新新教案系列高中数学1.3三角函数的诱导公式教案新人教A必修4

新新教案高中数学必修! 人教实验版 *! 教 学 札记 # * $ $!# $ 则角! %$的终边与单 位圆的交点为;%$!# $ 由三角 函数的定义得 ! #$!$: !$= 8 #$! $ ( ! #! %$#!$: ! %$#$= 8 #! %$# ! $ ! $ $ !# $ 由于角$的终边与角$ % $!# $ 则! #$!$ : !$= 8 #$! $ ( ! #$#!$: !$#$= 8 #$#! $ $ $!# $ 由于角! $与$的终边 关于!轴对称$ 因此角! $的终边与 单位圆相交于;%$ !# $ 则! #$!$ : !$= 8 #$! $ ( ! #! $#!$: ! $#$= 8 #! $# ! $ ! $ 与; 2$ 因为角$与 ! % $的终边关 于直线!$对称$ 若设;$ !# $ 则 ; 2!$# $;%$;$ $!# $ 则;%!$# $;!$# $ 则! #$!$ : !$! # ! % ? # $ : ! ! % ? # $!& . ! # ! % ? # $: !$ : ! ! % ? # $! #$ 这组公式称为% 公式六& 说明# $# % 公式六& 和% 公式五& 类似$ 函数名称都发生了 改变$ 变成了其余函数$ 在符号判断时$ 仍可采用% $当成锐 角看& 的策略$ 但要看的是等号左边函数 即改变前# 的符号& %# % 公式六& 也可利用% 公式三& 与% 公式五& 利用代数方 法推导, ! # ! % ?#$! # ! % 6$12 #: !$#: !$( : ! ! % ?#$: ! ! % 6$12 #! #$#! #$& 提升总结# $# % 公式五& 与% 公式六& 的变化规律是类似 的$ 这两组公式可用下面的口诀记忆, % 函数名改变$ 符号看 象限$ $当成锐角看&这里的改变是指变为其余函数$ % 看象 限& 是看改变前的函数的符号& %# 公式一#四称为第一组诱导公式$ 公式五#六称为 第二组诱导公式& # 利用公式一#六可把任意角的三角函数化为+! & 的三角函数& 例%!求下列各三角函数值& $#! #$ % + ,( %#: !$ ( ,( #: ! $ 1 ! # & & $# 解法# ! #$ % + , ! #$ - + , ) + ,#! #) + , 槡 %& 解法%# ! #$ % + , ! #1 + , % + ,#: ! + , 槡 %& %# 解法#: !$ ( , : !$ - + , & ( ,# : !& ( , 槡 % %& 解法%# : !$ ( , : !1 + , %& ( ,#! #& ( , 槡 % %& # 解 法#: ! $ 1 ! # & : !$ 1 ! & : ! & ! % !# & : ! ! & : ! ! % ? ! # & ! # ! & 槡 % %& 解 法%#: ! $ 1 ! # & : !$ 1 ! & : ! & !% & #! : ! &! : ! ! ! # & : ! & 槡 % %& 点 评 诱导公式的选择不是唯一的& 跟踪练习%# 若9$#! # ! %$% #$%$ 且9%+ + -# %$ 则9%+ + 1#! & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 三角函数第一章 %! 教!学 札记! 解 析9&%+ + -$! # ! % 4%+ + -? # $%$ ! #&$+ + & !%$%$5! #$%$5%! .! #$!.: !$+& 9&%+ + 1$! # ! % 4%+ + 1? # $%$ ! # $+ + & !% ! % ? # $%$ ! # ! % ? # $%$5: !$%$5$& !答案#$ 问题&!角 ! % $与$的三角函数有何关系. 探究# ! # ! % ?#$! # !% ! % ?#12$ ! # ! % ?#$: !$& : ! ! % ?#$: ! ! % ! % ?#12$ : ! ! % ?#$! #$& ! # ! % 6#$! # !% ! % 6#12$ ! # ! % 6#$: !$& : ! ! % 6#$: ! ! % ! % 6#12$ : ! ! % 6#$! #$& 提 升 总 结# $#! # ! % ?#$ : !$(: ! ! % ?#$ ! #$(! # ! % 6#$: !$(: ! ! % 6#$! #$& 也可作为诱导公式使用$ 其变化规律与第二组 即公式 五! 六# 诱导公式相同$ 记忆口诀也是, 函数名改变$ 符号看象 限$ $当成锐角看& %# 所有诱导公式$ 可归纳为(-! % $($# 的形式& 其变化规律可用如下口诀记忆, % 奇变偶不变$ 符号看象限$ $ 当成锐角看& 其中的% 奇& 与% 偶& 是指(是奇数还是偶数( % 变& 与% 不变& 是指函数的名称是否变为其余函数& 例&!若! #)槡 $求 : ! )# : !)! # %! #)12 $ % : !% ! )# : ! %)#! # ! % ?#)! # ! % ?#) 的值& 解# 原式 : !) : !): !)$# % : !) : !): !)%: !) $ $?: !)% $ $6: !) % ! # % )& 点 评 本题是诱导公式和同角关系的综合题! 准确利用 公式是解题关键! 本题常见错误是利用诱导公式时! 函数名 称% 符号易出错& 跟踪练习&# 已知! # !%$# $ % $ 则: ! ! % 6 # $ !& 解 析 由! #& !%$ $ % 得! #$ $ % ! #$ $ % ! : ! ! % 6 # $! #$ $ %& !答案# $ % 备选例题 例!设$ +$ ! # % $ ! #$?$/$ 求! # /! %? # $ 的值& 分 析 利用诱导公式将! # /! %? # $ 的值转化为! #$的 值! 是解题的基本方向! 由于/ ! % %$包含(!%$!(!% ! % %$ & ($ 等表达形式! 