第六章--流体动力学的积分方程分析

1,第六章流体动力学的积分方程分析,第六章流体动力学的积分方程分析,6-1物质积分的随体导数雷诺输运定理,系统是指某一确定流体质点集合的总体，系统的边界把系统与外界分开，系统的体积和边界形状随流动而变化，在系统的边界上没有流体流进和流出，即系统与外界没有质量交换，系统始终由同一些流体质点组成。,控制体则是指流场中某一确定的空间区域，控制体的边界面称为控制面，控制面上可以有质量交换，即有流体流进和流出，因此占据控制体的流体质点是随时间而改变的。,2,第六章流体动力学的积分方程分析,系统的边界有几个特点：,1）系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的形状和大小可以随时变化,2）在系统的边界处没有质量交换，即没有流体流进或流出系统的边界,3）在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力,4）在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出系统的边界,3,第六章流体动力学的积分方程分析,流体控制面的特点：,1）控制面相对于坐标系是固定的,2）在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面,3）在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内流体上的力,4）在控制面上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出控制面,4,第六章流体动力学的积分方程分析,雷诺输运公式一个流体系统的动量可通过系统体积(t)内积分求得，如图所示，系统内任一体积微元d的动量可写为，则系统的总动量为，系统动量对时间的变化率为,系统在运动过程中不断改变其位置、形状和大小，同时组成系统的流体质点的密度和速度也在变化，因此流体系统的动量是一个变量，求系统动量对时间的变化率，就是求一个物质积分的随体导数。,(6-1),5,第六章流体动力学的积分方程分析,作为普遍的情形，定义单位质量流体的物理量分布函数(x,y,z,t)，是空间位置和时间的函数，即一个欧拉变量。某瞬时在系统内对作体积分，即可求出系统所包含的总物理量,积分区域(t)是系统的体积，它随时间而变化。如分别取1、和，则它们的体积分就分别是系统的质量、动量和动量矩。,注意到系统由许多小的流体微元组成，因此系统的总物理量对时间的变化率D/Dt等于各流体微元的物理量对时间变化率的总和,(6-3),(6-2),6,第六章流体动力学的积分方程分析,一个体积为的流体微元包含的物理量为=，于是,上式推导中考虑到流体微元的质量为常量，将上式代入式（6-3），可得,当所取流体微元的体积非常小时，上式右侧可写成积分的形式,7,第六章流体动力学的积分方程分析,如果利用一个在t时刻与(t)重合，而空间位置及大小形状均不随时间变化的控制体来替换(t)，上述体积分值将保持不变，于是,将上式右侧的被积函数作如下展开,(6-4),8,第六章流体动力学的积分方程分析,将上式及式（6-2）代入式（6-4），得,引用高斯定理，上式又可写为,(6-5),式（6-4）与式（6-5）称为雷诺输运公式。,雷诺输运公式有清楚的物理意义：式（6-5）左侧表示一个系统的总物理量对时间的变化率，积分域(t)是系统的体积，(t)随时间变化；,9,第六章流体动力学的积分方程分析,式（6-5）右侧第一项表示在时刻t与系统重合的静止控制体内的物理量变化率，式（6-5）右侧第二项的面积分表示通过控制面净流出控制体的物理量流率。,10,第六章流体动力学的积分方程分析,对于静止控制体，求体积分与对时间求导数的运算顺序可以交换，式（6-5）右侧第一项又可写为,利用式（6-5）可以方便地将式（6-1）改写为,(6-6),即一个系统总动量对时间的变化率等于该时刻与系统重合的静止控制体内的动量变化率与通过静止控制面净流出控制体的动量通量之和。