天津第一中学数学数学思想方法资料文pdf

高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 20 第二学期 第十四周第二学期 第十四周 课程内容 数学思想与数学方法 2014-2015 学年 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 / 20 专题：数学思想与数学方法 高考大纲里已明确地提出除考查学生“数学知识和思维能力”外，还要考察学生“数学思 想方法”的运用能力。这一指导思想在这几年的高考试题中，无论在客观题还是主观题中都 有体现，而且越来越向深度和广度发展。从试题看，并没有为突出某个数学思想方法的考 查而专门设计试题。在解题过程中，要领悟到蕴涵在其中的数学思想方法。或者说，应该 上升到一种解题意识。另外，各个思想方法并不是孤立的，应该是互相交叉，互相渗透 的。如，借助函数方程转化就融合了函数方程与转化的两种思想。又如，换元法既是一种 具体的解题方法又可以说是数学思想的体现。 本专题将向学生介绍四大数学思想（函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨 论）及主要的数学方法在解题中的应用。 一、函数与方程思想： 函数和方程是中学数学的核心内容，动态的函数观点和方程思想不仅有着非常广泛的 应用，而且是进一步学习高等数学的基础，因而自然成为历年高考命题的热点内容。 函数思想和方程观点的形成与应用 （1）深刻理解一般函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，二次函数，幂函数，指 数函数和对数函数的特点。是应用函数思想解题的基础。善于挖掘隐含条件，构造出恰当 的函数解析式，并能合理地运用函数的图象和性质，是实施应用函数思想解题的关键。 （2）在解答非函数问题时，通过对问题中各元素的观察分析。产生由此及彼的联想 就会构造出相关的函数模型，从而使问题得以巧妙的解决。 （3）方程观点是解答数学高考题的常用策略之一，列方程（或构造方程）解方程或 研究方程的特性都是在解题中需着重考虑的问题。 （4）在许多数学问题中一般都含有常量、变量或参量。这些参变量中必有一个处于 突出的、主导的地位，我们就把这个参变量称之为主元，于是就构造出关于主元的方程， 主元思想有利于回避易变化的困扰，解方程的实质是分离参变量。 例 1例 1 . , 0 3 6 ) 1 ( 的取值范围 求 表示两条直线 方程 m m y x y x = + + + 解：解： 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 20 3 0 0 0 6 0 12 36 0 0 0 . (*) (*) 0 3 6 2 1 2 1 2 + = + = + m m m t t t t m t t t y x 有两个不等的非负实根 原题等价于方程 设 反思：请同学思考若仅表示一条直线，m 的取值范围又该如何取得？ （2）若 x 2 + kxy 2y 2 x + 4y 2 = 0 表示两条直线，求 k 的取值范围？ 解：解：设（x + by + c）（x + my + n）= 0 x 2 + xmy + xn + bxy + 6my 2 + bny + cx + cmy + nc = 0 x 2 + (m + b) yx + bmy 2 + (n + c) x + (bn + cm) y + nc = 0 时表示两条直线 1 1 2 1 2 1 2 4 1 2 = = = = + = + = = = + = + = = + k c n b m k nc cm bn c n bm k b m 例 2例 2过点 P（2，1）作直线 l，与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A、B 两点，求 SAOB 的最小值及此时 l 的方程 求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l 的方程 求|PA|PB|的最小值及此时 l的方程 解 1：解 1：设直线 l 的方程为 y 1 = k (x 2) y x x y l S k k k k k k k k k k k AOB 即 方程是 此时 的最小值为 取得最小值 时 即 当且仅当 有 由 解 2：解 2： 1 2 4 4 2 1 , 2 , 4 2 1 1 2 4 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 ) 1 , 2 ( ) 0 , 0 ( 1 1 = + = = = = = + = + = + y x l ab S AOB b a b a ab ab b a b a b a l P b a b y a x l 此时 有最小值 面积 时 即 当且仅当 又 上 在 方程 设 解 3：解 3： 0 4 2 ) 2 ( 2 1 1 : 4 2 1 4 4 0 1 4 4 ) 2 ( 4 0 1 ) 2 ( 2 4 : ) 2 1 ( 1 2 2 1 1 2 2 = + = = = = = + + = y x x y l AOB k S S S R k k S k k k k S 即 