新新教案系列高中数学3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案新人教A必修4

新新教案高中数学必修! 人教实验版 ! * (! 教 学 札记 $%; * ;$%$ 从而%$ * ;$%作 ;00$轴$ 垂足为0$ 则*0就是角 $%的余弦线作; #0* ;$ 垂足为#( 过点#作# +0$轴$ 垂足 为+( 过点;作; 70# +$ 垂足为7$ 则* #: !%$# ; ! #%$%; # 7%;$* $ 于是*0* +%+0* +%7 ; * #: !$%# ;! #$: !%: !$%! #%! #$&即: !$%# : !%: !$%! #%! #$& 它表明用单角三角函数值可以表示复角三角函数& 问题%!上述结果是在$! %为锐角$ 且%$的情况下得 到的$ 那么$ 一般情况下是否也有这个结果呢. 议一议# 其 实$ 对 于 任 意 的 角$! %都 有: ! $%# : !%: !$%! #%! #$&要说明此结果在角$ %为任意角时也 成立$ 还要做不少推广工作$ 并且推广工作的过程比较繁难& 同学们可自己动手试一试 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 三角恒等变换第三章 ! * )! 教!学 札记! 提升总结# 对于任意角$! %都有: ! $%#: !$: !% ! #$! #%$ 简记为2$%#&此公式给出了任意角$! %的正弦! 余弦值与其差角$%的余弦值之间的关系$ 称为差角的余 弦公式&有了公式2 $%#以后$ 我们只要知道: !$: !%$ ! #$! #%的值$ 就可以求得: !$%# 的值了& 例#!若: !$ $ . $ $+$ ! # % $ 则 : !$% ! # !& 解 析-: !$ . ! $ +! ! # % ! .! #$6: ! % 槡$ $6 $ 槡& 1 槡 & . ! .: !$% ! # : !$ ! #12 : !$: ! ! # %! #$! # ! # $ $ $ & 答案#$ $ $ & 点 评 利用差角的余弦公式求值时! 不能机械地从表面 去套公式! 而要变通地从本质上使用公式&即把所求的角分 解成某两个角的差! 并且这两个角的正% 余弦函数值是已知 的或可求的! 再代入公式即可求解& 跟 踪 练 习#已 知! #$ ( $ ! % $ %#!$ 求: ! ! & 6#$的值& 解#-! #$ ( $ $ ! % $ %#!$ .: !$6! # % 槡$ & ( $ .: ! ! & 6#$: ! &: ! $%! #! &! # $ 槡 % %: ! $%槡 % %! # $槡 % %3 & ( 槡% %3 ( 槡% $ +& 探究二!利用差角的余弦公式求值 问题!已知: !$% # % $ 1 $! # $ %6 #% % $ 且 ! %$ $!$+$%$ ! % $ 求: ! $% % 的值& 思考# 能否通过角的变换$ 把未知角$% % 表示成两个已 知角的差. 引导学生用已知角 $%# % 和 $ %6 #% 的差表示未知 角 $% % $ 即$% % $%# % $ %6 #% $ 然后利用差角的余 弦公式即可求值& 讨论#利 用 差 角 的 余 弦 公 式 求 值 时$不 仅 需 要 : !$%# % 和! # $ %6 #% 的值$ 而且还需要! #$% # % 和 : ! $ %6 #% 的 值&因 此$要 引 导 学 生 对 角 $%# % 和 $ %6 #% 的 范 围 进 行 讨 论$从 而 确 定! #$% # % 和 : ! $ %# % 的正负& 探究#- ! %$ $!$+$%$ ! % $ . ! &$ $ %$ ! % $ +$% %$ ! & $ . ! &$ $% %$! $! &$ $ % %$ ! % & 又: !$% # % $ 1$+ $ ! # $ %6 #% % #+ $ . ! %$ $% %$! $ +$ % %$ ! % $ .! #$% # % $6 # $ 1槡 % 槡 & ( 1 $ : ! $ %6 #% $6 # % 槡 % 槡 ( $ 故: ! $% % : !$% # % $ %6 #12% : !