数学高频考点5函数的定积分教师素材pdf新人教

原创资料 编者：邓永生 新增考点新增考点 5 定积分定积分 【考情报告考情报告】 （知识点：定积分）（知识点：定积分） 考查要点考查要点： （1）定积分的计算，要求掌握牛顿莱布尼茨积分运算公式； （2）定积分在平面几何中的应用。理解定积分的几何意义，当平面图形的曲边在x轴上方 时，定积分可转化为求其面积；当平面图形的曲边在x轴下方时，定积分可转化为其面积的 相反。 （3）利用定积分解决简单的物理问题。结合物理学中的知识，将其物理意义转化用定积分 解决，比如变力做功，路程等。 命题预测命题预测： 从 2009，2010 两年他省命题情况来看，有关定积分的考查属于起步阶段，可预测主要为选 择题和填空题形式，难度不大，主要侧重利用定积分求曲边梯形的面积和定积分的计算。考 查分值：5 分。命题指数： 【热点典例热点典例】 热点一：定积分的计算热点一：定积分的计算 例 1、 3 2 1(4 )xxdx 【解析】因为 3 22 (2)4 3 x xxx，所以 3 1 2) 4(dxxx 3 23 1 72 (2)|9 33 x x 3 2 3 【答案】 例 2、的值是（ ） A 2 0 2 |1|dxx . 3 2 B. 3 4 C. D2 . 3 8 【解析】由 21 2 1 2 22 001 |1|(1)()xdxxdxxdx ，又 1 2 0 2 (1) 3 xdx ， 2 2 1 4 (1) 3 xdx，所以2。 【答案】C 【点评】利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数。对于被积函数是 绝对值或是分段函数时，可充分利用性质 2 2 0 |1|xdx ( )( )( ) cb aac b f x dxf x dxf x dx ，将积分区间 利用积分定理分别求出积分值再相加。 热点二：求曲边梯形的面积 分成若干部分 例 3、求抛物线 2 2yx4yx与直线围成的平面图形的面积。 1 原创资料 编者：邓永生 2 2yx与直线4yx【解析】先求出抛物线的交点确定积分区间，再求定积分。 求得交点为和由方程组 2 y (8, 4) 2 4 x yx (2,2)，画出图像。 法一：选x作为积分变知平面图形分为两部分求解， A 量，由图可可 在部分，上边界曲线为 1 2yx，下边界曲线为2yx ，故 22 1 00 2Ax(2 )2 2x dx xdx 3 6 2 2 0 21 2 2|x 33 。 在 2 部 分 ， 上 边 界 曲 线 为4Ayx，曲 线 为2yx ， 故下 边 界 8 2 2 4(2 )Axx dx 3 28 2 2 12 2 (4)| 23 xxx 38 3 ，于是 12 18SAA. 1638 33 法二：选作为积分变量，将曲线方程写为y 2 2 y x 及4xy， 故 2 2 4(4 ) 2 y Sydy 23 2 4 4|30 1218 26 yy y 。 【点评】对于求平面图形面积的问题，首先应根据题意画出平面图形，然后根据图形特点， 选择分面积的表达式进积分运算。 值得提醒 的是：当平面图形在 相应的积变量以确定积分区间， 写出图形积分行 x轴上方时，可以直接利用定积分求出面积；当平面图形的一部分在x 轴下方时，其对应的定积分为负值，应取其相反数。 热点三：热点三： 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 例 4、已知 A、B 两地相距 400m，甲、乙两物体都沿直线从 A 运动到 B，甲物体的速度为 2 (/ )vt m s，乙物体的速度为 2 1 (5) (/ ) 6 vtm s，若甲 2 乙先出发 5 秒钟，问：甲、乙 两物体从 A 到 B 的运动过程中，能否相遇，并说明理由。 【解析】 设乙出发x，则相遇时甲运动的路程)，乙 5 2 0 2(5 x Stdtx 甲 秒后两人相遇 运动的路程 233 11 (5)(5)5 x Stdtx ，由SS，得 0 618 乙乙甲 2 (5)x= 33 5)5 x 32 1 ( 18 ， 化简得。 