2021版高考数学一轮复习 核心素养测评三十六 直接证明与间接证明、数学归纳法 理 北师大版

核心素养测评三十六 直接证明与间接证明、数学归纳法(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019太原模拟)下列说法不正确的是()a.综合法是由因导果顺推证法b.分析法是执果索因逆推证法c.综合法和分析法都是直接证法d.综合法和分析法在同一题的证明中不可能同时使用【解析】选d.综合法是由因导果的顺推证法、分析法是执果索因的逆推证法、分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件,即a,b,c正确;综合法与分析法在同一题的证明中可能同时采用,故d不正确.2.(2020长春模拟)用反证法证明命题“若a2+b2=0(a,br),则a,b全为0”,其反设正确的是()a.a,b全为0b.a,b中只有一个为0c.a,b至少有一个为0d.a,b至少有一个不为0【解析】选d.“a,b全为0(a,br)”的否定为:“a,b至少有一个不为0”.3.(2019三明模拟)用数学归纳法证明不等式2n(n+1)2(nn*)时,初始值n应等于()a.1b.4c.5d.6【解析】选d.n=1时,左边=2,右边=4;n=2时,左边=4,右边=9;n=3时,左边=8,右边=16;n=4时,左边=16,右边=25;n=5时,左边=32,右边=36;n=6时,左边=64,右边=49,所以初始值n应等于6.4.设nn,则n+4-n+3与n+2-n+1的大小关系是()a.n+4-n+3n+2-n+1b.n+4-n+3n+2-n+1c.n+4-n+3=n+2-n+1d.不能确定【解析】选b.由题意知,(n+4-n+3)-(n+2-n+1)=(n+4+n+1)-(n+3+n+2),因为(n+4+n+1)2-(n+3+n+2)2=2(n+4)(n+1)-(n+3)(n+2)=2(n2+5n+4-n2+5n+6)0,所以n+4-n+30,则a,b,c中至少有一个大于1”时,要做的假设是“假设a,b,c_”.答案:都不大于18.(2019绍兴模拟)用数学归纳法证明“1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(nn*)”,第一步应验证的等式是_,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是_.【解析】用数学归纳法证明“1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(nn*)”,第一步应验证的等式为:1-12=12;从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是:1-12+13-14+12(k+1)-1-12(k+1)-1-12+13-14+12k-1-12k=12(k+1)-1-12(k+1).答案:1-12=1212(k+1)-1-12(k+1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.在数列an中,a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nn*,0).(1)求a2,a3,a4.(2)猜想an的通项公式,并加以证明.【解析】(1)a2=2+2+2(2-)=2+22,a3=(2+22)+3+(2-)22=23+23,a4=(23+23)+4+(2-)23=34+24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为:an=(n-1)n+2n.下面用数学归纳法证明:当n=1,2,3,4时,等式显然成立,假设当n=k(k4,kn*)时等式成立,即ak=(k-1)k+2k,那么当n=k+1时,ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k=(k-1)k+1+k+1+2k+1=(k+1)-1k+1+2k+1,所以当n=k+1时,ak+1=(k+1)-1k+1+2k+1,猜想成立,由知数列的通项公式为an=(n-1)n+2n(nn*,0).10.设f(n)=1+12+13+1n,是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+f(n-1)=g(n)f(n)-1对于n2的一切正整数都成立?并证明你的结论.【解析】当n=2时,由f(1)=g(2)f(2)-1,得g(2)=f(1)f(2)-1=11+12-1=2,当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)f(3)-1,得g(3)=f(1)+f(2)f(3)-1=1+1+121+12+13-1=3,猜想g(n)=n(n2).下面用数学归纳法证明:当n2时,等式f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1恒成立.当n=2时,由上面计算知,等式成立.假设n=k(k2)时,f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k)-1成立,那么当n=k+1时,f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)f(k+1)-1k+1-k=(k+1)f(k+1)-1,所以当n=k+1时,等式也成立.由知,对一切n2的正整数n,等式都成立.故存在函数g(n)=n,使等式成立.(15分钟30分)1.(5分)分析法又称执果索因法,已知x0,用分析法证明1+x2b.x24c.x20d.x21【解析】选c.因为x0,所以要证1+x1+x2,只需证(1+x)21+x22,即证00,因为x0,所以x20成立,故原不等式成立.2.(5分)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20;ab与a1324(n2)的过程中,设f(k)=1k+1+1k+2+12k,从n=k递推到n=k+1时,不等式左边为()a.f(k)+12k+1b.f(k)+12k+1+12k+1c.f(k)+12k+1+12k+1-1k+1d.f(k)+12k+1-1k+1【解析】选c.当n=k时,左端=1k+1+1k+2+12k,那么当n=k+1时,左端=1k+2+1k+3+12k+12k+1+12k+1,故第二步由k到k+1时,不等式左边为f(k)+12k+1+12k+1-1k+1.【变式备选】已知nn*,用数学归纳法证明f(n)=1+4+7+(3n-2)=3n2-n2时.假设当n=k(kn*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是()a.f(k+1)=f(k)+3k-5 b.f(k+1)=f(k)+3k-2c.f(k+1)=f(k)+3k+1 d.f(k+1)=f(k)+3k+4【解析】选c.因为用数学归纳法证明等式f(n)=1+4+7+(3n-2)=3n2-n2时,假设n=k时,命题成立,f(k)=1+4+7+(3k-2)=3k2-k2,则当n=k+1时,左端为f(k+1)=1+4+7+(3k-2)+3(k+1)-2需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是f(k+1)=f(k)+3k+1.4.(5分)(2019太原模拟)用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设_.【解析】“x=-1或x=1”的否定是“x-1且x1”.答案:x-1且x15.(10分)已知数列an满足:a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nn*. (1)求证:数列ann为等差数列,并求出数列an的通项公式.(2)记bn=2(n+1)an(nn*),用数学归纳法证明:b1+b2+bn1-1(n+1)2,nn*.【证明】(1)a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),可得an+1n+1=ann+1,则数列ann为首项为2,公差为1的等差数列,则ann=2+n-1=n+1,即an=n(n+1).(2)bn=2(n+1)an=2n(n+1)2,当n=1时,b1=12,1-14=34,即1234;假设n=k时,不等式b1+b2+bk1-1(k+1)2成立,kn*.当n=k+1