,11,第六章流体动力学的积分方程分析,一维流动在实际问题中，控制面往往只有几个进口和出口，而且流动参数在这些有限的进口或出口上又是均匀分布的，即流动是一维的，此时式（6-5）右侧的面积分可以简化，对某一出口截面面积Ai，有,式中，是质量流量，它的单位是kg/s。流体流出控制体时质量流量为正，而流进控制体时质量流量为负值，因此在进口截面的前需加负号。于是式（6-5）可写为,(6-7),12,第六章流体动力学的积分方程分析,在图示的控制面上，和是进口，、和是出口，式（6-7）可写为,13,第六章流体动力学的积分方程分析,6-2连续方程,在第3章3.5节给出了微分形式的连续方程，本节推导积分形式的连续方程。在流场内任取一系统，其质量为,根据质量守恒定律，系统的质量不随时间变化，即,引用式（6-5），令=1，则对系统的质量守恒定律可用对静止控制体和控制面的积分表示为,(6-10),14,第六章流体动力学的积分方程分析,上式第一项是静止控制体内的流体质量变化率，第二项是净流出静止控制体的质量流量；式（6-10）表示单位时间控制体内流体质量的增加量与流出控制体的流体质量之和等于零。,当控制面只有有限个一维进口和出口时，式（6-10）可改写为,(6-11),15,第六章流体动力学的积分方程分析,定常流动对于定常流动，于是式（6-10）简化为,式（6-11）相应改写为,或,如果控制面只有一个进口和出口，式（6-13）蜕化为式（3-39）,(6-12),(6-13)a,(6-13)b,式（6-13）表示，在定常流动条件下单位时间流出与流进静止控制体的流体质量相等。,16,第六章流体动力学的积分方程分析,不可压缩流动设流体密度为常数，即等密度流动，则式（6-11）中的可以移出积分和求和运算符号以外，注意到,当控制体体积不随时间变化时，上式等于零，于是式（6-10）可简化为,等密度流动是式（6-14）成立的充分条件，而非必要条件。,对不可压缩流动，式（6-13）可改写为,(6-14),或,(6-15)a,(6-15)b,17,第六章流体动力学的积分方程分析,如果控制面只有一个进口和出口，式（6-15）蜕化为式（3-38）,式（6-15）表示，单位时间流出与流进静止控制体的流体体积相等，这是不可压缩流动中流体体积保持不变的自然推论。这一结论无论对于定常流动还是非定常流动都是成立的。,18,第六章流体动力学的积分方程分析,6-3能量方程,热力学第一定律适用于初始状态静止，经过一系列变化后又恢复静止状态的系统。由于流体处于连续的运动中，在研究流体系统的能量守恒时需要对热力学第一定律加以修正，考虑流体总能量(内能、动能与重力势能之和)的变化，即处于流动中的一个流体系统的总能量的变化率等于外力对它的作功功率和外界对该系统的传热功率之和，以数学公式表示为,根据热力学第一定律，一个系统的内能变化等于外力对该系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。,(6-18),19,第六章流体动力学的积分方程分析,式中，是系统的总能量，单位质量流体所具有的能量包括内能、动能V2/2和重力势能gz(取z轴铅垂向上)，即,式(6-18)中和上的圆点表示对时间的导数，它们分别是传热功率和作功功率。可以是单位时间内通过系统界面以热传导形式传递给系统的热量，也可以是以辐射形式或内热源传递给系统的热量；当外界传递热量给系统时，为正。同样当外界对系统作功时，作功功率为正。注意不要将与体积流量Q相混淆。,运用雷诺输运公式(6-5)可以把对系统的随体导数转换为对静止控制体的表示式,(6-19),20,第六章流体动力学的积分方程分析,在推导式(6-5)时，假定在考虑时刻系统与控制体重合，因此传递给系统的热量和对系统所作的功也可以看作是传递给控制体内流体的热量和对控制体内流体所作的功,于是式(6-18)可写为,这里需要对作一些说明。在许多情形下外界向控制体内输入功率主要是通过旋转轴驱动叶轮实现的，即使是往复式的压缩机和内燃机中也存在旋转轴。将外界通过旋转轴传递给控制体的功率计作，或简写为称为轴功率。,(6-20),21,第六章流体动力学的积分方程分析,还包括压力对控制体的作功功率，压力作功发生在控制面上，作用在一个微元面dA上的压力作功功率等于压力与流入控制体的流体速度的法向分量的乘积,在控制面积分上式得总压力作功功率,另外还需考虑作用在控制面上的粘性力的作功功率。