$% # % : ! $ %6 #%! #$%# % ! # $ %6 #% # $ 1 3槡 ( % 槡 & ( 1 3 % 槡 . ( % . & 点 评 通过角的变换! 把未知角$% % 表示成两个已知角 的差! 既是一种变换技巧! 也是一种整体思想&在由已知角的 正弦& 余弦$ 求这个角余弦& 正弦$ 的过程中! 由于要利用平方 关系进行平方运算! 所以一定要判断这个角所在的象限! 一 般要结合题设条件中角的范围及函数值加以确定& 例%!已 知: ! $%# & ( $: ! $%# & ( $ ! %$ $%$% !$ ! %$ $%$!$ 求: !%& 解,-: ! $%# & ( $ ! %$ $%$% !$ .! #$%# (& -: !$%# & ( $ ! %$ $%$!$ .! #$%# ( $ .: !% %: !1 $%#$%# 2 : !$%#: !$%#%! #$%#! #$%# & (3 # & ( %# ( 3 ($& 探究三!利用差角的余弦公式求角 议一议# 已知三角函数值求角时$ 一般可按照下列原则, &利用题中的条件算出角的某一三角函数值(确定所求角 所在的范围(根据题中角的范围写出所求角& 确定用所求角的哪种三角函数值$ 要根据具体题目而 定&若角的范围是 ! % $ ! # % $ 选正弦函数比选余弦函数 好( 若角的范围是+$ !# $ 则选余弦函数比选正弦函数好& 例&!已知: ! ! ) 6#$槡 槡 )? % & $ $ ! ) $ ! # % $ 求$ 的值 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 新新教案高中数学必修! 人教实验版 ! ! *! 教 学 札记 分 析 若将已知等式左边展开! 则含有$的正弦和余弦! 将$的正弦用余弦表示! 再解关于余弦的方程! 这种方法运 算复杂! 实际上可考虑进行角的变换( $ ! ) ! ) 6 # $& 解#-$ ! ) $ ! # % $. ! ) $ ! $ # + & -: ! ! ) 6 # $槡 槡 )? % & $ .! # ! ) 6 # $6: ! %! ) 6 # 槡 $ $6 槡槡 )? % # &槡 % 槡 槡 %6 ) & & .: !$: ! ! ) 6 ! ) 6#12$ : ! ! ): ! ! ) 6#$%! #! )! # ! ) 6#$ 槡 %3 槡槡 )? % & % $ %3 槡槡 %6 ) & 槡 % %& -$ ! ) $ ! # % $.$! & & 点 评 利用角的变换进行求角! 三角函数式求值是常用 的技巧! 常用的角的变换有$& $%$%!$%&$%$% %! %$&$%$%&$%$ 等& 跟踪练习%# 已知$ %为锐角$ : !$ $ . $! # $%# 槡 ( $ & $ 求%的值& 解#-$为锐角$ : !$ $ . $ .! #$6: ! % 槡$ 槡 & . & 又%为锐角$.$% % +$!#& -! #$%# 槡 ( $ & $! #$.$% ! % $ #! & .: !$%#$6! # % $%槡 #$ $ $ & .: !%: !1 $%#$2 : !$%#: !$%! #$%#! #$ $ $# $ & 3 $ .% 槡 ( $ & 3 槡 & . $ %& -% +$ ! # % $.%! & 备选例题 例#!不查表求值, $ %: !$ ( , % 槡 %! #$ ( , & 分 析 本题主要考查两角差的余弦公式的逆用以及特 殊角的三角函数值& 解# 原式: !) + , : !$ ( , %! #) + , ! #$ ( , : !) + , $ ( ,#: !& ( , 槡 % %& 例%!已知: !$%: !% ( $! #$%! #% & ( $ 求 : !$%# 的值& 分 析 由于两角差的余弦公式与同名的两个三角函数 的积有关! 根据条件! 将其平方后即可得出同名的三角函数 之积& 解# 将: !$%: ! % ( 和! #$%! #%& ( 的两边分别 平方并整理$ 得: ! % $%: ! % % : !$: !% 1 % ($ ! # % $%! # % % ! #$! #%$ ) % (& 上述两式求和$ 得%?%: !$: ! %! #$! #%#$& 即: ! $%# $ %& 例&!求函数9$# ! #$: !$ $?! #$%: !$的值域& 分 析 引进变量! #$%: !