面积最小值为 时 当 解得 整理得 知 由解 解 4：解 4： 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 20 0 4 2 1 2 4 : 4 2 ) 1 ( 4 4 ) 2 ( 4 4 ) 0 ( 0 4 4 4 0 4 2 : ) 2 ( 2 2 2 1 2 1 ) 1 ( 2 1 1 2 2 2 2 2 = + = + = = = = = = + = = = = = + y x y x l AOB b a a S S s S S R a S aS a a a a a a ab S AOB a a b b a 即 此时 面积最小值为 将 代入 将 整理得 面积 由解 解 5：解 5： 2 2 3 ) 1 )( 2 ( 2 3 ) 1 ( ) 2 ( 3 1 2 3 2 1 1 2 ) 0 ( ) 2 1 , 0 ( ) 0 , 1 2 ( : 1 ) 2 ( 0 4 2 ) 2 ( 2 1 1 4 2 1 tan 4 tan 2 cot 2 1 2 2 tan 2 cot 2 1 2 tan 2 2 2 1 cot 1 2 1 2 2 , , , min + = + + + = = + = r y y x r r 设 消 正解 把 r 看作 y 的函数 2 , 2 10 2 4 5 2 2 + + = y y y r 于是 C1 和 C2 有交点的 r 2 范围即为 f(y)在-2，2时值域 f(-2)=1 f(2)=9 f( 5 4 )= 5 54 1 0 5 54 5 54 1 5 54 ) ( 1 + m m m m mn m m m n ) , 9 + 取值范围 mn 解 2： 0 3 2 2 3 2 + mn mn mn mn mn n m 9 ) ( 1 3 mn mn or mn 舍 例 5例 5解方程 3 x +4 x =5 x 显然 x=2 时 符合 x=2 是方程一个解 原方程变形 0 1 ) 5 4 ( ) 5 3 ( = + x x + = 上 是 则 设 R x f x f x x ) ( 1 ) 5 4 ( ) 5 3 ( ) ( 若 x2 则 f(x)f(2)=0 即 0 1 ) 5 4 ( ) 5 3 ( + + + + + + + x x x x 解： R x x x x f + + = ) 2 1 ( ) ( 2 设 易验证 f(x)在0,+上为增函数 R x x f x x x f = + + = ) ( ) 2 1 ( ) ( 2 上的 是 为奇函数 ) , ( ) ( ) ( + x f x f 原不等式化为 f(x)+f(x+1)0 即 f(x+1)-f(x)=f(-x) x+1-x 2 1 x 例 7例 7 对于满足 0p4 的一切实数，不等式 x 2 +px4x+p-3 恒成立试求 x 的取值范 围 令 的一次函数 视为p x x p x y p f ) 3 4 ( ) 1 ( ) ( 2 + + = = 当 x=1 时 f(p)=0 不满足 f(p)0 f(p)表示 p 的一次函数 p0，4 函数 f(p)的图象是一条线段，要使 f(p)0 恒成立，当且仅当 f(0)0 且 f(4)0 解此 不等式组可求得 x 的取值范围, x3 or x12 直线与圆相离 满足题设要求的实数 a, b 不存在 解 2：必存在 nZ 使 3n 2 -an-(b-15)=0 (*) 0 12b-180 -a 2 由成立 a 2 +b 2 144 (*) 即-a 2 b 2 -144 12b-180bn 2 -144 (b-6) 2 0 b=6 b=6 代回 a 2 108 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 20 b=6 代入(*) a 2 108 a 2 =108 Z a n = = 3 6 不存在 a, b 使同时成立 解 3：a 2 +b 2 144 化为 a=12kcos b=12ksin |k|1 代入 na+b=3n 2 +15 12nkcos+12ksin=3n 2 +15 ) 3 ( 0 ) 2 1 ( 3 0 12 1 12 ) 1 ( 3 1 12 | ) sin( 1 12 | 15 3 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + = + n n n n n k n 即 又 nZ 不成立 不等式 ) 1 ( 2 1 4 1 2 2 + + n n a, b 不存在 例 9例 9若实数 a1, a2, a3, a4 都不为零且 0 ) ( 2 ) 2 3 2 2 4 3 1 2 2 4 2 2 2 1 = + + + + a a a a a a a a a （ 则 a1, a2, a3 成等比，且公比为 a4 求证：a4 是一元二次方程 的实根 0 ) ( ) ( 2 ) ( 2 3 2 2 3 1 2 2 2 2 2 1 = + + + + a a x a a a x a a 0 ) ( 4 ) 2 ( 4 ) )( ( 4 ) ( 4 2 3 1 2 2 4 2 2 3 2 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 = = + + + = a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 1 2 2 , , 0 a a a a a a 即 = 成等比。 