微元面上的粘性应力由法向分量和切向分量组成，粘性力作功功率等于作用在一个微元面上的粘性力与相应流体速度矢量的点积,粘性应力总作功功率为,22,第六章流体动力学的积分方程分析,取决于控制面的不同特点，上述面积分取不同的值：,(1)如部分控制面为静止固体表面，则，在这部分控制面上的相应积分等于零；,(2)如部分控制面为旋转轴表面，则在这部分表面上粘性力所作功已记入轴功中；,(3)如部分控制面为流体进出控制体的通道，流体速度与微元面dA垂直，此时切向粘性力作功为零，只有法向粘性力作功，在绝大多数情形下，粘性应力的法向分量都非常小，法向粘性力作功可忽略不计；,(4)在一些特殊情形下，如控制面本身相对于控制体移动，如移动的输送带，则需要考虑粘性应力的作功。,23,第六章流体动力学的积分方程分析,综合以上分析，外界对控制体作功功率可表示为,将上式代入式(6-20)得,将压力功项合并到等式左侧的面积分项中，则有,考虑到式(6-19)，并引用焓的定义，得,(6-21),24,第六章流体动力学的积分方程分析,上式即对静止控制体的能量方程。如上所述，在绝大多数情形下式(6-21)中的粘性应力作功项可忽略。,一维流动如果控制体有数个进口和出口，且流动可近似为一维流动，即、V2/2和gz在进出口截面上是均匀分布的，则式(6-21)左侧的面积分可写为,式中，。真正的一维流动只有在横截面无限小的流管中才存在，这相当于流体质点沿流线的流动，横截面为有限大小的真实流动通常都不是一维的，但在一定条件下可以作为一维流动来处理。,(6-22),25,第六章流体动力学的积分方程分析,对于定常流动，且控制面只有一个一维进口和一个一维出口，如用1表示进口，用2表示出口，则式(6-21)可简化为,考虑到，上式又可写为,式中，分别表示相对于单位质量流体的传热量、轴功和粘性功，每一项的量纲都是速度的平方。,(6-23),这里需要指出，只要存在轴功，叶轮机械如汽轮机内的流动就是非定常的，但这种非定常流动对整个流动来说往往是局部的，叶轮机械的上游和下游的流动仍然是定常的；叶轮机械内部的非定常流动通常是周期性的，从时间平均的角度也可视为定常流动。式(6-23)可应用于流动的两个定常流动截面，在两个截面之间则允许存在局部非定常流动。,26,第六章流体动力学的积分方程分析,不可压缩流动管道内的低速流动可近似视为不可压缩流动。式(6-23)应用于管道内的不可压缩流动时，通常重新将焓写为内能与p/之和的形式。管道系统内部可能包含水泵和水轮机等水力机械，注意到管道壁和水力机械壳体均为静止壁面，粘性力作功项为零。式(6-23)每一项除以重力加速度g，并注意到液体密度沿流道为常数，1=2，有,式中，。,令,称为水力损失。,27,第六章流体动力学的积分方程分析,对于不可压缩流动，流体内能的增加主要是流体内部的粘性摩擦或涡旋所引起的机械能耗损所致，粘性摩擦产生的热量转变为内能，也可能通过控制面散失到外部环境中，这部分能量损失用水力损失来表示。将与水泵相联系的hs表示为hp，而将与水轮机等水力机械相联系的hs，表示为ht，于是一维定常不可压缩流动的能量方程可写为,式中的h项均取正值：在真实流体(粘性流体)中水力损失hf总为正；水泵向控制体内输入能量，hp的作用是使式(6-24)左侧增大，即增加输入控制体的能量；水轮机从控制体中获取能量，ht的作用是使式(6-24)右侧增大，即增加从控制体流出的能量。,(6-24),28,第六章流体动力学的积分方程分析,动能修正因数和缓变流式(6-24)适用于一维不可压缩流动，假设在流道截面上流动变量均匀分布，保持为常数。然而在工程问题中，流道截面上速度分布常常不均匀；当流道截面较大时，p/g和z的变化也不容忽略。此时需要对式(6-24)中的动能项作出修正，同时对式(6-24)的适用流道截面的特征加以限制。,引入一个量纲为一的修正因数，令,上式中是截面平均速度。对于不可压缩流动，且流动速度垂直于截面时，平均速度可计算为，式(6-25)于是可简化为,(6-25),29,第六章流体动力学的积分方程分析,或,引入动能修正因数后式(6-24)修正为,圆管内的层流速度分布由式(5.26e)给出,平均速度与最大速度之比,(6-26),(6-27),30,第六章流体动力学的积分方程分析,将上述速度分布代入式(6-26)，得,式(5.52)给出圆管内湍流速度的幂函数分布,平均速度与最大速度之比,将上述速度分布代入式(6-26)，得,当n=59，=1.1061.037。