吉林长春东北师范大学附属中学高三数学上学期第一次摸底考试理PDF

东北师大附中东北师大附中 20202020 届高三年级第一次摸底考试数学（理科）试题届高三年级第一次摸底考试数学（理科）试题 一、选择题 1若 i 是虚数单位，在复平面内复数2 1+表示的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2若全集 = |2 5 6 0，集合 = 2，3， = 0，1，5，则()（） A0，1， 5 B1， 5 C D0，1，4，5， 6 3下列函数中，既是偶函数，又在(0，+ )上单调递增的函数是 A = 3 2 B = | C = 1 lg2 D = | + 6 4设 = 0.35， = 50.3， = log0.35，则，的大小关系是 A B C D 5素数也叫质数，部分素数可写成“2n1”的形式（n 是素数），法国数学家马丁梅森就是研究素数 的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数2018 年底发 现的第 51 个梅森素数是 P2825899331，它是目前最大的梅森素数 已知第 8 个梅森素数为 P2311，第 9 个梅森素数为 Q2611，则 约等于（参考数据：lg2 0.3） A107 B108 C109 D1010 6函数 = 22 |， 2，2的图象大致为 A B C D 7“2 2”是“关于的不等式2 + 1 0的解集为”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8已知函数() = |2 + 1| 1， 0 log3， 0 ，若() 1，则实数 a 的取值范围是 A(， 3 2 3， + ) B 3 2，3 C 3 2，0) (0，3 D4， 2 9二次函数 = 2+ + 和 = 2+ + ( 0， )的值域分别为和，命题： ，命题 : ，则下列命题中真命题的是 A B () C() () D() 10若函数() = e + ， 0 2 + 3 1， 0在(， + )上是单调函数，且()存在负的零点，则 的取值范围是 A(0， 1 3 B(0 ， 1 C(1 3，1 D(1 3， + ) 11 已知()是定义在(，0)(0，+ )上的奇函数， 且(2) = 6， 若对任意两个不相等的正数1， 2，都有 2(1)1(2) 12 0的解集为 A(， 2)(0， 2) B(2，0)(2， + ) C(2，0)(0， 2) D(， 2)(2， + ) 12 若关于的方程 e + e+1 +e + = 0有三个不等的实数解1，2，3， 且1 0 2 3， 其中 ， e = 2.71828.为自然对数的底数，则( 1 e1 + )2( 2 e2 + )( 3 e3 + )的值为 Ae Be2 C(2 + )4 D(1 + )4 二、填空题 13已知函数() = ( 1)， 0 ， 0，那么( 7 4)的值为_ 14 函数() = log1 2( 2 + 6)的单调递增区间为 _ 15 如图， 将边长为 1的正方形 ABCD沿 x轴正向滚动， 先以 A 为中心顺时针旋转， 当 B 落在 x轴时， 又以 B 为中心顺时针旋转， 如此下去， 设顶点 C滚动时的曲线为 = ()， 则(5) = _； 当2 0)的两个焦点， 为坐标原点， 离心率为 6 3 ， 点(3， 1)在 椭圆上 （）求椭圆的标准方程； （），为椭圆上三个动点，在第二象限，关于原点对称，且| = |，判断 tan是否存在最小值， 若存在， 求出该最小值， 并求出此时点的坐标， 若不存在， 说明理由 21已知函数() = ln( + 1)，() = 2 +2( 0)，设() = () () （）如果曲线 = ()与曲线 = ()在 x=1 处的切线平行，求实数的值； （）若对 (0，+ )，都有() 0成立，求实数的取值范围； （）已知()存在极大值与极小值，请比较()的极大值与极小值的大小，并说明理由 22在直角坐标系中，直线的参数方程为 = 3 = 2 + （为参数）以坐标原点为极点，轴 的非负半轴建立极坐标系，点的极坐标(32， 