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第五章留数,2留数的一般理论,一、定义,定义如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那么根据柯西积分定理,但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分,一般就不等于零.,因此f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|R,两端沿C逐项积分:,称C-1为f(z)在z0的留数,记作Resf(z),z0,即,如果z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.,证明由于z0是f(z)的1阶极点，所以在z0的,某个去心邻域内的Laurent级数展开式为,故,所以,二.留数的计算规则规则1如果z0为f(z)的一阶极点,则,规则2如果z0为f(z)的m阶极点,则,事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(z),z0,即得规则2,当m=1时就是规则1。,在孤立奇点处的留数.,z=0是g(z)的1阶极点，于是,易知z=1和z=2都是f(z)的1阶极点，故,处解析，且,所以是f(z)的1阶极点，并且,显然和都在,例求在z=0处的留数.,可知,z=0是f(z)的3阶极点,定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则,三、留数定理,证把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有,注意定理中的条件要满足。例如,不能应用留数定理。,由规则1,得,我们也可以用规则3来求留数:,这比用规则1要简单些.,例4,解：,所以原式=,定义设函数f(z)在圆环域R|z|(R0)内解析,即无穷远点为f(z)的孤立奇点。C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分,四、在无穷远点的留数,理解为C的负方向。,的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作,f(z)在圆环域R|z|内解析，则洛朗展开式为：,这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中z-1的系数相反数.,定理二如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有,证明：
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