因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤

因式分解的十二种方法和多项式因式分解的一般步骤一个多项式到几个代数表达式的乘积的变换称为多项式的因式分解。因子分解有许多方法，归纳如下：1.提高公共利益法如果一个多项式的所有项都包含一个公共因子，那么公共因子就可以被提出来，从而将多项式转换成两个因子乘积的形式。例1:因子分解因子x -2x -x(2003淮安中考)x -2x -x=x(x -2x-1)2.应用公式法由于因式分解和代数表达式乘法之间的互逆关系，如果乘法公式相反，那么一些多项式可以因式分解。例2，因式分解a 4ab 4b (2003南通中学考试)解决方案：a 4ab 4b=(a 2b)3.分组分解法为了将多项式am和bm bn分解成因子，可以将多项式am和bm bn的前两项分成一组，并且可以提出公共因子a。多项式的后两项可被分成一组，公共因子b可被提议以获得a(m n) b(m n)，公共因子m n可被提议以获得(a b)(m n)例3，因子分解m 5n-mn-5m解决方案：m 5n-mn-5m=m -5m -mn 5n=(m -5m ) (-mn 5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.叉乘法对于mx px q形式的多项式，如果ab=m，cd=q，ac bd=p，则多项式可以分解为(ax d)(bx c)示例4:因子分解因子7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解决方案：7x -19x-6=(7x 2)(x-3)5.匹配方法对于那些不能使用公式法的多项式，有些可以用它来形成一个完全平坦的方法，然后用平方方差公式来分解它们。例5，因式分解x 3x-40解决方案x 3x-40=x 3x () -() -40=(x)-(x)=(x )(x -)=(x 8)(x-5)6.拆卸和添加物品多项式可以分成几个部分，然后分解。例6，因式分解公式bc(b c) ca(c-a)-ab(a b)解决方案：BC(b-c)ca(c-a)-ab(a-b)=BC(c-a-b)ca(c-a)-ab(a-b)=bc(c-a) ca(c-a) bc(a b)-ab(a b)=c(c-a)(b a) b(a b)(c-a)=(c b)(c-a)(a b)7.替代方法有时当因式分解时，人们可以选择多项式的相同部分被另一个未知数代替，然后因式分解它，最后再转换回来。例7，因式分解2x -x -6x -x 2解决方案：2x -x -6x -x 2=2(x 1)-x(x 1)-6x=x 2(x )-(x )-6让y=x，x 2(x )-(x )-6=x 2(y -2)-y-6=x (2y -y-10)=x (y 2)(2y-5)=x (x 2)(2x -5)=(2x 1)(2x-5x 2)=(x 1) (2x-1)(x-2)8、根方法让多项式f(x)=0，并找出它的根是x，x，x，x，那么多项式可以分解成f (x)=(x-x) (x-x) (x-x) (x-x)示例8，因子分解2x 7x -2x -13x 6解决方案：让f(x)=2x 7x -2x -13x 6=0根据综合除法，f(x)=0的根是，-3，-2，1然后2x7x-2x-13x 6=(2x-1)(x3)(x2)(x-1)9.镜像法让y=f(x)，做一个函数y=f(x)的图像，找到交点x，x，x，x，在函数图像和x轴之间，那么多项式可以被分解成f (x)=f (x)=(x-x) (x-x) (x-x).(x-x)例9，因式分解x 2x -5x-6解决方案：使Y=2x-5x-6要制作它的图像，请参见右图。与X轴的交点是-3，-1，2然后2x-5x-6=(x1) (x3) (x-2)10.主成分方法首先，选择一个字母作为主要元素，然后根据该字母的次数从高到低排列项目，然后进行因子分解。例10，因式分解公式a (b-c) b (c-a) c (a-b)分析：在这个问题中，可以选择A作为主要元素，从高到低排列次数。