维的间隔，的每一个分区ba都是按顺序左右排列的，所以只有分区的端点10bxxxan=，这个分区被称为，1210nxxxxx十.如果 10bxxxap n=和=10 yyaq bym=都是区间，ba的除法，那么所谓的除法q是除法p的一个细分，这意味着集合2的定义和性质是一致的，10nx x x是集合， 10 my y y y y y是子集。a和黎曼-斯蒂尔切斯积分的定义定义1被设置为，f: r ，ba是一维紧区间，ba上的两个有界函数，以及 10bxxxapn=yes，ba的一个划分。对于每一个Ni，2，1，=，i t是一个区间)，1在任何一点上，下式右端的和称为函数f，函数对应于p分区的黎曼-斯蒂尔切斯和(Riemann-Stieltjes sum)，以便(PfS表的和，即=n iii xxtfpfs1)()()()()，()。在黎曼-斯蒂尔切斯和的符号中，(PfS不包括点Ntt、21、so、(PfS也是一个不完全符号，类似于定义3中定义的5-1的黎曼和)，(PfR。(PfS指任何黎曼-斯蒂尔切斯和，其中F对对应于P定义2设，F: R ，Ba是一维紧区间，Ba上的两个有界函数。如果有一个实数，下列性质成立：对于每一个正数，可以找到一个区间，巴的巴分块0 P使得：对于每一个分块0 P和函数F，对函数对应于每一个分块P的黎曼-斯蒂尔切斯和，(PfS，常数 )，(SPFS，则函数F称为函数是在区间内)，黎曼-斯蒂杰积分，实数S称为函数F称为函数是在，黎曼-斯蒂杰F是巴上的黎曼-斯蒂尔切斯积分所独有的(见练习1)。我们通常写b a xd xf()()。函数F被称为这个黎曼-斯蒂杰斯积分的被积函数，而信的第六章里黎曼-斯蒂杰斯积分的3 被称为积分函数。(Riemann积分是Riemann-Stieltjes积分的一个特例)如果xx=(，并且f: r )，ba是一个任意有界函数，那么所谓的F对是on，Riemann-Stieltjes积分在ba上意味着F是on，ba是Riemann积分，而且，F到上的Riemann-Stieltjes积分，Ba是F上的Riemann积分，Ba。例2如果: r ，ba是一个常数函数，对于每个有界函数f: r ，ba，函数f是关于函数，ba可以是黎曼-斯蒂杰斯积分，并且黎曼-斯蒂杰斯积分值等于0。事实上，F对对应于任何部分截P的每个黎曼-斯蒂尔切斯和，并且等于0。B和黎曼-斯蒂尔切斯积分的基本性质本节介绍的七个性质，除定理2外，一维的其他黎曼积分也是有效的，只需使xx=)()。黎曼积分数中定理1和定理3的相应性质由5-1中的上下积分证明。这种证明方法在这里不适用，因为当积分函数不是单调函数时，我们不能定义黎曼-斯蒂尔切斯型的上下积分。定理1 (Riemann-Stieltjes积分与要积分的函数成线性)设，21 ff: r ，ba都是有界函数，r 21，c .如果1f和2 f都是 on，ba可以是Riemann-Stieltjes积分，2211 fcfc是 on，Ba也可以是Riemann-Stieltjes积分，并且()()()()()()()(112211 xdxfdxfdxfcba证书：让是任何正数，所以)1 (21=cc。因为函数1 f是函数上的积分，ba是黎曼-斯蒂杰斯积分，所以，对于正数，可以找到，ba的一个分块1 P是这样的，对于1 P和1 f的每个细分P，对对应于P的每4个定义和性质黎曼-斯蒂尔切斯和，(1 PfS，常数 )()，(11b a x dx f pfs。因为函数2 f是函数上的积分，ba是黎曼-斯蒂杰斯积分，所以对于正数，可以找到，ba的一个分块2 P是这样的，对于2 P的每个分块P，2 f对对应于P的每个黎曼-斯蒂尔切斯和)，(2 PfS，有常数()，(22ba x DXF pfs)。