江苏扬州高三数学期中调研

数学参考答案第 1 页（共 10 页） 扬州市 20192020 学年度第一学期期中调研测试试题 高三高三 数学数学 参参 考考 答答 案案 一、一、 填空题：填空题： 1. 1,2,3,4 2. 11 22 i 3. 0 4.2yx 5.5 6. 16 7. 6 5 5 8. 1 9. 3 2 10. 3 2 11. 2 12. 1515 , 1515 13. 2 21 2 14. 2 1 ,3e e 二、解答题：二、解答题： 15解： (1)由 1 0 3 x x 得 13Axx 2 分 0m 时, 由 2 40 x得2,2 ,B 4 分 1,2 ,AB 7 分 (2)由 22 24 0 xmxm得： 22Bx mxm 9 分 13Axx , 13, R C A 11 分 R BC A23m,或21m ， 5m或3m 实数m的取值范围为, 35, 14 分 16.解： 5 3 cos, 2 , 0 , 5 4 sin 4 tan 3 2 分 4 1tantan 34 tan()7 4 4 1tantan11 43 6 分 （2）, 25 24 cossin22sin 8 分 . 25 7 sincos2cos 22 10 分 则sin(2)sin2 coscos2 sin 666 数学参考答案第 2 页（共 10 页） 24371724 3 () 25225250 14 分 17 解 ： （ 1 ） 因 为:3l yk x与 圆 C 相 切 ， 所 以 圆 心C到 直 线 的 距 离 2 |32| 2 1 k d k ， 3 分 解得0k 或 12 5 k 所以斜率k为 0 或12 5 7 分 （2）法一：当l的倾斜角为 45时，:3l yx，令0 x ，得3y ，所以0,3B 由 2 2 3 24 yx xy ，解得 17 2 37 2 x y 舍去，或 17 2 37 2 x y 所以 17 37 , 22 D 10 分 则 1717 3,3 , 22 ABBD ，12 分 所以 3 71 17 2 15 分 法二：当l的倾斜角为 45时，:3l yx，令0 x ，得3y ，所以0,3B 过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 M，则 CM =BM 22 |32|2 2 11 ， 10 分 2 14 4 2 MDCM， 142 22 BD 12 分 又 2 2 333 2AB 所以 3 2 71 142 2 15 分 数学参考答案第 3 页（共 10 页） 法三：当l的倾斜角为 45时，:3l yx，令0 x ，得3y ，所以0,3B 设 00 ,D xy 因为ABBD，点D在第一象限，所以 00 3,3,3xy，0 则 0 0 3 33 x y ，得 0 0 3 3 3 x y ，即 3 3 ,3D 12 分 又点 D 在圆上，所以 22 33 324 ，解得17 （舍去）或 71 15 分 18解：设EF中点为M，连结OM，则cos ,2sinOMAD （1）当 3 时，杠铃形图案的面积 12 22 sincoscos 323333 S 232 323 5 分 答：当 3 时，杠铃形图案的面积为 232 323 平方米6 分 （2）杠铃形图案的面积 2 2sincoscos 3 S S 22 2 21 (cossin)sin 3 2 2 2(2sinsin ) 3 9 分 因为 5 412 ，所以 2 21 2sinsin2sin (sin)0 33 ， 0S， S单调递增11 分 所 以 当 4 时 ， S的 最 小 值 为 2 2sincoscos 44434 S 2 2 1 23 . 答：杠铃形图案的面积的最小时为 2 2 1 23 平方米15 分 数学参考答案第 4 页（共 10 页） 19. 解： （1）设椭圆的焦距为2c 因为线段F F 12为直径的圆与椭圆交于点 3 54 5 , 55 P 所以 2 5c 法一： 12 5,0 ,5,0FF，则 12 26aPFPF，3a 所以 22 952bac 则椭圆的方程为 22 1 94 xy 4 分 法二：又点 3 54 5 , 55 P 在椭圆上 所以 22 22 22 3 54 5 55 1 5 ab ab ，解得 2 2 9 4 a b 所以椭圆的方程为 22 1 94 xy 4 分 （2）因为直线ykxt与圆相切，所以 2 | | 5 1 t k ，即 22 5 1tk（） 由 22 1 94 ykxt xy ，消去y得 222 94189360kxktxt 因为直线与椭圆相切， 所以 2 22 184 936940kttk即 22 940kt（） 联立（） （）得 1 2 5 2 k t 负值舍去10 分 取 BD 中点 M，连结 OM，则OMAB， 又ABDE，所以M为 AE 中点 法一：由 1 ykxt yx k ，解得 22 , 11 ktt M kk 所以 2 22 1 2 , 11 tk kt E kk 数学参考答案第 5 页（共 10 页） 代入椭圆方程化简得 42 2 42 3621 929 kk t kk 2 2 42 361 929 k kk 设 2 1 1mk 则 2 2 36 11 204 2 t m ，当2m 时，t取最大值 3，此时1k 又1k ，3t 时， 15 24 0,3 ,1,2 ,2,1 ,3,0 13 13 ABCDE 符合题意，故t的最大值为 3 (不检验扣 1 分) 16 分 法二：则OMAB，M为 AE 中点所以OEOAt 由 222 22 1 94 xyt xy ，解得 2 2 94 5 t x ，则 2 2 5 4 9 x t 又 2 9x ，所以3t ，t的最大值为 3，此时1k 又1k ，3t 时， 15 24 0,3 ,1,2 ,2,1 ,3,0 13 13 ABCDE 符合题意，故t的最大值为 3 (不检验扣 1 分) 16 分 20.