数学物理方法

微分方程解法:,积分法,只能解一些特殊类型方程，如达朗贝尔法，能够得到解析解,级数法,如分离变数法，能够得到近似的级数解,数值解法,计算数学内容,有关分离变量法（级数解法）：,第八章：直角坐标系下的分离变数法，又称为傅立叶级数法、驻波法，能够处理一维振动和输运方程及二维分布方程。,第九、十、十一章：球坐标和柱坐标系下的分离变量法，能够处理三维齐次分布方程（拉普拉斯方程）和三维振动、输运方程。,第八章要学好，要求记忆：直角坐标系下、一维齐次振动和输运方程的通解（8.1节查表）,第九章：解决了两类坐标系下，三类泛定方程分离出的常微分方程及其通解,第十、十一章：结合定解条件，由通解求定解，即求出通解中的系数,介绍了一种特殊的常微分方程：贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程的解-贝塞尔函数和虚宗量贝塞尔函数，本节结论需要记忆,介绍了一种特殊的常微分方程：连带勒让德和勒让德方程的解-连带勒让德函数和勒让德函数，本节结论需要记忆,第九章二阶常微分方程级数解法,9.1特殊函数常微分方程,9.2常点邻域上的级数解法,9.3正则奇点邻域上的级数解法,9.4斯图姆刘维尔本征值问题,介绍两种坐标系下，泛定方程分离的常微分方程及部分常微分方程的解，本章重点，189页表。,本章要学好，要求记忆189页表：（1）两种坐标系下、三类泛定方程（偏微分方程）分离出的常微分方程（2）不同常微分方程的解,第九章二阶常微分方程级数解法,第九章二阶常微分方程级数解法,9.1特殊函数常微分方程,用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输,运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、,贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标,系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出,微分方程,现各种各样的特殊函数方程它们大多是二阶线性常,在柱坐标系下,规定：,规定,在球坐标系下,拉普拉斯算符的形式,（一）拉普拉斯方程,球坐标下拉普拉斯方程,欧拉方程,连带勒让德方程,球函数方程,轴对称球坐标下拉普拉斯方程,勒让德方程,极坐标下拉普拉斯算符形式的推导,极坐标下的形式,直角坐标下的形式,坐标变换关系,微分变换关系,柱坐标下拉普拉斯方程,=m2,m阶贝塞尔方程,m阶虚宗量贝塞尔方程,球坐标下拉普拉斯方程,分离变数得到:,1欧拉方程,2二阶常微分方程,自然周期性条件,3连带勒让德方程,通解为：,复习,轴对称球坐标下拉普拉斯方程,分离变数得到:,1欧拉方程,2勒让德方程,通解为：,复习,柱坐标下拉普拉斯方程,m阶贝塞尔方程,分离变数得到:,1二阶常微分方程,自然周期性条件,2、3贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程,m阶虚宗量贝塞尔方程,复习,通解为：,通解为：,轴对称柱坐标下拉普拉斯方程m=0,复习,柱坐标下拉普拉斯方程,（二）波动方程,亥姆霍兹方程,（三）输运方程,（四）亥姆霍兹方程,（1）球坐标系,令v(r,)=R(r)Y(,),l阶球贝塞尔方程,l阶球函数方程,令,L+1/2阶贝塞尔方程,（2）柱坐标系,令,m阶贝塞尔方程,特殊函数常微分方程,球坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程轴对称情况勒让德方程亥姆霍兹方程的分离变量球坐标系球贝塞尔方程柱坐标系贝塞尔方程,柱坐标下拉普拉斯方程的分离变量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程,9.2常点邻域上的级数解法,常微分方程中点的分类各点邻域级数解的形式勒让德方程的级数解,常微分方程中点的分类,二阶变系数常微分方程的一般形式w”+p(z)w+q(z)w=0方程中点的分类常点：z0是p(z)和q(z)的解析点正则奇点：z0是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析点非正则奇点：其它情况,各点邻域级数解的形式,常点z0邻域两解均为,正则奇点z0邻域有一解为其中s由判定方程确定,a00,定理,由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在,邻域上求解,阶勒让德方程,即为,故方程的系数,在,，单值函数,，,均为有限值，它们必然在,解析,点,是方程的常点根据常点邻域上解的定理，,解具有泰勒级数形式.,勒让德方程的级数解,勒让德方程的级数解,勒让德方程的级数解,勒让德方程的级数解,性质：奇偶性：y0为偶函数，y1为奇函数；退化性：l为非负整数时，级数解退化为多项式；收敛性：特解的收敛半径为1；有界性：在x=1时，非退化级数解发散。,下面确定级数y0(x)和级数y1(x)的收敛半径。,可以证明：级数解y0(x),y1(x)在x=1发散，因而，勒让德方程的任一个解都不可能在x=1和x=-1有限。,但数理方程的解要求有限，相应的就要求勒让德方程的解在一切方向0,即在x的闭区间-1,1上保持有限，而级数解不可能满足这个要求。,解在区间-1,1的两端x=1保持有限，称为自然边界条件。,寻找勒让德方程满足自然边界条件的解:,如l为偶数，则y0(x)只含偶次幂的l次多项式，而y1(x)为无穷级数，在x=1处发散，应取a1=0，从而得到勒让德方程满足自然边界条件的解。,如l为奇数，则y1(x)为只含有奇次幂的l次多项式，它就是勒让德方程满足自然边界条件的解,至于y0(x)仍然是无穷级数，并在x=1发散，因而应舍去.,而当l为非整数时，y0(x),y1(x)为无穷级数，且在x=1处发散，因而应舍去。,总之，勒让德方程和自然边界条件(y(x)在x=1处有限)构成本征值问题，它决定了分离变数过程中所引入的常数必须取下列数值：=l(l+1)(l为整数)特征值。相应的本征函数是l阶勒让德多项式。当l=整数时，把方程的解(为l次多项式)用适当的常数乘它，就称为l阶勒让德多项式。,9.3正则奇点邻域上的级数解法,二阶变系数常微分方程的一般形式w”+p(z)w+q(z)w=0方程中点的分类常点：z0是p(z)和q(z)的解析点正则奇点：z0是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析点,正则奇点邻域上的级数解：,判定方程：,s1-s2整数,s1-s2=整数,贝塞尔方程,判定方程：,两解为：,（1）阶贝塞尔方程（v不是整数或半奇数）,先取s1=v,函数,贝塞尔函数,同理取s2=-v,诺伊曼函数,半奇数（l+1/2)阶贝塞尔方程,首先考虑l=0,判定方程：,两解为：,通解为：,可以证明A=0,判定方程：,一般的半奇数阶,两解为：,同样可以证明A=0,通解为：,ak0=0,整数阶贝塞尔方程,性质：奇偶性：m为奇偶整数时，Jm和Nm为奇偶函数；收敛性：特解的收敛半径为；有界性：在x0，m0时,Jm有界，Nm发散。,（4）x=0处的自然边界条件,虚总量贝塞尔方程,（1）阶虚总量贝塞尔方程（v不是整数或半奇数）,解为：,虚总量塞尔函数,9.4斯图姆刘维尔本征值问题,本征值问题本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值本征函数：相应的非零解本征值问题：求本征值和本征函数的问题斯特姆刘维尔本征值问题斯特姆刘维尔型方程斯特姆刘维尔型边界条件斯特姆刘维尔本征值问题的性质可数性：存在可数无限多个本征值；非负性：所有本征值均为非负数；正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。,斯特姆刘维尔型方程,其中k(x)、q(x)和(x)都非负；k(x)、k(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。,斯特姆刘维尔型边界条件三类齐