高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 有关＂命题＂的几个问题素材 新人教A版选修2-1

有关“命题”的几个问题写出命题P“所有的分数都是无理数”的非P命题，大部分同学会写成“所有的分数都不是无理数”，这显然是错误的，但是新教材中没有讲清楚这类含量词的命题的否定形式，现在对“简易逻辑”教学中的几个问题作一论述。一、 关于命题概念：新教材中只说：可以判断真假的语句叫做命题。正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题。例如“125”“3是12的约数”是真命题，“0.5是整数”是假命题；“x 5”不是命题。那么对“x 5”有如下几个问题：问题1：它不是命题是什么呢？这种需要根据前提才能判断真假的判断句叫条件命题。(教参上称为开语句)，如“x 5”就是条件命题，它的真假要根据x的值来确定。 而含有逻辑联结词的式子都可叫做逻辑表达式。逻辑表达式的真假由题设条件决定。如当x=6时，x 5为真，当x=2时，x 5为假。问题2：命题是怎样构成的?一个完整的命题必由主项，谓项，量词和判断词四部分构成。例如命题“所有实数的绝对值都是正数”的主项是“实数的绝对值”，谓项“正数”，量词是“所有”，判断词是“都是”。问题3：命题是怎样分类的?根据量词的不同，命题可分为单称命题，特称命题和全称命题。单称命题的主项是单独的个体，量词“一个”通常被省略。如“3是正数”就是单称命题。全称命题的主项是对象的全体，常用的量词是“一切”，“所有”，“每一个”，“任何”,“都”等，也常被省略。如“整数是有理数”的完整的表示是全称命题“所有整数都是有理数”。特称命题的主项是对象的一部分，常用的量词是“有的”，“存在”，“至少有一个”，等，不能省略。如“有的实数的平方不是正数”就是特称命题。根据判断词的不同，命题又可分为性质命题和关系命题。性质命题的判断词常用“是”，“不是”；用来判断主项是否符合某项性质。例如“3是正数”就是性质命题。关系命题的判断词常用“有”，“没有”，“存在”，“使”，“满足”；“不存在”，“不满足”用来判断主项是否符合某种关系。在语义明确的情况下判断词常被省略。例如 “存在角A，使sinA=0” 就是关系命题根据命题的结构，命题可分为简单命题和复合命题。不含逻辑联结词的命题叫简单命题。前面举例的命题都是简单命题。含逻辑联结词（“或”，“且”，“非”）的命题叫复合命题。例如“32或3=2”,“3是正数，且3是奇数”，“3不是无理数”分别是“或命题”，“且命题”，“非命题”。它们都是复合命题。二、关于复合命题的概念问题1：复合命题的真值表是什么?表示复合命题真假的表叫真值表（如下表）。（其中T表示真，F表示假）命题p命题qp或qp且q非p非qTTTTFFTFTFFTFTTFTFFFFFTT由真值表可知：当两个命题中有一个为真，或命题为真。当两个命题全假，或命题为假。（一真必真）当两个命题中有一个为假，且命题为假。当两个命题全真，且命题为真。（一假必假）当原命题为真时非命题为假，原命题为假时非命题为真。问题2：什么叫等价命题？若两个命题p，q的真值表完全相同，则这两个命题称为等价命题。记为命题p命题q。问题3：复合命题的真值表有什么作用？利用真值表可以证明或判断复合命题的等价性。例：用真值表证明 “或”，“且”运算的分配律（1）（p且q）或r （p或r）且（q或r） （2）（p或q）且r（p且r）或（q且r）证明：（1）（p且q）或r （p或r）且（q或r）命题p命题q命题rp且q（p且q）或rp或rq或r（p或r）且（q或r）TTTTTTTTTTFTTTTTTFTFTTTTTFFFFTFFFTTFTTTTFTFFFFTFFFTFTTTTFFFFFFFF（2）（p或q）且r （p且r）或（q且r）命题p命题q命题rP或q（p或q）且rP且rq且r（p且r）或（q且r）TTTTTTTTTTFTFFFFTFTTTTFTTFFTFFFFFTTTTFTTFTFTFFFFFFTFFFFFFFFFFFFF三、关于非命题问题1： 怎样构造简单命题的非命题?非命题也叫命题的否定。非命题与原命题的真值相反。原命题为真，非命题为假；原命题为假，非命题为真。对量词和判断词的否定：判断词“是”的否定是“不是”；“有” 的否定是“没有”；“存在”的否定是“不存在”。量词“所有”的否定是“不所有”即“有的”；“每一个” 的否定是“至少有一个不”； “都是”的否定是“不都是”即“至少有一个不是”；“都不是”的否定是“不都不是”即“至少有一个是”。对单称命题的否定只要直接否定判断词。如“3是正数”的非命题就是“3不是正数”。对全称命题的否定在否定判断词时还要否定全称量词变成特称命题。对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定。如“整数是有理数”就是全称命题“所有整数都是有理数”；它的非命题是“有的整数不是有理数”对特称命题的否定要否定特称量词变成全称命题。如特称命题“有的实数的平方不是正数” 的非命题是“所有实数的平方都是正数”；命题“所有的分数都是无理数”的非命题是“有的分数不是无理数”。问题2： 怎样构造复合命题的非命题?对复合命题的否定：“两个命题的或命题”的否定是这“两个命题的非命题的且命题”；“两个命题的且命题”的否定是这“两个命题的非命题的或命题”。例如“3 1或 2 5或 25或 21”的非命题是”35且21”。该结论的逻辑表达式是：（1） 非（p或q）（非p）且（非q） （2）非（p且q）（非p）或（非q），这其实就是逻辑运算的摩根律；可用真值表证明如下：(1)非（p或q）（非p）且（非q）命题p命题qp或q非