$槡 % : !$ ! # & ! 用含 的代数式表示函数9&$ ! 先确定变量的范围! 进而确定 9&$ 的值域& 解# 令! #$%: !$槡 % : !$ ! # & & 又$): !$! # & )$! #$%: !$/$ .1槡%$#2$槡%2 $ .9$# $ % %$# $? $ % : !$ 的三角函数式都可以变形为#! #& ! $%$ 的形式& 跟踪练习!# 求函数! #)%! #)% ! # 的单调增 区间& 解# ! #)%! #)% !# ! #)%! #)%! ! # ! #)! #) ! # ! #) ! #): ! 6: !)! # ! # ! #)% ! # & 由%(! ! %) )% ! )% (!% ! % ($# $ 得%(! ( ! ) )%(! % ! ) ($# $ .函 数! #)%! #)% !# 的 单 调 增 区 间 为 %(! ( ! ) $ %(!% ! 12 ) ($#& 综合以上问题可以看出, 利用两角和与差的正! 余弦公 式$ 可以解决化简! 求值! 证明! 确定函数单调区间等问题$ 不 论解决哪种问题$ 都应注意观察! 分析题设的结构特征和公 式的结构特点$ 灵活地运用公式& 备选例题 例#!化简, ! #%$%# ! #$ % : !$%#& 分 析% $%$%&$%$ ! 再恰当运用公式! 即可解决& 解# 原式! # 1 $%#%$2% : !$%#! #$ ! #$ ! # $%#: !$%: !$%#! #$% : !$%#! #$ ! #$ ! # $%#: !$: !$%#! #$ ! #$ ! # 1 $%#$2 ! #$ ! #% ! #$& 例%!当$ +$ ! 12 % 时$ 求函数9 $#! # ! ) 6 # $ : !$的值域& 解# 9$#! #! ): ! $: ! )! #$: ! $ $ %: ! $槡 %! #$: ! $ 槡 %! #$% $ %: ! # $ ! #$: ! ) ?: !$! #!# ) ! #$% ! # ) & -$ +$ ! 12 % $.$%! ) ! ) $ % ! 12 $ 从而! #$%! # ) $ % $ 12 $.9$#$12 $ % & 故当$ +$ ! 12 % 时$ 函数9 $# 的值域是$ 12 $ % & 例&!已知! #$: !%$ & $ 求: !$! #%的取值范围& 解法# ! # %$#! #%: !$%: !%! #$! #%: !$% $ & $ ! # %$#! #%: !$: !%! #$! #%: !$ $ & - $)! # %$#)$)! #%$#)$ . $)! #%: !$% $ &)$ $ $)! #%: !$ $ &)$ 5 6 7 $ . &)! #% : !$) & 当且仅当%$%(! %! % ($# 时$ 右边等号成立( %$% (! ! % ($# 时$ 左边等号成立& 解法%#-! #$: !%$ & $ .: ! % $! # % % $6! # % $# $6: ! % %# $? $ $ ) ! # % $%: ! % %# $ . $ )1 ! #$: !%# % ! # $: !%2 1 $ ) ! #$: !%# %)1 $ )& . &): ! $! #%) & 当且仅当! #$: !%$ 即当$%(!%! % ($# 时$ : !$! #%同号$ 右边等号成立( 当且仅当%$%(! ! % ($# 时$: !$! #%异号$ 左 边等号成立& 反思感悟 $&利用两角和与差的正! 余弦公式求值! 化简! 证明时应 注意观察已知条件和公式的特点$ 灵活运用公式 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 三角恒等变换第三章 ! ! %! 教!学 札记! %&无条件的三角函数求值问题是三角函数中的重要内 容$ 是高考常考查的内容之一$ 对于这类非特殊角的三角函 数式$ 要想求出具体数量一般有以下三种途径,&化为特殊 角的三角函数值(化为正! 负相消的项$ 消去求值(化为 分子! 分母形式$ 进行约分求值& &在解题过程中$ 要注意根据问题的具体特点$ 适当变 形! 配凑出公式的形式$ 并注意隐含条件$ 运用角的代换$ 常 值代换等换元思想& 课后作业 $&对于任何$ % +$ ! # % $ ! #$%# 与! #$%! #%的大 小关系是!