常微分方程课件 (2)

第九章常微分方程数值解,1Euler折线法1.Euler法2.改进Euler法3.Euler法的预估校正法2RungeKutta法1.二级RK法法2.二级RK法法3.三级三阶法,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,2,对于常微分方程初值问题,则（9.1）在区间a,b上存在唯一解y=y(x).,如果f(x,y)在a,b(-,+)上连续，且关于y满足Lipschtz条件：,（9.1）,|f(x,y1)f(x,y2)|L|y1-y2|（9.2）,对于(9.1)在区间a,b上的唯一解y=y(x)，一般情况下很难求出其解析解，因此只能通过数值解法求其近似解。,也就说，构造适当的数值方法，利用(9.1)求出y=y(x)在节点x1,x2,xn处的近似函数值y1,y2,yn。,常用方法主要有两种：Euler折线法和Rune-Kutta法。,x(a,b,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,3,1欧拉折线法,一Euler法,xi=x0+ih,i=0,1,2,，n,对于初值问题,将区间a,bn等分，步长为h=(b-a)/n，得到n+1个分点,已知y=y(x)在x0处的函数值为y0，为求出函数在xi点的函数值y(xi)，先将方程(9.1)进行转化。,xa,b,（9.1）,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,4,在区间xi,xi+1上将微分方程化为积分方程：,对于右端积分采用左矩形积分公式，得到近似积分：,这个近似值我们表示为：,即：,xa,b,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,5,并称该计算方法为Euler折线性。,（9.3）,依此类推可以求得函数y=y(x)在所有分点x1,x2,xn处的近似函数值y1,y2,yn：,第n次近似解的整体误差为：,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,6,二、改进Euler法,前面给出的Euler折线性，由于采用的左矩形积分公式，精度较低，如果我们采用梯形公式就可以加以改进，提高计算精度。,对于下式的右端积分,利用梯形公式得到：,进而得到近似计算式：,依此类推可以推得一般的计算公式：,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,7,并称其为改进Euler法，它是一个隐式计算格式。具体计算时，需要从中解出yi+1来。,（9.4）,例9.1用Euler法和改进Euler法计算初值问题,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,8,解:以h=0.02为步长进行计算,这时得区间0,0.1上的分点,由原方程,xi=0+ih=0.02i,i=0,1,2,3,4,5,及Euler折线公式,得具体计算公式,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,9,再由原方程,改进Euler折线公式,得到,这是一个隐式计算公式，但从中很容易解出yi+1来：,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,10,该初值问题的真解为y=(1+2x)-0.45。,用两种算法计算出5个点得近似值，再计算出精确解在这些点的值，其结果列表如下：,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,11,表9-1:三种解的比较,从中可以看出，改进Euler法的结果要更精确一些。,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,12,三、Euler法的预估校正法,在改进Euler法中，有时并不容易解出yi+1来，这时可以通过迭代法求解，得到如下的迭代公式：,其中初值通过Euler公式计算,合并起来就是如下的形式：,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,13,用Euler法提供初值，往往可以得到较好的结果，只需要迭代一次就可以求得很好的近似，因次上面的公式可以改为如下的形式：,并称其为预估一校正法，其中称为预估值，yi+1为校正值。,如果进行编程计算，则改为下式：,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,14,例9.2用预估一校正法求解：,取步长h=0.1,xi=ih,i=0,1,2,10。,解：由公式预估-校正计算公式,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,15,依此类推可以计算出,首先，由y0=1，计算出,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,16,2、RungeKutta法,关于预估一校正法，如果将其推广为,则称其为m级RungeKutta法，其中,为常数，这些常数的选取，应该使得局部截断误差尽可能的高。,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,17,一、二级二阶RK法,其局部截断误差为,由Talor展式得,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,18,由二元函数的Taylor展式,得到,带入Ri+1得到：,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,19,要使Ri+1的阶数尽可能的高，应选取1、2、使h、h2的系数为零，根据f的任意性，应使,解得,这时Ri+1=O(h3)有p=2阶精度。这样得到的方法称为二级二阶R-K法。,2可以任意取定.,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,20,1).当2=1/2时1=1/2，=1,则有,为预估一校正法,2).当2=1时1=0，=1/2,具体为,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,21,二、三级三阶R-K法,利用和二级二阶同样的推理方法可以得出相应的三级三阶R-K法的计算公式,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,22,三、四级四阶标准R-K法,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,23,第九章小结,一、Euler折线法,二、改进Euler折线法,三、预估-校正法,掌握求解右面常微分方程初值问题的三种方法：,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,24,第九章练习题,一、如何推导出Euler法、改进Euler法和Euler预估-校正法。,二、取步长h=0.1,分别用Euler法、改进Eul