设0 P代表1 P和2 P的公共细分，则0 P是，ba ba的细分。假设划分P是划分0 P的一个子划分，然而，(2211 pfsc是函数2211 fcfc与对应于划分P的函数的黎曼-斯蒂尔切斯和，那么P是1 P的一个子划分，也是2 P的一个子划分，并且)，()，()，()，(22112211 pfsc。请注意，上述公式表明，(2211PFCFc可写成一定)、(1 PfS和一定)、(2 PFs的线性组合。结合以上三个公式，我们可以得到() () () ()，(22112211 x dxfcxfcfcfcfcfcbax dxfpf s c b a)()，(111 x dxfp f s c b a)()，(222 (21 cc)。因此，2211 fcfc对可以是ba上的Riemann-Stieltjes积分，该定理的方程成立。定理2(黎曼-斯蒂尔杰斯积分与积分函数成线性关系)设21， f: r ，ba都是有界函数，r 21，c .如果F对1 和2 都在，黎曼-斯蒂尔杰斯积分在ba上可用，那么F对2211 cc在黎曼-斯蒂尔杰斯积分5上可用，黎曼-斯蒂尔杰斯积分在Ba上也可用，另外)，还有很多证明：类似于定理1的证明，它是为练习保留的。定理3(黎曼-斯蒂尔切斯积分对积分区间的可加性)设，F:R ,巴是一个双有界函数，(bac。如果f对在区域之间，ca和，bc可以是黎曼-斯蒂杰斯积分，f对为开，ba可以是黎曼-斯蒂杰斯积分，并且()()()()()()()()(xdxfxdxfxffbcab=。证明：设为任意正数，因为函数F与函数在上积分，ca黎曼-斯蒂杰在ca上积分，所以对于正数2，可以发现，CA 1P的一个除法是这样的：对于1 P 1 Q的每个细分，F对对应于1 Q的每个黎曼-斯蒂尔切斯和，(1 QfS，总是有2)()()，(1xfs CA。因为函数f是函数上的积分，bc可以是黎曼-斯蒂尔杰斯积分，所以对于正数2，它可以被找到，BC的一个分块2 P作出：对于2 P的每个分块2 Q，f对对应于每个黎曼-斯蒂尔切斯和2 Q)，(2 QfS，总是有2()()，(2x dxfqfsbc)。设210 PPPU=，则0 P是一个区间)，是ba和0 Pc的一个划分。设Q是分区0 P的一个子分区，这样，1 caQQI=和，2 bcQQI=，然后，1q是分区1 P的一个子分区，并且，2q是分区2 P的一个子分区。假设(QfS是函数F与对应于分区Q的函数的黎曼-斯蒂尔切斯和)，那么，(QfS可以表示为两个黎曼-斯蒂尔切斯和)，(1 QfS和)，(2 QfS和)。因此，我们可以得到6个定义和属性() () () ()、(xxfxfxfqfqfqfcfc)() ()、()、()、()、()、(21dxfxfqfqfqfqfqfqfqfqfqfqfqfqc、()()、()、()、()、()、()、(、()、(、()、()、(、()、(、()、()、(、()、(、()、(、()、(、()、(、()、(、()、(、()、()、(、()、()、()、(、()、()、因此，F对可以是巴上的黎曼-斯蒂杰积分，并建立了该定理的方程。定理4(减少积分区间)让，f:r ,巴是有界函数，badc.如果F对在，ba是黎曼-斯蒂杰斯积分，F对在子区间，dc是黎曼-斯蒂杰斯积分。证明：这个定理不能通过遵循定理3的方法来证明。我们让读者用定理8的柯西条件来证明它。参见练习5。Riemann-Stieltjes积分的概念包括积分函数和积分函数。我们想知道这两种功能的作用是否可以互换。下面的定理5讨论了这个问题。在定理5的方程中，如果相关函数满足本节定理7的条件，则定理5的方程是黎曼定积分的部分积分。