解决方案：a(b-c)b(c-a)c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)(b c-c b)=(公元前)a -a(公元前)年=(b-c)(a-b)(a-c)11、采用特殊值法将2或10代入x求出数p，将数p分解成素因子，将素因子适当组合，将组合后的各因子写成2或10的和与差的形式，将2或10代入x得到因式分解公式。示例11，因式分解x 9x 23x 15解决方案：如果x=2，则x 9x 23x 15=8 36 46 15=105将105除以3个质因数的乘积，即105=357注意，多项式中最高项的系数是1，而3、5和7分别是x 1、x 3和x 5，它们是x=2时的值然后x 9x 23x 15=(x 1)(x 3)(x 5)12、待定系数法首先，确定因式分解的形式，然后设置相应代数表达式的字母系数，并计算字母系数，从而因式分解多项式。例12，因子分解x -x -5x -6x-4分析：很容易知道这个多项式没有主因子，所以它只能分解成两个次因子。解决方案：设置x -x -5x -6x-4=(x ax b)(x cx d)=x (a c)x (ac b d)x (ad bc)x bd所以它成功了然后x -x -5x -6x-4=(x x 1)(x -2x-4)多项式因式分解的一般步骤2007-10-28 13:19(1)如果多项式项有公共因子，那么首先提到公共因子；(2)如果没有公因式，那么我们可以试着用公式和交叉乘法来分解；(3)如果上述方法不能用于分解，则可以尝试分组、拆分和补充方法进行分解；(4)必须进行因式分解，直到每个多项式因式分解都不能再次分解。(6)应用因子定理：如果f(a)=0，f(x)必须包含因子(x-a)。如果f (x)=x 2 5x6，f(-2)=0，则可以确定(x 2)是x 2 5x6的因子此外，在多项式内，也可以用双交叉乘法和旋转对称法求解。主要注意事项：因式分解初学者的“四个注意事项”因式分解最早出现在代数的第二卷，这是一部九年制义务教育的三年制初中教科书，在初中二年级第一学期讲授，但其内容渗透到整个初中数学教科书中。学习它不仅可以复习一年级时代数表达式的四种运算，还可以为本书的下一章打下良好的基础。学好它不仅能培养学生的观察、注意和计算能力，还能提高学生的综合分析和解决问题的能力。其中四个必须引起老师和学生的注意。因式分解中的四个注释分散在教科书的第5页和第15页上，可以归纳为如下四句话：第一项有否定的，通常是否定的，每一项都有“公共”和“公共”两个优先项，一项没有遗漏1，括号分为“底部”。以下是一些可供参考的例子。示例1分解-A2-B2 2AB 4。解决方案：-A2-B2 2AB 4=-(A2-2AB B2-4)=-(A-B 2)(A-B-2)“负”在这里是指“负号”。如果多项式的第一项是负的，通常建议使用负号来使括号中第一项的系数为正。防止学生犯错误，如-9 x2 4 y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x 2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x 2y)？你为什么不带上伤疤窗帘，把螃蟹整理好呢？/p例如，例2 abc的三条边a、b和c有如下关系：-C2 a2 2ab-2bc=0，证明这个三角形是等腰三角形。分析：这个问题本质上是分解关系表达式等号左边的多项式。证明：87-C2 a2 2ab-2bc=0， (a c) (a-c) 2b (a-c)=0， (a-c) (a 2b c)=0。a、b和c是abc的三个边， a 2b c 0， a-c=0。也就是说，a=c，abc是等腰三角形。例3分解为-12x2nyn 18xn 2yn 1-6xnyn-1。解决方案：-12x 2 nyn 18xn 2yn 1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y 21)这里的“公共”是指“公共因素”。如果多项式的每个项包含一个公共因子，则首先提取公共因子，然后进一步分解该因子。这里的“1”是指当一个多项式的整个项是一个公共因子时，在公共因子第一次被提出后，不要在括号中省略1。