因此要对/的不同取值进行分类讨论& 解# $# 当/&( ($# 时$ ! # /! %? # $! #%(! %$#! #$?& %# 当/&(%$ ($# 时$ ! # /! %? # $! # %(!% ! % ?#$! # ! % ?#$: !$ $6? 槡 %& # 当/&(% ($# 时$ ! # /! %? #$! # %(! %!%$#! #!%$#! #$ ?& &# 当/&(% ($# 时$ ! # /! %? #$ ! # %(! % ! %? #$ ! # ! %? #$ : !$ $6? 槡 %& 点 评 诱导公式是针对%(! %$& ($ !%$!$!$! ! % $! ! % %$等形式的角而言! 每一个公式对应一种形式! 如果角的形式不确定! 那么它包含上述几种形式的角! 就需 分几种情况进行讨论& 反思感悟 $&诱导公式的推导是本节课的难点$ 角 ! % $与$的终边 为什么关于直线!$对称是推导中的主要难点$ 可通过一个 锐角$ 发现规律$ 然后给出证明&教师应多引导$ 多启发& %&利用公式三与公式五推导公式六要比用对称性推导 容易得多$ 可引导学生从这一角度推证$ 而对称性的方法由 教师讲解& &诱导公式数目较多$ 应引导学生认真总结规律$ 指导 记忆方法$ 并通过题目的训练熟练掌握&注意让学生区分两 组公式的变化规律 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 新新教案高中数学必修! 人教实验版 &! 教 学 札记 &诱导公式的应用是本节的重点问题$ 在应用公式求值与 化简时容易出现运算错误$ 特别是符号错误$ 应提醒学生注意& 课后作业 $&若! #! %$#%: ! ! % ? # $?$ 则: ! ! % 6 # $% % ! #) ! $# 的值为!# /* % ? 0* ? % 2* %? 3* ? % 解 析-! #& !%$%: ! ! % ? # $?! 即! #$ ! #$% ! #$?! 从而! #$? %& .: ! ! % 6#$% ! #&) !$ ! #$% ! #$ ! #$ ? % & !答案#0 %&在1# + 7中$ 下列各表达式为常数的是!# /* ! #%+#%! #70* : !+%7#: !# 2* ! # %#%+ % %! # %7 % 3* ! #%+ % -! #7 % 答案#2 &若9! #$# 6 : !%$ 则9: !$#!# /* 6: !%$0* 6! #%$ 2* ?: !%$3* ?! #%$ 解 析由 9&: !$9! # ! % 6#$ 6 : !% ! % 6#$6: !&! %$?: !%$& ! 答案#2 & : ! %$ , %: !% , %: !% , %: !%1 + ,的值为 !# /* 1 +0* & (2* & & (3* & & 解 析 原式&: ! %$ , %: !%- 1 ,$ %&: ! % , %: !%- - ,$ % ,%&: ! %& & , %: !%& ) ,$ %: ! %& ( , %: !%1 + , &: ! % $ ,%! # % $ ,$%&: ! % % ,%! # % % ,$%,%&: ! % & & ,% ! # % & & ,$% 槡% # % % % + % $ 4 & & ?$ % + 5 & & & ( & !答案#2 (&若! # ! % 6#$A B- $ & $且$ ! % $ # +$则 : ! ! % ?#$的值为!# /* 槡( 0* 槡 ( 2* 槡 ( 3*以上都不对 解 析 由! # %! #$A B- $ & ! 所以: !$ % & 所 以! #$槡 ( & 因而: ! ! % ?#$! #$槡 ( & 答案#/ )&若: ! ! % 6#$ $ 槡$ + $ 则 : ! ! % ?#$%! #1 + , $# ! #& ( + , $#%: !% . + , $# !& 解 析 原式! #$: ! $ : !$%! #$ $& !答案#$ .&已知函数9$#! # %$ 下列等式中$ &9$# 9$# (9! %$#9$# (19$# 2 %1 9! %$# 2 % $(*9% ! %$#9$# $ 其中正确的是!& 解 析-9&$ ! # % # $ ! # %$ 9&$ ! . &正确& 又-9& !%$! # % & !%$! # %!% % # $ ! # !% ! % ? % # $: ! %$! . 不正确!(正确& 又9&% !%$! # % &% !%$! # ! % % # $ ! # %$ 9&$ ! . *正确& 答案#&(* -&如果: !$ $ ( $ 且$是第四象限的角$ 那么: !$%! # % !& 解 析-: !$ ( ! 且$是第四象限的角! .! #$6: ! % 槡$ $6 # $ (槡 % 槡 % ) ( ! .: !$% ! # % ! #$ 槡 % ) ( & !答案#槡 % ) ( 1&已知: ! ! % ?#$% ! #$ ! # % $ 求 ! # !$#%: ! $%!# ( : ! ( ! % 6#$% ! # . ! % 6#$ 的值& 分 析 先利用诱导公式将已知条件及所求三角函数式 化简! 都转化为$的三角函数值! 再利用同角三角函数 的基本关系! 将所求三角函数式变形! 用已知三角函数 表示出来! 然后将已知条件代入求解& 解# 由已知$! #$% ! # ! % 6#$ 即! #$% : !$ 即= 8 #$%& .原式 ! # $: !$ ( : ! % !% ! % 6#$% ! # & ! ! % 6#$ ! # $: !$ ( ! #$ : !$ ! # % $-! #$: !$ ( ! #$ : !$ ! # % $-= 8 #$ ( = 8 #$ % ! # % $ $ +6 % ! # % $ . % ! # % $! # % $%: ! % $# .! # % $%: ! % $# ! # % $: ! % $ .! # % $%: ! % $# = 8 # % $ .= 8 # % $%$# &6$ .4&?