SARS传播的数学模型和对经济的影响

SARS传播的数学模型及其对经济的影响导师：间谍运动员：李彦林李小华刘新SARS传播的数学模型及其对经济的影响摘要信息本文对SARS的扩散及其对经济的影响分别建立了数学模型。首先，对附件1提供的早期模式，“感染概率”的主张不恰当，感染期间l的确定缺乏医学支持，降低了模型的说服力。这种模式是利用广东香港的参数预测北京传染病发生趋势的一种方法，但是不同地区的政策、不同地区病毒的传播和控制表现出不同的特点，可以减少不同城市之间的可比性。因此，参考法规定了适用范围，无法预测选拔城市。第二个问题分析了一般传染病模型的局限性，然后明确将患者所处的状态分为潜伏阶段、发病阶段和隔离阶段，根据各阶段的转换关系建立了第一个数学模型。考虑到发病和隔离等事件发生的随机性，本文在原始模型的基础上进行了相应的改进，建立了概率模拟模型。根据5月10日之前的数据，经过500次模拟，预测了北京的发病情况。7月上旬，北京基本上解除了疫情，累计事例约有2800多人。预测结果与实际情况很吻合。另外，据了解，5天前采取严格的隔离措施，将解除传染病的时间提前约10天，累计人员减少到1958人。如果措施延迟5天，传染病将推迟11日，累计人员达4487人。根据上述预测，本文对卫生部门采取了控制措施，并提出了相关建议。对于第三个问题，本文研究了SARS对入境旅游人口的影响，建立了数学模型。通过数据拟合方法，了解每日增加事例数对游客数的影响，预计912月入境的游客数将分别为24.02，36.06，33.04，25.85万人。与去年同期相比，9月下降了23.5个百分点，10月以后影响逐渐减弱，经济进入了恢复期。关于第四个问题，报纸和报纸上写了一篇通俗的随笔，说建立传染病的数学模型很重要。最后，在模型的评价中，介绍了该模型优于原始附件1模型的方面，特别说明了为了建立提供用于预防、控制的可靠、充分信息的模型而必须满足的条件和困难。一、提出问题从2002年到2003年悄悄接近我们生活的SARS(严重急性呼吸系统综合症，常被称为非典)隐藏了一段时间，突然爆发，在全世界引起了极大的骚动。作为中海地区的国家之一，我国的经济发展和人民生活受到了很大的影响。我们从中吸取了很多重要的经验和教训，认识到定量研究传染病传播方法，创造预测和控制传染病传播的条件的重要性。对此，要求创建SARS传播的数学模型，具体要求如下：1，评价附件1中提供的初始模型的合理性和实用性。2、为SARS的扩散创建并说明自己的模型：(1)比附件1中的模式优越的原因；2)你怎样做，就能建立一个真实可靠、能预测、能提供预防和控制的信息的模型？(乙)你这样做可能会遇到困难吗？(3) 5天前或5天后，采取严格的隔离措施，估计传染病扩散带来的影响等，评论卫生部门采取的措施。(附件2提供的数据仅供参考。)，以获取详细信息3、收集SARS对经济某些方面影响的数据，并建立相应的数学模型进行预测。(附件3提供的数据仅供参考。)，以获取详细信息4、在当地报纸和期刊上写一篇通俗的短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、早期模型评价附件1的模型主要使用“数据拟合”和“参考参数”方法预测北京的疫情。此模型对数据拟合有两个疑问。1、确定感染时间l。由于严格的隔离、治愈、死亡等原因，感染者在一定时间后将失去对感染者的感染力，因此将病毒感染和感染时间加在一起是合理的。但是，在对这个参数的决定中，作者为了更好地匹配各阶段的数据，通过人为调试确定l的值，缺乏医学支持，削弱了模型的说服力，合理性和可靠性大大降低。2，本文认为，“k是在某种环境下一个人感染另一个人的平均概率”。但是在模型的公式中，参数k的实际意义是一个患者每天传染给另一个人的平均数量。两者之间有实质性的差异，文章中的论据显然不恰当。从预测思想来看，该模式是参考选拔地区广东、香港的相关参数预测北京的发病情况。