数学不等式的性质pdf

1 不等式的性质不等式的性质 1、比较准则、比较准则 ab0ab； ab=0a=b； ab0ab. 2、基本性质、基本性质 （1）abba； （2）ab，bcac； （3）aba+cb+c；ab，cda+cb+d； （4）ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd. （5）ab0 n a n b（nN，n1） ；ab0anbn（nN，n1）. 3、注意、注意 （1）性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式. （2）性质（5）中的指数 n 可以推广到任意正数的情形. （3）不等式性质成立的条件.例如，重要结论：ab，ab0 a 1 b 1 ，不能弱化条件得a b a 1 b 1 ，也不能强化条件得ab0 a 1 b 1 . （4）要正确处理带等号的情况.如由ab，bc或ab，bc均可得出ac；而由ab， bc可能有ac，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c. 【例1】若ab0，则下列不等式不能 成立的是（ ） A a 1 b 1 B.2a2b C|a|b| D （ 2 1 ）a（ 2 1 ）b 【例2】对于0a1，给出下列四个不等式，其中成立的是（ ） loga（1+a）loga（1+ a 1 ） ；loga（1+a）loga（1+ a 1 ） ；a1+aa1 a 1 1+ ； a1+aa a 1 1+ . A B C D 【例3】已知三个不等式：ab0，bcad0， a c b d 0（其中a、b、c、d均为实数） ，用其中 两个不等式作为条件， 余下的一个不等式作为结论组成一个命题， 可组成的正确命题的个数是 （ ） A0 B1 C2 D3 2 【例4】设（0， 2 ） ，0， 2 ，那么2 3 的范围是（ ） A （0， 6 5 ） B （ 6 ， 6 5 ） C （0，） D （ 6 ，） 【例5】若p=a+ 2 1 a （a2） ，q=2 24 2 +aa ，则（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【例6】设a=25，b=52，c=525，则a、b、c之间的大小关系为_. 【例7】若13，42，则|的取值范围是_. 【例8】ab0，m0，n0，则 a b ， b a ， ma mb + + ， nb na + + 的由大到小的顺序是_. 【例9】已知12a0，A=1+a2，B=1a2，C= a+1 1 ，D= a1 1 ，则A、B、C、D按从小到 大的顺序排列起来是_. 【例10】已知a2，b2，试比较a+b与ab的大小. 【例11】 已知1a+b3且2ab4，求2a+3b的取值范围. 3 【例12】函数f（x）=x2+（b1）x+c的图像与x轴交于（x1，0） 、 （x2，0） ，且x2x11.当t x1时，比较t2+bt+c与x1的大小. 【例13】设A=xn+x n，B=xn1+x1n，当 xR+，nN 时，求证：AB. 【例14】 比较1+logx3与2logx2（x0且x1）的大小. 4 参考答案： 典型例题 【例1】B 解析：特值法或利用函数的单调性 【例2】D 解析： 1 11a a + 成立 0 0 0 ab bcad cd ab 成立 0 0 0 cd abab bcad 成立 【例4】D 解：02 0 36 0 63 2 63 又3 5745490bc= bc abc 【例7】 （3，3） 解：13 04 33 【例8】 bamana abmbnb + + 1 ana bnb + + bamana abmbnb + 【例10】解：()(1)(1)0ababab+= abab+ 【例11】解：令y=2a+3b=m(a+b)+n(ab)=(m+n)a+(mn)b 2 3 mn mn += = 5 2 1 2 m n = = 51 23()() 22 yababab=+=+= 又 5515 () 222 ab+ 1 2()1 2 ab 913 22 yx1+1t+1 2 10tx + 0 2 1 tbtcx+ 【例13】证明： 111 1 (1) nnnnn n x ABxxxxxx x =+=+ 1 1 (1) n n xx x = 21 (1)(1) n n xx x = Rx + x1时 x10 21 1 n x 此时 21 (1)(1) n n xx x 0 0x1时 x1 或 01 3 01 4 x x 或0 或 01 3 1 4 x x 时 即 4 1 3 x时 3 log