# /* ! #$%#! #$%! #% 0* ! #$%#$! #$%! #% 2* ! #$%#! #$%! #% 3*要以$ %的具体值而定 解 析-! #& $%$ ! #$: !% : !$! #%!+$: !%$! + $ : !$ $!.! #&$%$ ! #$% ! #%& !答案#0 %& ! #$ ) , ! #% % , %! #% ( , ! # $ ,等于!# /* $ %!0* $ %!2* 槡 %!3* 槡 % 解 析 原 式! #&$ - + ,$ . ,$! #&$ - + ,%& ,$% ! #&$ - + , %. ,$! #& ) + , & . ,$ ! #$ . , ! #& , %! #. , ! #& . , ! #$ . , ! #& , %: !$ . , : !& , : !) + , $ %& 答案#0 & ! #$槡 : !$槡% ! #$%# $ !$ !# $ 则的 值为!# /* ! ) 0* ! ) 2* ( ! ) 3* ( ! ) 解 析 ! #$槡 : !$槡% 槡 %! #$ $ %: ! # $ 槡 % ! #$ ! # ) !.! ) & !答案#/ &% + + - 山 东# 已 知: !$ ! # ) %! #$ & (槡 $ 则 ! #$%. !# ) 的值是!# /* 槡 % ( 0*槡 % ( 2* & ( 3* & ( 解 析- : !$! # ) %! #$槡 %: !$% %! #$ & (槡 !.! # ! ) ?#$ $ %: ! $%槡 %! # $ & ( ! ! #$%. !# ) ! #$% ! # ) & (& 答案#2 (&已知$ %为锐角$ : !$ & ( $ = 8 #$%# $ $ 则: ! % 的值为!# /*槡 1 $ + ( + 0*槡 $ + $ + 2* 槡$ + $ + 3* 槡 $ $ + ( + 解 析-$! %为锐角! : !$ & ( != 8 #& $%$ $ ! . ! %$ $%$+! #$ ( ! #& $%$ $ 槡$ + ! : !&$%$ 槡$ + !. : !%: !# $&$%$ + : !$: !&$%$%! #$! #&$%$ 槡 1 $ + ( + & 答案#/ )&若$ %$ 4 +$ ! # % $ ! #$%! #4! #%$: !$%: !4 : !%$ 则%$的值为!& 解 析 移 项 后 两 边 平 方 相 加 可 得: !& %$ $ %& 由! #% ! #$ ! #4#+! 得! #$ ! #%!.+ $ %$ ! % !.%$! & !答案# ! .&已知: !$ $ % $: !% $ $ 则! # $%#! #$%# !& 解 析-: !$ % !: !%$ !. ! # % $ & ! # % % - 1 ! ! #&$%$! #&$%$&! #$: !%: !$! #%$ &! #$: !%: !$! #%$! # % $: ! % %: ! % $! # % % &3 $ 1 $ &3 - 1 ( )& !答案# ( ) -&已知#!+均为钝角$! #槡 ( ( $ ! #+ 槡$ + $ + $ 则#%+ 的值为!& 解 析 由 ! % $#$! ! % $+$!. : !# 槡 % ( ( ! : !+ 槡 $ + $ + ! : !&#%+$: !#: !+! #! #+ 槡 % ( ( 3 槡 $ + # $ + 槡 ( (3 槡$ + $ + 槡 % %& 又- ! $#%+$% !.#%+. ! & & !答案# . ! & 1&已知! # $%# ! #% ! # $%)# ! #) $ 求证, : !% ! #% : !$%)# ! #$%)# : !) ! #)% : !$%# ! #$%# & 分 析 将所证等式两边分别通分! 其分子就是两角和与差 的正弦! 由已知其分母相等! 从而可证得等式成立& 证明# 由已知! #%! # $%)#! #)! #$%# $ . : !% ! #% : !$%)# ! #$%)# ! # $%)#: !%: !$%)#! #% ! #%! #$%) & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & # 新新教案高中数学必修! 