广东和香港的传染病发生及控制都在北京以前已经过了盛况，所以到5月8日为止，每天的病例减少到10起，基本上处于事后控制阶段。当时北京的传染病正过顶峰，正处于社会调整严重的时期，数据有些混乱，有一些下降的趋势，但并不明显。当时采用这种参考是不得已的行动。但是由于城市间的政策、风俗等不同，城市间的比较不强，参考文献也有很大的局限性。香港对传播机制认识不足，所以中途出现了感染高的特殊情况。另外，不能以此为参考预测选拔城市。三、传播模式(a)问题分析在SARS爆发的早期，由于潜伏期的存在，人们对病毒传播速度和危害性的认识不足，没有及时掌握这种传染病的存在。但是随着患者人数的增加，政府开始制定应对措施，舆论加强宣传力度，提高人们的警觉度，病毒传播速度下降。因此，我们一般把传染病的传播模式分为两个阶段：第一，自由传播阶段(即事前控制阶段):采取有效控制措施之前的期间。第二，后期控制阶段：干预人力因素后的一段时间。SARS的扩散包括很多因素，例如潜伏期、人的迁移、感觉器官的数量、感染和治愈率的大小。而且，在这些因素中，潜伏期的大小、传染率、治愈率的大小因人而异，容易和随机性。从头开始考虑所有因素，制作模型是不可能的。对此，我们将简化适当的假设。分析附件2中所列数据，6月1日至6月15日共有2522名实证案例累计件数，其中3天的累计件数为2523人。但是，自6月16日以来，累计件数减少到2521人，认为累计件数的减少可能是因为误诊。误诊的可能性很小，所以在这里被忽略了。(b)基本假设1、国家卫生部提供的北京传染病统计数据真的很可靠。误诊为1，可以忽略。2.非典的主要传播途径是近距离接触，结果感染者咳嗽或打喷嚏时产生的非气泡，在这里，所有的传播途径都被认为是与疾病来源的直接接触。3、不考虑出生和自然死亡的过程和转入人口(或转入和转入的基本平衡)，认为在疾病传播期间考察的地区的全体人员是常数。根据国家卫生部数据，处于潜伏期的非典患者没有传染性。5、恢复患者是否有免疫力还不确定，但根据国家卫生部数据，恢复后患者没有复发。因此，假设康复患者退出感染系统。6、数据显示，SARS病毒的潜伏期一般为27天，平均为5天左右。(此条件随后在模型中发生变化。)(c)常用基本模式目前常用的传染病模型，通常将传染病流行范围内的人分为三类：s类：易感性，是指没有生病的人，但接触感觉者后容易感染。I类：指感觉器官，感染传染病的人。r类：移动者，指因疾病而隔离或因疾病而免疫的人，即非感觉者，或不感性的人。实际上，他们退出了传染病制度。通过三种类型的相互转换关系，设置微分方程组，解决以下问题：(1)变量和符号说明：感染率：每个患者的平均每日有效接触(足以感染受感染者)数。退出率：治疗者和死亡者的比率(以单位时间为准)。S(t)易感人群总数。I(t)感觉器官总数。R(t)退休人员总数。N一个城市的总人口。如果看附件二中提出的数据，就可以知道，截至6月23日，北京市总人口150万人，累计为2521人，其感觉器官和退出对易感人口总数影响不大，易感患者总数I为常数。原始方程式变形如下：(2)退出并不是我们研究的范围，所以方程(2)实际上是常微分方程(3)其中，使用分离变量法求解不难。(4)其中I0是初始值。以上分析表明，常微分方程的传染病模型仅适用于总人口可比较的案例。如果病例数远低于总人口，常微分方程模型的实体与附件1的模型相同，感觉患者数随着时间的推移呈指数增长。考虑到这一特性，我们利用计算机追踪病毒的个别传播，并建立了模拟模型。(d)计算机模拟模型：在这个模型中，把传染系统中的人分为五类。自由携带者是携带病毒均匀分布在人群中的患者，根据基本假设，自由携带者在潜伏期内没有传染性。患者增加每天在医疗部门发现并隔离的感觉器官隔离者与自由职业者接触后怀疑携带SARS病毒的人有效的接触者自由携带者每天接触感染病毒的人无效的接触者与自由携带者每天接触但未感染病毒的人做出以下假设：1、传染性SARS的早期(12天)症状通常是发烧()引起的发热，通常是高烧1。症状明显，易于识别，可以认为自由携带者发病的第一天或第二天就住院后不再参与疾病的传播。