5 4 )，曲线的极坐标方程为 = 22cos( + 4 ) （）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （）若为曲线上的动点，求中点到直线的距离最小值 23已知函数() = | + 1| 2| （）求不等式() 2的解集； （）若关于的不等式() 3 2 5在 2 3，1上有解，求实数的取值范围 东北师大附中东北师大附中 20202020 届高三年级第一次摸底考试届高三年级第一次摸底考试（理科）（理科）(数学数学) 参考答案参考答案 1D 2B 3D 4D 5C 6D 7B 8B 9D 10C 11C 12B 13 1 2 14(3， 6) 152；2+ 4 3 165， + ) 17解：()由，得 由正弦定理，得2 2= 2 ，即2+ 2 2= ， 所以 因为0 ，得 ， 所以函数()在，+ 上单调递增， 令，得 0时，函数()在，+ 上单调递增，在(0，)上单调递减 ()设， 则，令， 解得 = 2 ， 当 0，2时， 0/； 当 2，+ 时， ； 故()最大值为(2) = 0， 所以() ()有且只有一个零点 2 19()证明：以 A 为坐标原点，AB，AD，AE 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则(0，0，2)，(2，0，0)，(0，2，0) 取 BD的中点 F 并连接 CF，.由题意得， 又平面 平面 BDC， 平面 BDA， ，(1，1， 2)， = (0， 2，2)，= (1，1，2)， = (0， 2，2) (1，1，2) = 0， ()解：设平面 BCE的法向量为 = (1，1，1)，则 = (2，0， 2)，= (1，1，2)， = 0 = 0 21 21= 0 1 1 21= 0 令 = (1， 1， 2) 平面 FCE的法向量为 = (2，2，2)，(1，1，0) 所以 = (1，1，0)，= (0，0，2)， 由 = 0 = 0 2 + 2= 0 2= 0 得 = (1， 1， 0) 设二面角 为，则， 所以二面角 的大小为 20解：()点(3，1)在椭圆上，则 3 2 + 1 2 = 1， 又 = 6 3 ，2= 2+ 2解得2= 6，2 = 2， 椭圆的方程为 2 6 + 2 2 = 1; ，只需判断 面积 是否有最小值 设直线 EF的方程为 = ( 0)，设(1，1)，(2，2 )， 联立 = 2 6 + 2 2 = 1得 2 = 6 32+1， 所以| = 1 + 2|21| = 261+2 1+32 ， 因为= 1 ，同理可知| = 61+ 1 2 1+ 1 32 = 6 1+2 3+2 ， = 1 2 | = 1 2 261+2 1+32 61+2 3+2 = 6(1+2) (3+2)(1+32) 6(1+2) (3+2)(1+32) 2 = 3 ， 此时3 + 2= 1 + 32，因为 0即 = 1时，最小值为 6， 易知直线 OD的方程为 = ， 联立 = 2 6 + 2 2 = 1，解得 = 6 2 = 6 2 ，即( 6 2 ， 6 2 ) 21解：()因为 ， 所以，由得 = 1 2 ( ，易知(0) = 0， 当4( 1) 0 0 ，即 1时，有 0/，所以()在0，+ 上是增函数， 所以() (0) = 0，满足题意 当4( 1) 0 ，即0 1时， ，得1= 2(1 )，2= 2(1 ) 因为 (0，2 )， ，所以()在0，2上是减函数， () 0 2(1 ) 1，所以0 1且 1 2， 当2 1时，即1 2 (2) 当1 2 0时，即0 0，1+ 2 0，所以(1) (2) 综上，当1 2 1时，()极大值大于极小值； 当0 1 2时，()极大值小于极小值 22解：()直线 l的普通方程 + + 1 = 0， 由， ，即2+ 2= 2 2， 曲线 C的直角坐标方程为( 1)2+ ( + 1)2= 2； ()易知 P 的直角坐标3， 3，设 ， 则 PQ的中点， 设 M到直线 l的距离为 d， 则， 当时，= 2 2 23解：()不等式化为 0 + 1 2