令，则 310518 250 xxx 32 ( )310518 25f xxxx(10)0,(15)0ff，故方程在内必有(10,15) 2 原创资料 编者：邓永生 x根，记为 0， 因此时，所以甲、乙两物体从 A 到 B 的运动过程中 能相遇。 【点评】是一个物理学中的追及问题，由于是变速运动，可以借助定积分来求相应的路 程，利用路程关系判断能否追及相遇。 热点四：定积分相关的综合应用热点四：定积分相关的综合应用 5、） ，在一个边长为 1 的正AOBC内，曲线y=x 2和曲线 ， 向正方形AOBC内随机投一点. （该点落在正方形AOBC内任何一点是等可 能的）投的点落在叶形图内部的概率是（ ） 22 0 (5)(155)400SSx 乙甲 这 与与 （如图 ，则所 例方形y 2= x 围成一个叶形图 （阴影部分） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 【答案】B 【解析】 阴影部分的面积为 3 1 1 (sx 231 2 0 0 211 )()| 333 xdxxx， 而正方形 AOBC 的面积为 1，故所求的概率为 1 3 B 评】此类题体现“高考命题立足知识交汇点”的命题特色，在考查几何概型概率计算的 。选 【点 同时，考查了用定积分求曲边图形的面积方法，要求对学生对定积分能灵活应用。 【抢分触击专题训练】 1、 2 2 (1 cos ) x dx 等于（ ） A B. 2 C. -2 D. +2 【答案】 【解析】因为 D. (sin )1 cosxxx ， 所以 2 (1 cos ) 2 x dx 2 (sin )|(1)(1)2 22 xx 。故选 D. 2 2、 2 2 2 4x dx 的值是（ A ） 2 B C2 D4 【答案】C 【解析】函数 2 4yx对应的曲线是圆心在原点，半径为 2 的上半圆，由定积分的定义 3 原创资料 编者：邓永生 可知 2 4 2 2 x dx 表示的是 2 4yx与x轴围成的区域面积，即半圆面积为2。 3、函数 2 ( )276f xxx 与( )g xx 的图象所围成的封闭图形的面积为（） 2 3 B C2 8 3 3 A D 【答案】 C 析】由【解6 2 27xxx 得x 1 1， 2 x3，作出函数的图 象如图所示，则所求封闭图形的面积为 3 232 1 3 28 ( 286)(4)| 33 Sxxdxxxx 能拉长弹簧 A、0.18J B、0.26J 0.12J D、0.28J。xx。 【答案】A 由物理学知识 1 6 C、 4、已知如果11cm，为了将弹簧拉长 6cm，所耗费的功为 （ ） k.Com N 来源:Z 【解析】Fkx00可得1k ， 0.06 2 0.06 0 0 10050|50 0.0030.18WxdxJ。 6x 5、设 2 0,1 ( )f x1 (1, xx xe x （其中e为自然对数的底数） e ，则 0 ） f ( )x dx的值为 （ A 4 3 B 5 4 C 6 5 D 6 7 【答案】A 【解析】 e1e 23 1 114 dddln.fxxxxxx e 01 x 000 33x 线6、由直 1 ,2 2 xx，曲线 1 y x 及xx轴所围成图形的面积为( ) 15 A. 4 B.17 4 C. 1 ln2 2 D 2ln2 【答案】D 2 2 1 1 2 2 11 ln|ln2ln2ln2 2 Sdxx x 。 【解析】如图可知： 4 原创资料 编者：邓永生 7、已知 0 )sin(cos, 2 , 0dxxx则当取最大值时，= 。 【答案】 4 0 0 (cossin )(sincos )|sincos12sin() 1 4 xx dxxx 【解析】因， 所以= 4 时取最大值。 8、设，则dxxn)23( 2 1 2 n x x) 2 -(展开式中含项的系数是_。 【答案】40。 