2021高考数学一轮复习 第十三章 系列4选讲 13.2 不等式选讲 第2课时 不等式的证明教学案 理 新人教A版

第2课时不等式的证明最新考纲考情考向分析通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.主要考查用比较法、综合法、分析法证明不等式，题型为解答题，中档难度.1.比较法(1)作差比较法已知abab0，ababb，只要证明ab0即可，这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法.2.综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法.3.分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.4.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.5.放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.概念方法微思考1.综合法与分析法有何内在联系？提示综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程.2.分析法的过程中为什么要使用“要证”，“只需证”这样的连接“关键词”？提示因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件，符合分析法的思维是逆向思维的特点，因此在证明时，这些词是必不可少的.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当a0，b0时，.()(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”.()(3)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()(4)若ma2b，nab21，则nm.()题组二教材改编2.已知a，br，ab2，则的最小值为()a.1b.2c.4d.8答案b解析因为a，br，且ab2，所以(ab)2224，所以2，即的最小值为2(当且仅当ab1时，“”成立).故选b.3.若a，b，mr，且ab，则下列不等式一定成立的是()a.b.c.d.b.所以0，即，故选b.题组三易错自纠4.已知abc0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的假设为()a.a0，b0，c0，c0c.a，b，c不全是正数d.abcb1，xa，yb，则x与y的大小关系是()a.xyb.xb1，得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.故选a.6.若a，b，c，则a，b，c的大小关系为()a.abcb.acbc.bcad.cab答案a解析“分子”有理化得a，b，c，abc.用综合法与分析法证明不等式例1(1)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3；(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.证明(1)因为x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33(当且仅当xy1时，等号成立)，所以2x2y3.(2)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立，所以原不等式成立.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.跟踪训练1已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|a|f.(1)解依题意，原不等式等价于|x1|x3|8.当x1时，则2x28，解得x3.所以不等式f(x)f(x4)8的解集为x|x3或x5.(2)证明要证f(ab)|a|f，只需证|ab1|ba|，只需证(ab1)2(ba)2.因为|a|1，|b|1，知a21，b20.故(ab1)2(ba)2成立.从而原不等式成立.放缩法证明不等式例2(1)设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|0，|x1|，可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.(2)设n是正整数，求证：n(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，1.原不等式成立.思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有：变换分式的分子和分母，如，上面不等式中kn*，k1；利用函数的单调性；利用结论，如“若0a0，则.”(2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩法结合在一起应用，利用放缩法时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.跟踪训练2设f(x)x2x1，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1).证明|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)，即|f(x)f(a)|0，n0.(1)当m1，n1时，求关于x的不等式f(x)4的解集；(2)若mnmn，证明：f(x)4.(1)解由m1，n1，得f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4得x2，所以f(x)4的解集为(，22，).(2)证明由mnmn，可得1，f(x)|xm|xn|mn|，当且仅当(xm)(xn)0时取等号.因为m0，n0，所以f(x)mn(mn)24，当且仅当mn2时等号成立.所以f(x)4.2.(2020晋冀鲁豫中原名校联考)已知函数f(x)x2|x1|x1|.(1)求不等式f(x)0的解集a；(2)在(1)的条件下，若a，ba，求证：2|ab|ab4|.(1)解当x1时，不等式f(x)0可化为x2(x1)(1x)0，解得2x0，故有2x1时，不等式f(x)0可化为x2(x1)(x1)0，解得0x2，故有1x2.综上，不等式f(x)0的解集a为x|2x2.(2)证明要证2|ab|ab4|，即证|ab4|24|ab|2，由|ab4|24|ab|2(a2b28ab16)4(a22abb2)a2b24a24b216(a24)(b24).因为a，ba，所以a24，b24，所以a240，b240，所以(a24)(b24)0.所以|ab4|24|ab|2，故不等式2|ab|ab4|成立.3.已知函数f(x)|x5|，g(x)5|2x3|.(1)解不等式f(x)g(x)；(2)设ff(x2y2)g(3y12)，求证：f2.(1)解由题意得原不等式为|x5|2x3|5，等价于或或解得x或x3或1x，综上可得1x3.原不等式的解集为x|1x3.(2)证明f|x2y25|2(3y12)3|5|x2y25|6y21|5|x2y256y21|5|x2(y3)27|5x2(y3)222，当且仅当x0且y3时等号成立.4.已知函数f(x)|2x1|.(1)求不等式f(x)8|x3|的解集；(2)若正数m，n满足m3nmn，求证：f(m)f(3n)24.(1)解不等式f(x)8|x3|即为|2x1|x3|8，此不等式等价于或或解得2x或x3或30，n0，m3nmn，m3n(m3n)，即m3n12，当且仅当即时取等号，f(m)f(3n)|2m1|6n1|2m6n|，当且仅当6n10，即n时取等号，又|2m6n|24，当且仅当m6，n2时取等号，f(m)f(3n)24.5.已知函数f(x)|x3|.(1)解不等式f(x)f(x1)5；(2)若|a|