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分段函数的极限和连续性例 设（1）求在点处的左、右极限，函数在点处是否有极限？（2）函数在点处是否连续？ （3）确定函数的连续区间分析：对于函数在给定点处的连续性，关键是判断函数当时的极限是否等于；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续解：（1）函数在点处有极限（2）函数在点处不连续（3）函数的连续区间是（0，1），（1，2）说明：不能错误地认为存在，则在处就连续求分段函数在分界点的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同只有才存在函数的图象及连续性例 已知函数，（1）求的定义域，并作出函数的图象；（2）求的不连续点；（3）对补充定义，使其是R上的连续函数分析：函数是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围，给函数补充定义，使其在R上是连续函数，一般是先求，再让即可解：（1）当时，有因此，函数的定义域是当时，其图象如下图（2）由定义域知，函数的不连续点是（3）因为当时，所以因此，将的表达式改写为则函数在R上是连续函数说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致利用函数图象判定方程是否存在实数根例 利用连续函数的图象特征，判定方程是否存在实数根分析：要判定方程是否有实根，即判定对应的连续函数的图象是否与x轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可解：设，则是R上的连续函数 又，因此在内必存在一点，使，所以是方程的一个实根所以方程有实数根 说明：作出函数的图象，看图象是否与x轴有交点是判别方程是否有实数根的常用方法，由于函数是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用函数在区间上的连续性例 函数在区间（0，2）内是否连续，在区间上呢？分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续解：（且）任取，则 在（0，2）内连续但在处无定义， 在处不连续从而在上不连线 说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线函数在某一点处的连续性例 讨论函数在与点处的连续性分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法本题极限式中，若不能对x以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得的表达式，使解答搁浅讨论在与点处的连续性，若作出的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证由于的表达式并非显式，所以须先求出的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含，故须分类讨论解：（1）求的表达式：当时， 当时， 当时，（2）讨论在点处的连续性：不存在，在点处不连续（3）讨论在点处的连续性：，在点处连续根据函数的连续
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