由求根公式： 1 2 3 1 2 1 3 1 2 2 2 2 1 3 1 2 4 ) ( ) ( 2 ) ( 2 a a a a a a a a a a a a a a = + + = + + = a4 为该数列的公比 二、 分类讨论思想： 在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然 后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。这种思 想在人的思维发展中有着重要的作用，有关分类讨论思想的数学命题之所以在高考试题中 占有重要位置，原因有二：其一，具有明显的逻辑性特点；其二，能训练人的思维的条理 性和概括性。纵观几年来的全国高考分类讨论试题可以看出，分类讨论思想在高考中占有 非常重要的地位，分类讨论题在高考试卷中的比例，总体上有逐年加重的趋势。这种趋势 产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解 分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的分类思想和技巧，有利于对学生能力 的考查；含参数的问题和分类思想与生产实践、高等数学有密切的联系；试卷中占一定比 例的分类讨论题有助于拉开考生得分的距离，实现高考选拔人才的目标。因此分类讨论仍 将是高考命题的热点之一。 分类讨论引起的原因及方法： 1、不含有参数的分类讨论问题：（角的范围，斜率，对数的底数和真数，绝对值内 的式子） 2、含有参数的分类讨论问题： 以上主要涉及有关数学概念、式子的变形、不确定的图形、有关数学性质、公理、公 式、法则的使用等。 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 20 分类原则：常以数学定义，运算要求，函数性质，图形位置不确定性，根据实际情 况，定理的限制条件等为依据。 例 2. 解不等式 ( )( ) x a x a a + + 4 6 2 1 0 (a 为常数，a 1 2 ) 【解】 2a10 时，a 1 2 ； 4a0 。 所以分以下四种情况讨 论： 当 a0 时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a； 当 a0 时，x 2 0，解得：x0； 当 1 2 1 2 时，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax4a 。 例 3. 在 xoy 平面上给定曲线 y 2 2x，设点 A(a,0)，aR，曲线上的点到点 A 的距离 的最小值为 f(a)，求 f(a)的函数表达式。 【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约 束条件 x0 下的最小值问题，而引起对参数 a 的取值讨论。 【解】 设 M(x,y)为曲线 y 2 2x 上任意一点，则 |MA| 2 (xa) 2 y 2 (xa) 2 2xx 2 2(a1)xa 2 x(a1) 2 (2a1) 由于 y 2 2x 限定 x0，所以分以下情况讨论： 当 a10 时，xa1 取最小值，即|MA| 2 min 2a1； 当 a1 a 所以得： （i）当 2 2 = a 时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F； 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 20 （ii）当 2 2 0 a 时，方程也表示椭圆，焦点 ) 2 1 ( 2 1 , 0 ( 2 + a a E 和 ) 2 1 ( 2 1 , 0 ( 2 a a F 为合乎题意的两个定点. 例 5如图，给出定点 A（a，0）（a0）和直线 l： x=-1，B 是直线 l 上的动点，BOA 的角平分线交 AB 于点 C 求点 C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的 关系。 (1999 全国) 分析：本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等 基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识 解决问题的能力。 解法一：依题意，记 B（1，b）（bR），则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y0 和 ybx， 设点 C （x,y），则有 0xa,由 OC 平分AOB，知点 C 到 OA、 OB 距离相等，根据点到直线的距离公式得 |y|=|y+bx|/ 4 分 依题设，点 C 在直线 AB 上，故有 y=-b/(1+a)(x-a). 6 分 由 x-a0，得 b=-(1+a)y/(x-a). 将式代入式得 y 2 1+(1+a) 2 y 2 /(x-a) 2 =y-(1+a)xy/x-a 2 , 整理得 y 2 (1-a)x 2 -2ax+(1+a)y 2 =0. 