人教实验版 ! ! &! 教 学 札记 ! # 1 $%)#%2 ! #)! #$%# ! #1 $%#%)2 ! #)! #$%#& 而: ! ) ! #)% : !$%# ! #$%# ! # $%#: !)%: !$%#! #) ! #)! #$%# ! # 1 $%#%)2 ! #)! #$%#$ .等式成立& $ +&已知函数9$# % ! #$%! # ) % : !$ ! % $ 12 ! & $# 若! #$& ( $ 求函数9 $# 的值( %# 求函数9 $# 的值域& 分 析 &$ 把9& $ 展开成含! #$!: !$的式子! 利用 同角关系求解 &%$ 化为一个角的三角函数形式! 然后 根据角的范围和三角函数有界性来求值域& 解# $#- ! #$& ( $ ! % $ 12 ! $. : !$ (& .9$#% 槡 %! #$% $ %: ! # $% : !$ 槡 ! #$: !$ & (槡 % (& %# 由$# 知9 $#% ! #$ ! # ) & - ! %) $)!$ . ! ) $ ! ) ( ! ) $. $ %)! # $ ! # ) )$ .函数9$# 的值域为$12% & 第二课时 图)$)% 情景创设 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山 上&如图)$)%所示$ 小山的高+ 7约为 +米$ 在 地平面上有一点#$ 测得#! 7两点间距离约为 ) .米$ 从 点#处 观 测 电 视 发 射 塔 的 视 角 %7 # E# 约为& ( , &求这座电视发射塔的高度& 解# 设电视发射塔的高7 E$%7 # + $ 则! #$ + ) .& 在 = 1# + E中$ = 8 #& ( , %$#$% + + = 8 #$ 于是$ + = 8 # & ( , %$# = 8 #$ +& 如何能由! #$ + ) .求得= 8 # & ( , %$# 的值呢. 或者说 能不能用! #$把= 8 #& ( , %$# 表示出来呢. 虽然我们已经学习了两角和与差的正! 余弦公式$ 但是 使用这些公式显然不能直接解决上述问题&我们有必要得到 两角和与差的正切公式& 合作探究 探究一!两角和与差的正切公式 问题!你能根据正切函数与正弦! 余弦函数的关系$ 从 2$%#!K$%#出 发$推 导 出 用 任 意 角$ % 的 正 切 表 示 = 8 #$%# 的公式吗. 议一议# 当: ! $%#/+时$ 将公式K$%#!2$%#的两边分 别相除$ 有= 8 # $%#! # $%# : !$%# ! # $: !% : !$! #% : !$: !% ! #$! #%& 当 : !$: !%/+时$ 将上式的分子! 分母分别除以: !$: !%$ 可得= 8 # $%#= 8 # $% = 8 #% $6 = 8 #$= 8 #%$ 将其简记为 L$%#$ 称为和 角的正切公式& 思考# 类比和角的正切公式$ 如何推导差角的正切公式. 提升总结# 由于= 8 # %# ! # %# : !%# ! # % : !% = 8 #%$ 因 此$ 在 公 式L $%#中$ 以%代 替%$ 可 得 到= 8 #$%# = 8 #1$%# 2= 8 # $% = 8 #%# $ 6 = 8 #$= 8 #%# = 8 # $ = 8 #% $ ? = 8 #$= 8 #%$ 即= 8 # $%# = 8 # $ = 8 #% $ ? = 8 #$= 8 #%$ 将其简记为L $%#$ 称为差角的正切公式& 例#!已 知= 8 #$ $ & $= 8 #! $ 求= 8 #$%!# $ = 8 #$!# 的值& 分 析 本题考查公式的直接运用& 解# = 8 #$%!#= 8 # $% = 8 #! $ 6 = 8 #$= 8 #! $ &6 $ 6$ &4 # $ $ .$ = 8 #$!#= 8 #$ = 8 #! $? = 8 #$= 8 #! $ &? $?#3 $ & $ & 跟 踪 练 习#已 知$ ! % $ #! $! #$ ( $ 则= 8 #$%! # & 等于!# ! /* $ . 0* .2* $ . 3* . 解 析-! #$ ( ! $ ! % ! #! ! .: !