质点动力学的基本方程 1

1,第11章质点动力学的基本方程,例题,11-1动力学的基本定律,11-2质点的运动微分方程,11-3质点动力学的两类基本问题,2,11-1动力学的基本定律,第一定律(惯性定律):,不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。,第二定律,重力,力的单位:牛顿,第三定律(作用与反作用定律):,两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。,3,11-2质点的运动微分方程,1、在直角坐标轴上的投影,或,质点动力学的基本方程,4,2、在自然轴上的投影,由,有,5,11-3质点动力学的两类基本问题,第一类问题：已知运动求力.,第二类问题：已知力求运动.,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,6,设电梯以不变的加速度a上升,求放在电梯地板上重W的物块M对地板的压力。,解:,将物体M看成为自由质点,它受重力W和地板约束力FN的作用。,ma=FNW,注意到m=W/g,则由上式解得,M给地板的压力FN与地板约束力FN等值而反向。,M,a,例题11-1,例题,第一类问题：已知运动求力.,7,例题11-1,上式第一部分称为静压力，第二部分称为附加动压力，FN称为动压力。,n1,动压力大于静力，这种现象称为超重。,n1,动压力小于静力，这种现象称为失重。,例题,第一类问题：已知运动求力.,8,单摆M的摆锤重W,绳长l,悬于固定点O,绳的质量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角0/2,并被无初速释放，求绳中拉力的最大值。,例题11-2,O,M,M0,0,例题,第一类问题：已知运动求力.,9,解:,采用自然形式的运动微分方程。,任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为,写出质点的自然形式的运动微分方程,例题11-2,考虑到,则式(1)化成,例题,第一类问题：已知运动求力.,10,对上式采用定积分,把初条件作为积分下限,从而得,F=W(3cos2cos0),显然,当质点M到达最低位置=0时,有最大值。故,Fmax=W(32cos0),例题11-2,把式(4)代入式，有,例题,第一类问题：已知运动求力.,11,例题11-3,小球质量为m，悬挂于长为l的细绳上，绳重不计。小球在铅垂面内摆动时，在最低处的速度为v；摆到最高处时，绳与铅垂线夹角为，如图所示，此时小球速度为零。试分别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。,例题,第一类问题：已知运动求力.,12,小球作圆周运动，受有重力W=mg和绳拉力F1。在最低处有法向加速度，由质点运动微分方程沿法向的投影式，有,则绳拉力,小球在最高处角时，速度为零，法向加速度为零，则其运动微分方程沿法向投影式为,则绳拉力,解:,例题11-3,例题,第一类问题：已知运动求力.,13,曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度转动，OA=r，AB=l，当=r/l比较小时，以O为坐标原点，滑块B的运动方程可近似写为,如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当和时，连杆AB所受的力。,x,y,O,A,B,例题11-4,例题,第一类问题：已知运动求力.,14,例题11-4,以滑块B为研究对象，当=t时，受力如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连杆质量，AB为二力杆，它对滑块B的拉力F沿AB方向。,由题设的运动方程，可以求得,当时，且，得AB杆受的拉力,解：,写出滑块沿x轴的运动微分方程,x,y,O,A,B,例题,第一类问题：已知运动求力.,15,例题11-4,得,时，而，,AB杆受压力。,则有,x,y,O,A,B,例题,第一类问题：已知运动求力.,16,质量是m的物体M在均匀重力场中沿铅直线由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力FR与速度平方成比例，即FR=cv2，阻力系数c单位取kgm1，数值由试验测定，试求物体的运动规律。,例题11-5,M,例题,第二类问题：已知力求运动.,1、力是速度函数的情形,17,解：,取坐标轴Ox铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体M的运动微分方程。,以m除式(1)两端,并代入v0的值,得,当时，加速度为零。这个v1就是物体的极限速度。,例题11-5,M,例题,第二类问题：已知力求运动.,18,分离变量,并取定积分,有,由上式求解v，得,于是物体速度随时间而变化的规律为,th是双曲正切。,例题11-5,例题,第二类问题：已知力求运动.,19,于是求得物体的运动方程为,为了求出物体的运动规律，只需把(3)再积分一次，有,例题11-5,例题,第二类问题：已知力求运动.,20,质量为m的小球以水平速度v0射入静水之中，如图所示。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，而大小成正比，即F=-cv。c为阻力系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。,例题11-6,例题,第二类问题：已知力求运动.,1、力是速度函数的情形,21,小球在任意位置M处，受力有重力mg和阻力F=cvxicvyj。,为求vx，vy将上两式分离变量，得,解：,小球沿x，y轴的运动微分方程为,例题11-6,例题,第二类问题：已知力求运动.,22,上两式的不定积分为,按题意，t=0时，vx=v0，vy=0。代入上两式求得两个定分积常数,将C1值代入式,改写为,可得,例题11-6,例题,第二类问题：已知力求运动.,23,整理为,或,可得,将D1值代入式,可得,可得,例题11-6,例题,第二类问题：已知力求运动.,24,取初始位置为坐标原点，即t=0时，x=y=0。代入上两式，求得常数,再积分,得,例题11-6,例题,第二类问题：已知力求运动.,25,则质点的运动方程为,如忽略介质阻力，应有=0。当0时，质点的运动方程为,例题11-6,例题,第二类问题：已知力求运动.,26,例题11-7,质量为m的质点带有电荷e，以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中，初速度方向与电场强度垂直，如图所示。质点在电场中受力F=-eE作用。已知常数A，k，忽略质点的重力，试求质点的运动轨迹。