工程上遇到的流动绝大多数是湍流，通常取1.0。,31,第六章流体动力学的积分方程分析,能量方程与伯努利方程,能量方程(6-24)和(6-27)可看作是对于一个流管的能量方程，它与伯努利方程(4.12)有相似之处，但能量方程的应用更为普遍。能量方程考虑了粘性摩擦、传热和轴功等对流动的影响；伯努利方程对一条流线成立，对不同的流线伯努利常数取不同的值，反映了无粘流动过程中机械能的守恒和相互转换，伯努利方程没有考虑由于传热和轴功等引起的能量传递。,当不存在摩擦损失和轴功时，能量方程(6-24)简化为,形式上等同于伯努利方程(4.12)。如果在一个流管的两个缓变流截面上应用能量方程，又假设截面上速度分布均匀，则总能头(V2/2g+/g+z)在整个截面为常数，此时能量方程和伯努利方程给出同样结果。,32,第六章流体动力学的积分方程分析,6-4动量方程,在一个惯性参考系中，对系统的动量定理可写为,式中的，积分在系统体积内进行；是作用在系统上的力，包括质量力和表面力。令取作，则雷诺输运公式(6-5)可以写为,在推导式(6-5)时假设在初始时刻系统与控制体重合，因此作用在系统上的力也可认为作用于控制体内的流体上，于是对于控制体的动量定理可写为,33,第六章流体动力学的积分方程分析,(6-29),在重力场中，中的质量力即重力；表面力则应包括周围流体作用于控制体的压力和粘性力。,式(6-29)是一个矢量方程，它可以分解为对直角坐标系的三个分量方程，即,(6-30),34,第六章流体动力学的积分方程分析,动量通量,式(6-29)中右侧第二项表示流出控制面的动量通量。如果控制体有数个一维进口和出口，则式(6-29)可写为,式中，是质量流量；是第i个截面上的速度矢量，在一维流动假设下，它在i截面上为常矢量。,(6-31),35,第六章流体动力学的积分方程分析,压力计算,作用于流体的压强总是与其作用面垂直，并指向作用面，于是作用在控制面上的压力可计算为,式中，是控制面的外法线单位矢量。,如果作用于控制面的压强均匀分布，比如是大气压强pa，如图6.11a所示，则总压力等于零，即,(6-32a),(6-32b),36,第六章流体动力学的积分方程分析,只要控制面是封闭的，上式总成立，而与控制面的形状无关，于是在计算控制面受到的总压力时便可以从实际压强中减去一个均匀压强pa，即式(6-32a)可改写为,而不影响实际结果，即在计算中只需考虑表压强pg即可，如图6.11b所示。,37,第六章流体动力学的积分方程分析,外力,在一个控制体内可能只有流体，也可能包含固体物件。实际上为便于分析，有时需要选择控制面与管壁、支撑物或其他固体表面相切割，此时便会有部分管壁、支撑物等伸进控制体中，在控制体内与固体物件接触的流体于是会受到力的作用，称之为外力。当然外力的施主来自控制体外，比如手握水管的消防队员，水泵内驱动叶轮旋转的马达等。为考虑此类力的作用，可在动量守恒式左侧增加一外力项。,38,第六章流体动力学的积分方程分析,例.水流从喷嘴中水平射向一相距不远的静止铅垂平板，水流随即在平板上向四周散开，如图所示，试求射流对平板的冲击力F。,解：利用定常不可压缩总流的动量方程计算射流对平板的冲击力。取射流转向前的断面11和射流完全转向后的断面22及液流边界面所包围的总流流束为控制体（如图所示）,39,第六章流体动力学的积分方程分析,流入与流出控制体的液流速度以及作用在控制体上的外力分别如图所示。控制体四周大气压强的作用相互抵消而不计大气压强，射流方向水平，重力也不计。,如果不计液流的机械能损失，则由定常不可压缩的伯努利方程可得,取x轴方向如图所示，令1=2=1.0，则定常不可压缩总流的动量方程在x轴方向的投影式为,故,40,第六章流体动力学的积分方程分析,式中，Q为射流流量；V为射流速度。射流对平板的冲击力F和大小相等，方向相反。,如果射流冲击的是如图所示的凹面板，则取射流转向前的断面11和完全转向后的断面22之间的液流为控制体，在x轴方向列动量方程，可得,射流作用在凹面板上的冲击力F与大小相等，方向相反。