2、根据实际情况，在发现SARS患者后的3天内，有关部门将采取措施将部分与疾病源有效接触者隔离，假设其中部分患者发病后也不会参与疾病的传播。3、有效接触疾病来源的人必然发病。根据基本假设，潜伏期通常从2天到7天，从这里到这里需要5天。(这个假设对改进模型有进一步的讨论。)，以获取详细信息此外，模拟模型中出现的符号变数说明如下：有效接触率表示一名自由持有人每天平均进行有效接触的人数。自由1人表示平均每天进行无工作接触的人数的无效接触率。与免费携带者接触后(包括有效接触和无效接触)人口中可调节的人的比例。模拟模型的个别传播情况如图1所示。自由携带者处于潜伏期15天，没有传染性。5天后发病，发病后有效接触一天，然后隔离2天(7天)，隔离前一天不进行接触。与医院接触后调整的人群(总接触人数)在3天后被认为是可疑患者。可疑患者中的有效接触者从接触疾病来源第7天开始被确认为逐渐增加的患者，而有效接触者中的其他人则作为自由携带者留在人群中，继续之前的个别传播。自由携带者增加的患者有效接触者无效的接触者自由携带者被隔离的人增加的患者被隔离的人7天后6，7日7天中三天后三天后4天后图1:单个传播图使用数学模型说明每个变量之间的关系：(5)北京直到4月20日才开始建立每日传染病状况报告制度，因此政府采取了严格的隔离措施，认为4月20日这一天是分界线之前属于自由传播阶段。根据该模型，计算机模拟了北京5月10日之前的SARS电波，并预测了5月10日以后的传播情况。图2: 5月10日之前的数据拟合图图3: 5月10日之后的预测曲线通过图2中的两条曲线拟合，控制前有效接触率(表征病毒的感染力)k=1.351，控制速度(表征政府的控制力)；控制后，k1=0.8，=0.7。基于这两个参数的5月10日预测曲线如图3所示。据预测，北京在97日(6月末)实现了零增长，累计病例数2448人。分析后，上述识别的模拟模型存在两个问题：第一，非典病毒的潜伏期一般为27天，模型确定潜伏期为5天，直到感染发现为止为7天，可以清楚地看到决定传播7天的曲线波动，而实际曲线上数据倾向于上下波动，但周期性不明显。第二，在采取隔离政策时，模型假设与患者接触的人被控制在一定比例，这种假设增加了主观因素的影响。基于上述两点，拟合5月10日之前的数据时获得的有效接触率与实际统计数据有所不同。此偏差降低了模型的可靠性。在此基础上，找到了统计数据，找到了对参数确定的医学支持，用随机模拟代替了完全确定性模拟，改进了原始模型，建立了随机模拟模型。(e)改进的随机模拟模型1、根据上述分析，在原始模型的基础上，进行了以下改进假设：1:假设潜伏期的长度以5天为基准，分布2天的正态分布，自由携带者以68%的概率在37天内，以95%的概率在19天内发病。假设家庭2:与患者接触的人每天都以一定的比例隔离。此比率遵循估计值，0.05是方差的正态分布。2、确定参数：控制前，k15月23日，美国科学 mager及其网站上发表了两篇关于SARS的流行病学论文，并对确定非典患者基本普及率(即有效接触率)发表了长评论2。3。控制前表明了有效接触者中在发病前未被有效隔离的人所占的比重。在SARS传染之前，患者不能很好地监视病情，因此在潜伏期，患者无法知道自己的实际情况。因此，在这个阶段，几乎没有在潜伏期内被隔离的患者。这符合控制前的实际情况。控制后k1控制后的有效接触率实际上受到多种因素的综合影响。人们不愿外出，减少了与医院的接触机会，更加注意卫生等因素，使有效的接触率明显降低。英国和香港的一个研究小组的研究表明，感染率(即本文的有效接触率)被控制后，还在1左右徘徊了很长时间。要简化模型，请采用k1=1。控制后，控制后隔离措施细分为几个等级，措施的水平越高，控制力越大，社会成本越高，难度越大3。研究表明，采取隔离措施后，使短期内未隔离的患者占全部自由携带者的40%至90%比率3，即0.4至0.9之间。由于各地的控制力不同，因此，在4月20日之前的北京数据拟合的时候，配