$ & ( ! = 8 #$ & ! .= 8 #$% ! # & = 8 #$% = 8 #! & $6 = 8 #$= 8 #! & &?$ $? &4$ $ .& 答案#/ 探究二!公式L! $%的适用范围 问题!公式L $%#!L$%#是否对任意角$! %都成立. 议一议# 引导学生讨论在上述公式推导的过程中$ 由于 我们使用了除法$ 而除法的使用是有条件的$ 正如推导过程 中写出的: ! $%#/+$: !$: !%/+$ 所以公式L$%#使用 的前提是$/(!%! % ($# $ %/(! % ! % ($# $ 且L$%#满 足$%/(!%! % ($# $L$%#满足$%/(!% ! % ($# $ 否则公式是不成立的& 思考# 如果= 8 #$! = 8 #%或= 8 #$%# 的值不存在时$ 我们 应该如何处理有关问题. 当= 8 #$! = 8 #%或= 8 #$%# 的值不存在时$ 不能使用 L$%#公式$ 应改用诱导公式或视具体情况来解& 提升总结# $# 公式L $%#成立的条件是,= 8 #$= 8 #% & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ 三角恒等变换第三章 ! ! ! 教!学 札记! = 8 #$%# 的值均存在&若$(!% ! % 或%(! %! % 或$% % (! ? ! % $ $%(! % ! % ($# $ 则公式不成立& %# 当$ %中有一个角为 ! % 的整数倍时$ 使用诱导公式 更灵活! 简便$ 不必用两角和! 差的正切公式展开& 例%!已 知! # ! & ? # $ ( $ $ 且 $ ! & $ ! # & $ 求 $? = 8 #$ $6 = 8 #$的值& 分 析 本题考查公式的逆用! 但应注意角的范围& 解#-! # ! & ?#$ ( $ $ 且$ ! & $ ! # & $ . ! %$ $% ! &$! $.: ! ! & ?#$ % $ $ . $? = 8 #$ $6 = 8 #$ = 8 #! & ? = 8 #$ $6 = 8 #! &= 8 #$ = 8 # ! & ?#$ ! # ! & ?#$ : ! ! & ?#$ ( $ %& 跟踪练习%# 若= 8 #$ $ = 8 # %$#%$ 则= 8 #%的 值为!# /* .0* (2* ( . 3* $ 解 析= 8 #%= 8 # & %$%$+ = 8 #& %$% = 8 #$ $6 = 8 #& %$ = 8 #$ %? $ $6&%$3 $ $& !答案#3 探究三!两角和与差的正切公式的简单应用 问题!两角和与差的正切公式$ 除了公式的表达形式 外$ 还有其他变形吗. 议一议# 改变两角和与差的正切公式的结构$ 可得到如 下一些变形公式, $# = 8 #$% = 8 #% = 8 #$%# $6 = 8 #$= 8 #%# $ = 8 #$ = 8 #% = 8 #$%# $? = 8 #$= 8 #%#& %# = 8 #$= 8 #%= 8 #$%# = 8 #$%# = 8 #$ = 8 #%$ = 8 #$= 8 #%= 8 #$%# = 8 #$ = 8 #% = 8 #$%#& #$6 = 8 #$= 8 #%= 8 #$% = 8 #% = 8 #$%# $ $? = 8 #$= 8 #%= 8 # $ = 8 #% = 8 #$%#& &# $? = 8 #) $6 = 8 #) = 8 # ! & ?#)$ $6 = 8 #) $? = 8 #) = 8 # ! & 6#)& 讨论# $# 两角和与差的正切公式还可以做很多变形$ 如 = 8 #$= 8 # $%# = 8 #% $ ? = 8 #$%#= 8 #% $ = 8 #$%#= 8 #$%#= 8 # % $ = 8 # % % $ 6 = 8 # % $= 8 # % % 等&这些变形虽不要求掌握和记忆$ 但要有所了解$ 探究各种 变形就是一种研究性学习& %# 上述变形公式在等式两边都有意义时恒成立$ 它们 是公式L $%#的不同形式$ 各有其作用& 例&!求= 8 #% + , = 8 # + , % = 8 # + , = 8 #& + , % = 8 #& + , = 8 #% + , 的值& 分 析 将前两项提取= 8 # + ,后! 