高等数学-常微分方程

微分方程,第十二章,习题课,二、一阶微分方程求解,三、可降阶的高阶微分方程求解,一、微分方程的概念,四、常系数齐次线性微分方程求解,【例】,一、微分方程的概念,常微分方程,偏微分方程,含有自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,(本章内容),分类,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,(n阶显式微分方程),一般地,n阶常微分方程的形式是,或,【分类1】常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,【分类2】,【分类3】线性与非线性微分方程.,【分类4】单个微分方程与微分方程组.,-使方程成为恒等式的函数.,通解,-解中所含独立的任意常数的个数与方程,-确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相等.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,-不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,待定系数法,基本概念,一阶方程,类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4,欧拉方程,二阶常系数线性方程解的结构,特征方程的根及其对应项,f(x)的形式及其特解形式,高阶方程,特征方程法,主要内容,作变换,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程非变量可分离,幂级数解法,降阶,作变换,积分因子,转化,1、可分离变量微分方程,解分离变量方程,可分离变量方程,二、一阶微分方程求解,两边积分,得,则有,2、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2）.【解法】,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1）.【定义】,属于一阶微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,3、线性方程,【例如】,线性的;,非线性的.,一阶线性微分方程的解法,1）.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,2）.解非齐次方程,对应齐次方程通解,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,非齐次方程,两端积分得,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,3）、伯努利方程,【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,(关于z,x的一阶线性方程),【例1】求下列方程的通解,提示(1),故为分离变量方程:,通解,方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,方法1这是一个齐次方程.,方法2化为微分形式,故这是一个全微分方程.,【例2】求下列方程的通解:,提示(1),令u=xy,得,(2)将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,【例3】,【解】,识别下列一阶微分方程的类型，并求解,可分离变量的微分方程,齐次方程,一阶线性齐次方程,全微分方程,通解为,所求通解为,【解】,所求通解为,齐次方程,【解】,【解】,作业:P268;同济p304、p309、同济p315,【特点】,方程右端仅含有自变量x.,【解法】,连续积分n次就可得到方程的通解,三、可降阶的高阶微分方程求解,【方程特点】方程右端不显含未知函数y,则,为所求方程的通解.,【例3】,【解】,方程不显含自变量x,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,1、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,四、常系数齐次线性微分方程求解,2、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,称为微分方程的特征方程,1）.当,特征方程有两个相异实根,因此方程的通解为,则微分,其根称为特征根.,2）.当,特征方程有两个相等实根,则微分,因此方程的通解为,3）.当,特征方程有一对共轭复根,则微分,因此方程的通解为,【例1】,的通解.,【解】特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,【例2】求解初值问题,【解】特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,【解】,特征方程为,解得,故所求通解为,【例3】,3.二阶常系数线性非齐次微分方程,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,【求特解的方法】,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,f(x)常见类型,对应齐次方程,通解结构,【难点】如何求特解？,对非齐次方程,则可设特解:,为特征方程的k重根(k=0,1),可设特解,【例4】,的通解.,【解】本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此