防止学生犯错误，如6p(x-1)3-8p 2(x-1)2 2p(1-x)2=2p(x-1)23(x-1)-4p=2p(x-1)2(3x-4p-3)。例4实数范围内X4-5X2-6的因式分解。解决方案：x4-5x 2-6=(x2 1)(x2-6)=(x2 1)(x 6)(x-6)这里的“底部”指的是因式分解，它必须被执行，直到每个多项式因式分解不再被分解。也就是说，坚持到底，不要半途而废。其中，公因数公式应该一次“干净”，不留“尾巴”，使括号中的每一个多项式都不能再分解。防止学生犯错，如4x 4 y2-5x 2 y2-9 y2=y2(4x 4-5x 2-9)=y2(x2 1)(4x 2-9)。从这个角度来看，因式分解中的四个考虑贯穿了因式分解的四个基本方法，这四个方法与因式分解的四个步骤或一般思维顺序的四个句子相同：“首先看是否有一个共同的因素，然后看是否有一个公式，交叉乘法尝试，分组分解是适当的”。示例：3ab 5b-22y2 35y-3a2 b2 ab a b a 1所有因式分解的解2007-10-28 13:20因式分解是中学数学中最重要的常数变换之一。它广泛应用于初等数学，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法既灵活又熟练。学习这些方法和技巧不仅对掌握因式分解的内容是必要的，而且对培养学生的问题解决能力和发展学生的思维能力也有非常独特的作用。初中数学教材主要介绍提取公因数、使用公式、分组分解和交叉乘法的方法。在比赛中，也有分裂和增加项目的方法，待定系数的方法，和双重的方法(1)公共因子法(1)共同因素：每个项目中包含的共同因素称为。(2)公共因子法：一般来说，如果一个多项式的所有项都有一个公共因子，则公共因子可以在括号外提及，多项式可以写成因子的乘积。这种因子分解方法被称为公共因子法。am+bm+cm=m(a b c)(3)具体方法：当所有系数都是整数时，公因数公式的系数取所有系数的最大公约数；字母取每个术语的同一个字母，每个字母的索引取最低的度数。如果多项式的第一项是负的，通常提出“-”号来使括号中第一项的系数为正。(2)使用公式法方差公式：A 2-B 2=(甲乙)(A-B)完全平方公式：a 22ab b 2=(ab) 2能够用完全平方公式因式分解的多项式必须是三项式，其中两个项可以写成两个数(或公式)的平方和的形式，另一个项是这两个数(或公式)的乘积的两倍。”。三次和公式：a 3b 3=(a b) (a 2-abb 2)。三次差分公式：a3-B3=(a-b)(a2bb 2)。完全立方公式：A 33A 2B 3AB 2B 3=(AB) 3an-bn=(a-b)a(n-1)a(n-2)bb(n-2)a b(n-1)a m b m=(a b)a(m-1)-a(m-2)b-b(m-2)ab(m-1)(m为奇数)(3)分组分解法分组分解：分组后分解多项式的方法。分组分解法必须有明确的目的，即分组后，可以直接提出共同因素或应用公式。(4)拆卸和补充物品反汇编法：反汇编一项多项式或填充两项(或多项)相互相反的项，使原公式适合用公因数法、公式法或分组分解法分解；应该注意的是，变形必须基于与原始多项式相等的原则。(5)交叉乘法x2(pq)x pq型公式的因式分解这种二次三项式有以下特点：二次项的系数为1；常数项是两个数的乘积。主项系数是常数项的两个因子之和。因此，某些次项的系数为1的二次三项式分解可以直接分解：x 2 (p q) x pq=(x p) (x q)(2)kx2mx N型方程的因子分解如果它可以分解成k=AC，n=BD，ad BC=m，那么kx2+mx+n=(ax b)(cx d)a - /b ac=k bd=nc/- d ad+bc=m多项式因式分解的一般步骤(1)如果多项式项有公共因子，那么首先提到公共因子；(2)如果没有公因式，那么我们可以试着用公式和交叉乘法来分解；(3)如果上述方法不能用于分解，则可以尝试分组、拆分和补充方法进行分解；(4)必须进行因式分解，直到每个多项式因式分解都不能再次分解。(6)应用因子定理：如果f(a)=0，f(x)必须包含因子(x-a)。如果f (x)=x 2 5x6，f(-2)=0，则可以确定(x