9 分 若 y0，则(1-a)x 2 -2ax+(1+a)y 2 =0(0xa); 若 y=0,则 b=0,AOB，点 C 的坐标为（0，0），满足上式， 综上得点 C 的轨迹方程为 (1-a)a 2 -2ax+(1+a)y 2 =0(0xa), 10 分 a1, x-a/(1-a) 2 /a/(1-a) 2 +y 2 /a 2 /(1-a 2 )=1(0xa). 12 分 由此知，当 0a1 时，方程 表示双曲线一支的弧段。 14 分 解法二：设 D 是 l 与 x 轴的交点，过点 C 作 CEx 轴，E 是垂足。 （1）当|BD|0 时，设点 C（x,y），则 0xa y0. 由 CEBD 得 |BD|=|CE|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a). 3 分 COA=COB=COD-BOD=-COA-BOD, 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 12 / 20 2COA=-BOD， 2COA=2tanCOA/(1-tan 2 COA), tan(-BOD)=-tanBOD, tanCOA=|y|/x, tanBOD = |BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a). 2|y|/x/1-(y 2 /x 2 )=|y|/(a-x)(1+a), 整理得 (1-a)x 2 -2ax+(1+a)y 2 =0(0xa). (II) 当|BD|=0 时，BOA，则点 C 的坐标为（0，0），满足上式。 综合（I）（II），得点 C 的轨迹方程为 （1-a)x 2 -2ax+(1+a)y 2 =0(0xa) 10 分 以下同解法一。 从以上两道高考题可以看出，分类讨论确实在解题中应用甚广，同时更是考查的重 点。 （三）数形结合思想：（三）数形结合思想： 所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义 又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种“结合” 寻找解题思路，使问题得到解决。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的 图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。 对数形结合思想的复习，首先要在思想上重视。即在平时学习中要有意识地、自觉地 运用数形结合思想去解决数学问题，做到“胸中有图”、“见数（式）联形”。在就是数与形 的转化是在一定知识范围内实现的，所以必须熟练掌握初等函数的图象与性质，直线与二 次曲线的大致图形以及他们的性质，以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，一些 特殊的数或式所具有的几何意义。掌握好了必要的基础知识和基本技能，才能与数学思想 融和为一体，使复习受到较好效果。 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、 不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关 于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合的应用主要体现在： 1借助于函数与图象的对应关系 2借助于曲线与方程的对应关系。 3借助于以几何元素和几何条件建立起来的概念。 例 1例 1 ? , 1 1 2 方程有两个实数根呢 又若上述 的取值范围 求实数 有且只一个实数根 若方程 m mx x + = 解：解： 1 , 1 2 2 1 + = = mx y x y 令 如图，直线 y=mx+1 经过定点（0，1） 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 13 / 20 直线 y=mx+1 是过定点（0，1）的直线系（除 y 轴）问题即考虑直线与半圆在什么 情况下有且只有一个公共点又在什么情况下有两上公共点.结合图形可知. m=0 或 m1 时 方程只有一个实数根 当 0m1 或-1m = x x m ( ) 设曲线 y 1 (x2) 2 , x(0,3)和直线 y 2 1m，图像如图所示。