,例题,第二类问题：已知力求运动.,2、力是时间函数的情形,27,例题11-7,取质点的初始位置O为坐标原点，取x，y轴如图所示，而z轴与x，y轴垂直。于是力在三轴上投影为,Fx=Fz=0,因为力和初速度在z轴上的投影均等于零，质心的轨迹必定在Oxy平面内。写出质心运动微分方程在x轴和y轴上的投影式,解：,例题,第二类问题：已知力求运动.,28,例题11-7,得,按题意，时，以此为下限，式和,的定积分分别为,例题,第二类问题：已知力求运动.,29,从以上两式中消去时间t，得轨迹方程,轨迹为余弦曲线，如图所示。,对以上两式分离变量，并以t=0时，x=y=0为下限，做定积分,得质点运动方程,例题11-7,例题,第二类问题：已知力求运动.,30,物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k。在弹簧拉长变形量为a时，释放物块。求物块的运动规律。,例题11-8,例题,第二类问题：已知力求运动.,3、力是坐标函数的情形,31,或,上式化为自由振动微分方程的标准形式,解：,令,例题11-8,例题,第二类问题：已知力求运动.,32,此微分方程的解可写为,由此解出,其中A，为任意常数，应由运动的初始条件决定。由题意，取x=a处的时间为t=0，且此时有。代入上式，有,例题11-8,例题,第二类问题：已知力求运动.,33,代入则此物块的运动方程为,可见此物块做简谐振动，振动中心为O，振幅为a，周期。称为圆频率，应由其标准形式的运动微分方程直接确定。,将,例题11-8,例题,第二类问题：已知力求运动.,34,一圆锥摆，如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的一端系在固定点O，并与铅直线成=60角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力F的大小。,例题11-9,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,35,O,l,以小球为研究的质点，作用于质点的力有重力mg和绳的拉力F。,因，于是解得,绳的张力与拉力F的大小相等。,mg,F,解：,选取在自然轴上投影的运动微分方程，得,例题11-9,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,36,粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在=0时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。,n,例题11-10,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,37,视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。,质点在上升过程中，受到重力mg，筒壁的法向力FN和切向力F的作用。,解：,列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式,质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。即,n,例题11-10,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,38,于是解得,当=0时，铁球将落下，这时FN=0，于是得,显然，越小，要求n越大。当时，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。,例题11-10,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,39,如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m，其悬挂点O以加速度a0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。,a0,O,m,例题11-11,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,40,在悬挂点O上固结一平动参考系Oxy，小球相对于此动参考系的运动相当于悬挂固定的单摆振动。,分析小球受力：重力，绳子张力F。运动：因动参考系作平动，牵连加速度，科氏加速度。,解：,建立相对运动动力学基本方程,例题11-11,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,41,将上式投影到切向轴et上，得,当摆作微振动时，角很小，有，且，上式成为,例题11-11,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,42,令：，则上式可写为自由振动微分方程的标准式,其解的形式为，而振动周期为,例题11-11,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,43,设车厢以均加速度a沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶M0处自由落下的质点M的相对运动。,O1,M0,a,h,M,x1,y1,z1,例题11-12,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,44,解:,取动坐标系O1x1y1z1固连车厢。,因为动坐标系作直线平动,有,mar+mae=W(1),ae=ae,方向与车厢加速度a相同,把式(1)向动坐标系各轴上投影,得相对运动微分方程,即,根据所选坐标系,质点运动的初始条件写成,当t=0时,O1,M0,a,h,ae,W,x1,y1,z1,例题11-12,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,45,将式(2)积分,并利用初始条件(3)确定积分变量,求得质点的相对运动规律为,消去时间t后,得到相对轨迹方程,这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线。,例题11-12,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,46,一质量是m的小环M套在半径是R的光滑圆环上，并可沿大圆环滑动，而大圆环在水平面内以匀角速度绕通过点O的铅垂轴转动。在初瞬时，=0，=2，试写出小环M相对于大圆环的运动微分方程，并求出大圆环对小环M的约束力。（不计小环重力的影响）,*例题11-13,例题,混合问题：第一类与第二类问题的混合.,47,解:,取动坐标系与大圆环固连，小环M相对于大圆环的位置用弧坐标s=R表示。作用于小环