再利用变形公式= 8 #$% = 8 #% = 8 #&$%$ &$6 = 8 #$= 8 #%$ ! 即可化简求值& 解# 原式 = 8 # + , = 8 #% + , % = 8 #& + ,#% = 8 #& + , = 8 #% + , 槡 = 8 # % + , %& + ,# $6 = 8 #% + , = 8 #& + ,#% = 8 #& + , = 8 #% + , 槡 3槡 3$6 = 8 #% + , = 8 #& + ,#% = 8 #& + , = 8 #% + , $& 跟踪 练 习&# 求 值,= 8 #% + ,%= 8 #& + ,%槡 = 8 #% + ,- = 8 #& + , !& 解 析-= 8 #&% + , %& + ,$= 8 #% + , % = 8 #& + , $6 = 8 #% + , = 8 #& + , = 8 #) + , 槡!.= 8 #% + , % = 8 #& + , 槡槡 = 8 #% + , = 8 #& + , & .= 8 #% + , % = 8 #& + , %槡 = 8 #% + , = 8 #& + , 槡& 答案# 槡 备选例题 例#!是 否 存 在 锐 角$和%$ 使 得 $# $% ! ( %# = 8 #$ %= 8 #% 槡 %6 同时成立. 若存在$ 请求出$和%的 值( 若不存在$ 请说明理由& 分 析 本题需进行存在性的探索! 注意条件= 8 #$ %= 8 #% 槡 %6 中的角是$ % 与%! 为此应将$% % ! 变成$ % % ! ! 又取同名函数! 故取正切& 解# 由$# 得$ % % ! $ .= 8 # $ %? #% = 8 #$ %? = 8 #% $6 = 8 #$ %= 8 #% 槡& 将%# 代入上式$ 得= 8 #$ % = 8 #% 槡 6 & .= 8 #$ % $ = 8 #%是一元二次方程$ % 槡 6 #$%6 槡+的两个根$ 解此方程得$%槡 %6 & -+$ %$ ! & $.= 8 #$ % 不可能等于$ 从而= 8 #$ % 槡 %6 $= 8 #%$& -+$%$ ! % $.%! & &将% ! & 代入$# 得$! ) & .存在锐角$ ! ) $ % ! & 使得$# ! %# 同时成立& 点 评 &$ 按命题存在求解&%$ 若结果与命题相符! 则表 示存在! 否则不存在 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 新新教案高中数学必修! 人教实验版 ! ! (! 教 学 札记 例%!在斜三角形# + 7中$ 求证,= 8 #%= 8 #+%= 8 #7 = 8 #= 8 #+= 8 #7& 分 析 在公式L& $%$中!= 8 #% = 8 #+与= 8 #= 8 #+之 间有联系&在1# + 7中!#%+%7$ - + , & 证明#-#%+%7$ - + ,$.#%+$ - + , 7& .= 8 #%+# = 8 #$ - + , 7# = 8 #7& . = 8 #% = 8 #+ $6 = 8 #= 8 #+ = 8 #7& .= 8 #% = 8 #+ = 8 #7$6 = 8 #= 8 #+#& 即= 8 #% = 8 #+% = 8 #7 = 8 #= 8 #+= 8 #7& 点 评 &$ 在 公式L& $%$中! 可做适当变形&如= 8 #$% = 8 #% = 8 #&$%$ &$6 = 8 #$= 8 #%$& &%$1# + 7中!#%+%7$ - + ,! # % %+ % 1 + , 7 % ! ,! 这些在解题时都有其应用的价值& 例&!设= 8 #$!= 8 #%是关于$的一元二次方程? $% %?#$%?%#+的两根$ 当?变化时$ 求= 8 # $%# 的最小值& 分 析利 用 根 与 系 数 的 关 系 及 公 式 L&$%$!可 将 = 8 #&$%$ 表示成?的函数&由方程有实根可得?的取值范 围! 由此再求函数的最小值& 解# 根据题意$ 方程有实根$ . ?/+$ /%?# %& ?%#4+ / $ 即 ?/+$ ?) 1 & 5 6 7 & 又= 8 #$! = 8 #%是方程? $ % %?#$%?%#+的 两根$.= 8 #$% = 8 #%6% ? ? $ = 8 #$= 8 #%?% ? & .