由图可知： 当 1 m0 时，有唯一解，m1; 当 11m4 时，有唯一解，即3m0, m1 或3 a a x x a a (99 全国) 1 2 2 3 log t t 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 15 / 20 0 | | 1 0 | | 1 1 log 4 3 log 3 2 log 3 2 4 3 4 3 3 2 a x x a x a x a a x x a x a x a x x x t a a a + ) 0 3 4 ( 3 4 ) 2 4 ( log ) 3 4 ( log 2 2 1 2 + + = + x x x x y x x x a a y2=4x-2 (4x-20) 当 a1 时 y1y2, 当 0a0) 图象 函数 y1 与 y2 的图象的交点为（2, 6） 下方 图象在 时 当 时 上方 图象在 函数 时 时 2 1 2 1 4 2 1 0 2 2 1 , 1 y y x a y y x a 0a1 时 不等式解 2x1 不等式解 2 2 1 = ) 3 ( 0 ) 2 ( 0 ) 1 ( ) ( 2 2 2 2 2 a x ak x a x ak x 当(1)、(2)同时成立时，(3)式显然成立，因此只需解 = ) 2 ( 0 ) 1 ( ) ( 2 2 2 ak x a x ak x 由(1)、(2)可得 0 2 2 = a x ak x 作直线 l:y=x-ka 和等轴双曲线弧 x 2 -y 2 =a 2 (y0)，它们有交点的条件是 l 的横截距 ak 满足 ak-a 或 0kaa. 由此得 k-1 或 0 = 0 0 ) ( 2 2 2 2 2 a x ak x a x ak x 由此可知，当抛物线弧 y=(x-ak) 2 (xak)与 y=x 2 -a 2 (xa)有交点时，原对数 方程有解，在同一坐标中画出两曲线图象（如图所示） 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 16 / 20 将顶点在（ak, 0）的抛物线 y1=(x-ak) 2 沿 x 轴从-到+滑动观察讨论与 y2=x 2 -a 2 交点的横坐标何时大于 ak 即 ka k k a + 2 ) 1 ( 2 ) 1 , 0 ( ) 1 , ( 0 1 2 k k k 例 9例 9设 f(x)是定义在区间（-，+）上以 2 为周期的函数，对 kZ, 用 Ik 表示区 间（2k-1, 2k+1），已知当 xI0 时，f(x)=x 2 （1）求 f(x)在 Ik 上解析式 （2）对自然数 k，求集合 Mk=a|f(x)=ax 在 Ik 上有两个不等的实数根 解 1：因为 f(x)是以 2 为周期的函数 kZ 2k 是 f（x）的周期 令 上有二不等实根 在 即 依题意设 时 又 k k k I x ax k x I x ax x f k x x f I k x I x = = = 2 2 0 ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( y=(x-2k) 2 y=ax 由数形结合法 易得出 1 2 1 0 + 0)上的点的最短距离 如图由对称性知，这个最短距离为 |AB|= 2 2 2 2 3 = f(u, v)的最小值是 8 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 17 / 20 （四）转化与化归思想：（四）转化与化归思想： 在解数学问题时，我们常对问题进行转化，使之逐步成为已经解决的问题的模式，这 就是变换与转化思想，一般总是将抽象问题转化为具体问题、复杂问题转化为简单问题、 未知问题转化为已知问题，从而使问题得到解决。所以变换与转化是解决数学问题的一个 重要和基本的思想方法，考查变换与转化思想的试题涉及的面很广。无论代数、三角、立 几、解几或选择、填空、解答题等。在解题过程中，一般都要通过变换将复杂问题转化为 简单问题，从而使问题得到解决。因此，从这个意义上讲，解数学问题的过程，就是转化 的过程，所以变换与转化思想一直是高考的重点内容。 变换方法多样，角度各有不同，数与数，形与数，形与形，又如将实际问题转化为数 学问题，把文字语言转化为数学语言等。 （一）常见转化： 1计算、化简、方程不等式的变形求解：代数中的高次问题转化为低次问题、多元 问题转化为一元问题、超越运算转化为代数运算等。 2利用图象变换的知识作图，利用分割、补形、折叠、展平作辅助线、面处理平 面、空间图形等。 3依据函数与图象关系，通过图形转化为几何问题，几何问题通过建立坐标系转化 为代数问题或三角问题，解析几何中曲线与方程概念等。 4代数问题通过引入三角函数转化为三角问题， 这些变换不仅要求考生有扎实的基础知识和基本技能，同时要有良好的观察力和思维 能力，要善于将问题转化成自己熟悉的问题，这充分体现了对考生较高的能力要求。 （二）转化的手段： 借助三角函数及其他函数，借助方程（组），借助辅助命题，等价变换，（式子变 形、分解因式）降幂、降维等。 例 1：设 P 为双曲线 1 4 2 2 = y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点， 则点 M 的轨迹方程是_ 解：设 M(x, y) 则 P（2x, 2y）在双曲线上代入得 1 4 1 4 4 4 2 2 2 2 = = y x y x 即 通过运算、变形中的技巧，把隐性关系转化为显性关系，从而实现转化 例 2：（2000 全国）设an是首项为 1 的正项数列且 ( ) ( ) _ . 3 , 2 , 1 0 1 1 2 2 1 = = = + + + + n n n n n a n a a na a n 则它们的通项公式是 解：这是已知数列前后两项的关系（隐性）。求数列的通项，若直接求解有一定难 度。 