由于，cos为负值，故作用在凹面板上的冲击力大于作用在平板上的冲击力。当时，F=2QV为最大。,41,第六章流体动力学的积分方程分析,解题要点,动量方程与连续方程和能量方程不同，前者是矢量方程，后两者是标量方程，在应用动量方程时注意以下要点，可以避免不必要的错误:,(1)力和动量项都是矢量，在计算草图上标出矢量符号是必要的。,(2)动量通量项的被积函数是一个矢量与一个标量的乘积，速度矢量分量的正负取决于其作用方向，而标量的正负取决于流体流入还是流出控制体。,(3)项包括作用在控制面上的力(压力和粘性力)，重力，以及被控制面切割留在控制体内的固体支撑件所受外力等。压力一般只需计及表压强作用；控制体内部界面上的作用力，如例6.9中叶片与流体间的作用力，属于内力，相互抵消，在分析中不予考虑。,42,第六章流体动力学的积分方程分析,(4)控制面有数个一维进口和出口的近似公式(6-31)适用于大多数场合，如截面流动参数分布严重不均匀(如圆管层流)，则需引入动量修正因数(参阅例6.12)。,(5)在孔口出流、射流等场合，如果流体进入大气，则流动静压强即大气压强。,(6)尽量选取控制面垂直于流动方向，此时速度的法向分量就是速度本身，作用力只有压力。,(7)一个复杂问题的解决往往需要综合应用连续方程、能量或伯努利方程以及动量方程，注意使方程数等于未知数的个数。,43,第六章流体动力学的积分方程分析,6-5动量方程应用举例,动量方程可以应用于各种不同的流动，粘性流动和无粘流动、层流和湍流、可压缩流动和不可压缩流动，等等。因为它是一个积分形式的公式，不需考虑流场的细节，而仅依据流出和流进控制体的动量通量来计算受力，因此可以方便地处理许多工程问题，得到了广泛的应用。,管道受力,管道受力在例6.8中我们讨论了通过一个喷管即渐缩管的流动，由于喷管有向右运动的趋势，为保持平衡需施加一个向左的力。如果喷管与给水管之间通过法兰连接，则连接螺栓将受到一个拉伸力。通过分析管道内的流动以确定管件的受力状态，是管线设计工程师的重要工作。,44,第六章流体动力学的积分方程分析,上述喷管受力是由于流体速度的变化引起的。图6.15示出的90渐缩弯头中，水流的速度和方向都将发生变化，流动方向的变化也将导致管道受力。,45,第六章流体动力学的积分方程分析,类似于动能修正因数，当截面速度分布不均匀时，可以引入动量修正因数来修正式(6-31)中的动量通量项。令,对于层流的抛物线分布，根据上例计算=4/3；对于湍流，当幂函数速度分布的n=59时，=1.0371.013，接近于1，通常可取=1。,引入动量修正因数，对于有一个进口和一个出口的不可压缩定常流动，如果面速度分布不均匀，动量方程可修正为,46,第六章流体动力学的积分方程分析,冲击式水轮机,最典型的冲击式水轮机是水斗式水轮机，又称培尔顿(Pelton)水轮机(图6.17)，喷嘴引导射流沿转轮圆周切线方向冲击转轮斗叶。射流与斗叶的相对运动情形在图6.18中示出：射流速度为Vn，忽略斗叶绕水轮机轴线的圆周运动，认为斗叶只沿着射流方向以速度Vb运动(这一简化不会影响图示平面内的动量平衡)，VnVb。高速射流被斗叶分成两部分，分别转过角度后回流。,47,第六章流体动力学的积分方程分析,取一包围斗叶的控制体随同斗叶一起运动，如图中虚线所示，注意到射流相对于斗叶的速度V=Vn-Vb则由例6.10，斗叶受到射流的作用力可计算为,式中，An是喷管截面面积，为水流密度。运动斗叶产生的功率等于力Fb乘以速度Vb，即,48,第六章流体动力学的积分方程分析,当斗叶静止(Vb=0)或斗叶运动速度等于射流速度(Vn=Vb)时，斗叶功率为零；如取=180，即让射流折转180反向回流时，斗叶功率最大，实用的折转角通常取=165。,49,第六章流体动力学的积分方程分析,6-6动量矩方程,动量定理可以另外一种形式表示。如图6.25所示，任取一质量为m=的流体微团，设其速度为，作用于其上的力为，则对于该流体微团的动量方程可写为,以流体微团的位置矢量叉乘上式两侧，得,上式左侧第二项，于是,(6-50),50,第六章流体动力学的积分方程分析,流体微团的位置矢量与其动量的矢量积称为角动量或动量矩，式(6-50)表示流体微元动量矩对时间的变化率等于作用在流体微元上的力矩。