【解析】由积分公式可得，由通项公式 2 x 2 232 1 1 (32)(2 )|4( 1)5nxdxxx 3 5 5 ( 2) rrr TC xx 22 155( 2) rr rr r Cx ，令 3 52 2 r r2，得， x。 ，若 22 3 10 440Tx 即 2 ( )1f xax 1 0 ( )2f x dx ，则a 9、设函数_. 【答案】3 【解析】由得 1 0 ( )2f x dx 3 1 0 ()|1 33 axa x 2，解得3a 。 10、在平面区域 2 ,x yy 2 ,0 xxy且内任意取一点，则所取的点恰是平面区 域 PP ,2,x yyx xyy且0内的点的概率为 】 3 4 【答案 2 【解析】 2 0 (2x 1 2 1 3 2 ( ) 4 ) P A x dx 11、设( )yf x是二次函数,方程( )0f x 有两个相等的实根，且( )22f xx ( )yf x（1）求的表达式； 2）求( )yf x的图象与两坐标轴所围成图形的面积. （ xt (0t( )yf x1)（2）若直线，把的图两坐标轴所象与围成图形的面积二等分， 【解析】（1）设 f（x）=ax2+bx+c，则 求 t 的值. ( )2f xaxb， 5 原创资料 编者：邓永生 又已知，a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c 又方程 f（x）=0 有两个相等实根，判别式=44c=0，即 c=1. . 2）依题意，有所求面积= ( )22f xx 故 f（x）=x2+2x+1 （ 3 1 | ) 1 () 12 23 xxxdxx 3 ( 0 1 20 1 x. （3）依题意，有xxxxxx t t d) 12(d) 12( 202 1 ， 3 1 t3+t2t+ 3 1 = 3 1 t 03 | ) 1 ( x 23 1 2 3 1 (| ) 3 t t xxxxx ， 3t2+t，2t36t2+6t1=0， 2（t1）3=1，于是 t=1 3 2 1 . 评述：本题考查导数和积分的基本概念. 若直线的图象所围成的封 闭图形如阴影所示. 、b、c （）求阴影面积 S 关于 的函S（ 问是否存在实数，使y=f（的图象与 y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出 m 的值； . 【解析】（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0） ， （8，0） ，并且 f(x) 则 12、已知二次函数ttttylb. 20(8: 2 1 2 其中为常数） ； : cxaxxf,)(直线 、l2与函数 f（x）的图象以及l1，y 轴与函数 f（x）2 2 xl.l1 （）求的值 t数t）的解析式； a （）若) ,ln6(mxxgm得x） 若不存在，说明理由 的最大值为 16 2 2 0 1 8808 0 4 16, 4 c a abcb c acb a 解之得： ， 函数 fx的解析式4 分 （）由得 0t2，直线 l1与 f（x）的图象的交点坐标为（6 分 由定积分的几何意义知： （ ）为xxxf8)( 2 xxy8 2 tty8 2 ,8, 0)8(8 21 2 txtxttxx )8, 2 ttt 6 原创资料 编者：邓永生 7 x 2 222 (8 )(8 )(8 )(8 t xx dxxxtt d 2 ( )S ttt 0t 2 33 2222 ) 33 t t x t 0 (8 )(4)(4)(8 x tt xxxtx 32 440 1016t 33 tt 9 分 （）令 因为 x0，要使函数 f（x）与函数 g（x）有且仅有 2 个不同的交点，则函数 的图象与 x .ln68)()()( 2 mxxxxfxgx mxxxxln68)( 2 轴的正半轴有且只有两个不同的交点 )0( )3)(1(26826 82)( 2 x xx xx x xx xx x=3 时， 当 x（0，1）时，是增函数； 是减函数 当 x（3，+）时，是增函数 x=1