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 18 / 20 ( ) ( ) ( ) n a n n a a a a a a na a n na a a a n n n n n n n n n n n n n n 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 1 = + = + = + + = + + + + + + + + 叠乘后可得 分解因式得到 由 可见，转化中也强调技巧，但其前提条件是你要抓住题目的已知条件的突出特点 例 3 在平面直角坐标系中，在 y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点 A、B，试在 x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点 C，使ACB 取得最大值. 解 如图，此题转化为正切函数来解.设点 A 的坐标为（0，a），点 B 的坐标为（0， b），ab0，又设所求的点 C 的坐标为（x，0），x0，则OCA=+，显然， , 2 0 0）， t- 2 , 2 t- 2 时，取最小值：2a 2 2 2 a 1 2 当 2a 2 时，t 2 ，取最大值：2a 2 2 2 a 1 2 ； 当 00 恒成立，求 k 的范围。 【解】 设 x 1 3 cos， y +1 4 sin，即： x y = + = + 1 3 1 4 cos sin 代入不等式得： 3cos4sink0，即 k 的两个焦点分别为 ( ) 1 ,0 Fc 和 ( ) 2 ,0 Fc ，过点 2 ,0 a E c 的直线与椭圆相交于 , A B两点，且 1212 /,2 F AF B F AF B = （1）求椭圆的离心率 （2）求直线AB 的斜率 （3）设点C 与点A关于坐标原点对称，直线 2 F B 上有一点 ( )( ) ,0 H m nm 在 1 AFC 的 外接圆上，求 n m 的值 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 21 7. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已知 50 ABm = ， 120 BCm = ，于 A 处测得水深 80 ADm = ，于 B 处测得水深 200 BEm = ，于 C 处测得水深 110 CFm = ，求DEF 的余弦值。 8. 如图，在三棱锥PABC 中，PAB是等边三角形， PAC=PBC=90 （）证明：ABPC （）若 4 PC = ，且平面PAC 平面PBC ， 求三棱锥PABC 体积。 9. 某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该 工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）. （）A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？ （）从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 表 1： 生产能力分组 ) 100,110 ) 110,120 ) 120,130 ) 130,140 ) 140,150 人数 4 8 x 5 3 表 2： 生产能力分组 ) 110,120 ) 120,130 ) 130,140 ) 140,150 人数 6 y 36 18 （1） 先确定 , x y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人 中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察 直方图直接回答结论） 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 21 (ii)分别估计A类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均 数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。 10. 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 （1）求椭圆C 的方程 （2）若P 为椭圆C 的动点，M 为过P 且垂直于x轴的直线上的点， OP e OM = （e 为椭圆 C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 11. 已知函数 3223 ( )39 f xxaxa xa =+ . （1）设 1 a = ，求函数 ( ) fx 的极值； （2）若 1 4 a ，且当 1,4 xa 时， ) ( x f 12a 恒成立，试确定a的取值范围. 12. 如图，已知ABC 中的两条角平分线 AD 和CE相交于 H ，B=60 ? ， F 在 AC 上，且 AEAF = 。 （1）证明： , B D H E四点共圆； （2）证明：CE 平分DEF。 13已知向量 ( ) sin2 a , 与 ( ) 1 cos b ， 互相垂直，其中 0 2 ， . （1） 求sin 和cos 的值；