= 8 #$%#= 8 # $% = 8 #% $6 = 8 #$= 8 #% 6%? ? $6?% ? 6% ? % %?4 % 1 & & 故= 8 # $%# 的最小值为 & 点 评 求解最值问题! 一般应利用函数思想解决&其中 建立函数关系! 确定函数的定义域! 是解题中的两个主要步 骤&有关一元二次方程的根与系数的关系问题! 一般不用求 根公式& 反思感悟 $&解题时注意整体与部分的角色相互转换, 一个复杂的 式子可能只是部分$ 而一个看似简单的字母可以代表全体$ 辩证地! 运动地看待问题在本节中非常突出& %&三角函数是以角为自变量的函数$ 角是主要的变量$ 解题时$ 应该认真去观察有关的角$ 确定是否拆角$ 拆成什么 样的角. 是否要配角$ 如何配角. 从而把角看% 活& $ 这样才 能抓住问题的本质$ 把解题思路放开& &解题中应注意隐含条件$ 特别是要注意讨论角的范 围$ 必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围$ 从而确 定角的大小& &在两角和与差的正切公式中$ 要注意公式的适用范 围$ 特别是要注意公式的不同变形$ 解题时要活用$ 要用活& 课后作业 $&#!+!7是1# + 7的三个内角$ 且= 8 #!= 8 #+是方程 $ %( $%$5+的两个实数根$ 则1# + 7是!# /*钝角三角形0*锐角三角形 2*等腰三角形3*等边三角形 解 析 由一元二次方程根与系数的关系可得 = 8 #% = 8 #+ ( ! = 8 #= 8 #+ $ ! .= 8 #&#%+$= 8 #% = 8 #+ $6 = 8 #= 8 #+ ( $6 $ ( %& 在1# + 7中! = 8 #7 = 8 #!&#%+$ + = 8 #&#%+$ ( %$+ ! .7是钝角!. 1# + 7是钝角三角形& !答案#/ %&已知= 8 #$!= 8 #%是关于$的方程$%& S $ 5+S # 的 两 个 实 数 根$ 且$%/(!% ! % ($# $ 则 : ! % $%#%S! #$%#: !$%# 的值为!# /* +0* $2* %3* 解 析 = 8 #$% = 8 #%&S! = 8 #$= 8 #% / ! .= 8 #&$%$= 8 # $% = 8 #% $6 = 8 #$= 8 #% &S & S! .: ! %& $%$%S! #&$%$: !&$%$ : ! %& $%$%S! #&$%$: !&$%$ ! # %& $%$%: ! %& $%$ $?S = 8 #&$%$ $? = 8 # %& $%$ $?S % $?S %$& !答案# 0 &已知= 8 #$%#$= 8 #$%#($ 则= 8 #%$的 值为!# /* $ - 0* $ - 2* & . 3* & . 解 析= 8 #% $ = 8 # &$%$%&$%$ + = 8 #&$%$% = 8 #&$%$ $6 = 8 #&$%$= 8 #&$%$ ?( $6$ ( & . ! 故选3& ! 答案#3 &若$? = 8 # $ $6 = 8 #$%+ + - $ 则 $ : !%$% = 8 #% $的值为!# /* %+ + )0* $2* %+ + -3* + 解 析- $ : !%$% = 8 #% $? = 8 # % $ $6 = 8 # % $% % = 8 #$ $6 = 8 # % $ &$? = 8 #$ % $6 = 8 # % $ $? = 8 # $ $6 = 8 #$%+ + -& !答案# & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 2 三角恒等变换第三章 ! ! )! 教!学 札记! (&已知= 8 #$ $ $= 8 # %$# %$ 且 ! % $%$!$ 则 %!& 解 析= 8 #% = 8 # $%& %$ + = 8 #$% = 8 #& %$ $6 = 8 #$= 8 #& %$ $ 6% $? % $&又- ! %$ %$!.% ! & & !答案# ! & )&化简, 槡6 = 8 #$ - , 槡 $? = 8 #$ - , !& 解 析 原式= 8 #) + , = 8 #$ - , $? = 8 #) + , = 8 #$ - , = 8 #&) + , $ -