尽管动量矩定理可以看作是动量定理的推广，它在分析许多涉及力矩作用的流动问题时，比如旋转流体机械时，有着特殊的应用。,一个流体系统的动量矩可通过积分求得,令取作，引用雷诺输运定理(6-5)，系统动量矩的变化率对控制体可写为,51,第六章流体动力学的积分方程分析,由于假设控制体在初始时刻与系统重合，作用于系统的力矩就是作用在控制体内的流体上的力矩，于是对于静止且形状不随时间变化的控制体，动量矩定理可表示为,(6-51),上式中的力矩包括重力矩、作用在控制面上的压力产生的力矩和粘性力矩。如果控制体内包含有固体构件，则固体构件也可能对控制体内流体施加力和力矩，比如压缩机、水泵或涡轮机的旋转轴施加的力矩，这些力矩会改变进出控制体流体的压强和速度，因此在式(6-51)中还需要考虑这些外力矩。如果控制体只有数个一维进口和出口，则式(6-51)可写为,(6-52),式中，是通过一个一维通道的动量矩通量，是质量流量。,52,第六章流体动力学的积分方程分析,旋转叶轮机械内部的流动往往是轴对称的，在分析压缩机、泵及涡轮机等的流动时，通常只需考虑式(6-52)沿转轴方向的分量方程。取圆柱坐标系，令z轴与转轴重合，此时只有速度的周向分量V才对转轴有矩。尽管从流场看，叶轮机械内部的流动是周期性的非定常流动，但控制体内流体对转铀的动量矩却保持不变，可视为定常流动。叶轮进、出口截面流动均匀，习惯上取进口截面为，出口截面为，则沿转轴的动量矩方程与例6.18中的式(a)类似，可表示为,(6-53),式中，为通过进、出口截面的质量流量(由连续方程，)，V1和V2分别是流体在进口和出口截面的绝对速度沿叶轮切向的分量，r1和r2分别是进口和出口截面的半径。,53,第六章流体动力学的积分方程分析,由于对称的原因，压力对转轴的矩通常等于零，当忽略重力和粘性力时，则T是外力矩在轴向的分量。在应用式(6-53)作计算时，可规定V1、V2和T沿逆时针方向为正。,54,第六章流体动力学的积分方程分析,6-7动量矩方程的应用,动量矩定理是分析叶轮机械，如泵、风机、压缩机、涡轮机和螺旋桨等的理论工具。利用动量矩方程可以方便地计算力矩以及叶轮机械传输给流体或从流体汲取的能量等参数，为叶轮机械的设计提供依据。本节在一维理想不可压缩流动的假设下，利用动量矩方程分析离心泵和轴流泵的工作原理。,55,第六章流体动力学的积分方程分析,6.7.1离心泵,如图6.28所示，离心泵基本上由一个旋转的叶轮和泵壳组成。流体沿轴向进入泵体，在叶轮叶片的推动下一方面作圆周运动，同时沿径向移动，离开叶轮外缘后进入蜗室，最后流出泵体。流体在离心泵内高速旋转，为了提供流体质点的向心加速度，离心泵内存在很高的径向压强梯度，叶轮叶片作功推动流体沿径向移动，使流体压强得到提升。,56,第六章流体动力学的积分方程分析,本节假设离心泵内的流动是一维的无粘流动，在此基础上建立离心泵内流动的基本方程。实际上离心泵内的真实流动是三维的粘性流动，已有商用软件可对离心泵内的复杂湍流作模拟计算。尽管如此，今天对水泵的设计和改进在很大程度上依旧依赖实验和经验，掌握离心泵内一维流动的基本理论仍然有重要理论意义。,欧拉方程,57,第六章流体动力学的积分方程分析,如图6.29所示，取控制体包围叶轮区域。流体从r=r1进入控制体，由r=r2离开控制体。流体在进口和出口的速度矢量三角形在图6.29b中给出，图中V是流体的绝对速度，即相对于静止坐标系的速度，Vt和Vn分别是V在周向和径向的分量。叶片的周向线速度u可由旋转角速度与半径r的乘积计算，u=r。V与u之间的夹角为。在最佳工况下，期望流体对于叶轮的相对速度w与叶片相切，即w与叶轮切向之间夹角等于叶片的安装角。,应用式(6-53)于上述控制体，则作用于控制体内流体的力矩可计算为,58,第六章流体动力学的积分方程分析,式中，Q是通过泵体的流体体积流量。上式与角速度相乘，得离心泵传递给流体的功率,在理想的情形下，即假定无任何损失，单位重量流体通过泵体后获得的能头增量为,(6-55),上式表示水泵能头的增加仅取决于叶轮端部的线速度和流体绝对速度的切向分量，而与流体的轴向速度无关。,Ht通常称为理论扬程。,59,第六章流体动力学的积分方程分析,应用余弦定理于图中的速度三角形，得,由几何