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化工计算：一阶常微分方程的数值解,考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:,只要f(x,y)在a,bR1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在a,b上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x1xn=b处的近似值,节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。,1.求解初值问题数值方法的基本原理,数值解,(1),初值问题的数值解,求解(1)最基本的方法是单步法,单步法:从初值开始,依次求出,后一步的值只依靠前一步的,典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:,例:求解常微分方程初值问题,初值问题的数值解,由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值.,初值问题的数值解,构造初值问题数值方法的基本途径,以Euler法为例说明构造IVP问题数值方法的三种基本途径,1.数值微分法,用差商代替微商,亦称为欧拉折线法,2.Taylor展开法,忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式,3.数值积分法区间,将方程在区间上积分,2.高精度的单步法,在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,Runge-Kutta法的基本思想（1）,Runge-Kutta法的基本思想（1）,Runge-Kutta法的基本思想（2）,Runge-Kutta法的基本思想（2）,Runge-Kutta法的基本思想（3）,二阶龙格库塔方法
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