解： （1）( )f x的定义域为(0,). 当1a 时， 2 1 ( )ln21,( )22.f xxxxfxx x (1)1. f 所以，函数( )f x在1x 处的切线方程为2(1)yx 即 30 xy2 分 （2） 2 ( )ln22f xxaxaxa， 2 221 ( ),(0) axax fxx x . 当0a 时, 1 ( )0.fx x ( )f x是单调减函数. 符合 3 分 当0a 时, ,( )f x若是单调增函数,则 2 221 ( )0 axax fx x ， 即 2 2210(0)axaxx 恒成立,这不可能;5 分 ( )f x若是单调减函数,则 2 221 ( )0 axax fx x ， 即 2 2210(0)axaxx 恒成立,令 2 h(x)=221axax ,其开口方向向上,对称轴方程为 1 2 x , h(0)=10, 故 2 min 111 ( )( )2 ( )210,02 222 h xhaaa 又,1,2.aZa 7 分 综上，满足条件的非负整数a的值是0,1,28 分 （3）( )( )3g xf xx 数学参考答案第 6 页（共 10 页） 2 ( )ln(21)1g xxaxaxa 2 2(21)1(1)(21) 1 ( )221= axaxxax g xaxa xxx 当0a时， 21 0 ax x . 当01x时，( )0g x，( )g x在(0,1)上为减函数； 当1x 时，g ( )0 x，( )g x在(1,)上为增函数. 所以当(0, xb(1)be时， min ( )(1)0( )g xgg b，不符合题意.10 分 当0a 时， 1 2 (1)() 2 g ( ) a xx a x x . （i）当 1 1 2a ，即 1 2 a 时，当x变化时，( ),g( )g xx的变化情况如下： x 1 (0,) 2a 1 2a 1 (,1) 2a 1 (1,) ( )g x 0 0 ( )g x 极小值 极大值 若满足题意，只需满足 1 ()( ) 2 gg e a ，整理得 2 1 ln2(2 )20 4 aee ae a . 令 2 11 ( )ln2(2 )2() 42 F aaee ae a a ， 当 1 2 a 时， 2 22 1141 ( )2(2)0 44 a F aeee e aaa ， 所以( )F a在 1 ( ,) 2 上为增函数， 所以，当 1 2 a 时， 22 11111 ( )( )(2 )2(2)0 22222 F aFeeee. 可见，当 1 2 a 时， 1 ()( ) 2 gg e a 恒成立，故当 1 2 a ，(0, xb(12)b时，函数( )g x的 最小值为( ).g b；所以 1 2 a 满足题意.12 分 （）当 1 1 2a ，即 1 2 a 时， 2 (1) ( )0 x g x x ，当且仅当1x 时取等号. 所以( )g x在(0,)上为减函数.从而( )g x在(0, b上为减函数.符合题意. 13 分 （）当 1 1 2a ，即 1 0 2 a时，当x变化时，( ), ( )g x g x的变化情况如下表： x (0,1) 1 1 (1,) 2a 1 2a 1 (,) 2a ( )g x 0 0 数学参考答案第 7 页（共 10 页） ( )g x 极小值0 极大值 若满足题意，只需满足( )(1)g eg，且 1 2 e a （若 1 2 e a ，不符合题意） ， 即 2 2 (1) e a e ，且 1 2 a e . 又 2 22 21(1)2 0 (1)22 (1) ee eee e ， 2 22 21(2)1 0 (1)22(1) ee ee 2 21 (1)2 e a e . 综上， 2 2 (1) e a e . 所以实数a的取值范围是 2 2 (,). (1) e e 16 分 21.解：(1)因为矩阵 1 03 a A 属于特征值的一个特征向量为 1 1 ， 所以 111 0311 a ，即 1, 3, a 所以 4, 3. a 5 分 (2) 由(1)知 41 03 A ，所以 2 4141167 030309 A .10 分 22. 解： （1）每次取得白球的概率是 2 5 ，取得红球的概率是 3 5 ， 两次都取得白球的概率是 2 5 2 ，两次都取得红球的概率是 3 5 2 ， 故两次取得的球颜色相同的概率为： 234913 55252525 22 .-3 分 (2)X可能的取值为 2,3,4. -4 分 224 (2) 5525 P X ， 233212 (3) 555525 P X ， 339 (4) 5525 P X .-8 分 所以X的分布列为： X 2 3 4 P 4 25 12 25 9 25 所以X的数学期望 412916 ()234 2525255 E X . -10 分 数学参考答案第 8 页（共 10 页） 23. 解：在正三棱柱 111 ABCA BC 中，取 AB 中点 O，取 A1B1中点 O1，连 OC、OO1，则 OO1/ AA1，ABOC，又正三棱柱 111 ABCA BC 中，AA1平面 ABC，AB、OC平面 ABC，所以 AA1OC，AA1AB，所以 OO1OC，OO1AB. 以 O 为坐标原点，OA、OO1、OC 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz， 则 O 0,0,0， A 1,0,0， C 0,0, 3， C0,2, 3 1 ， E 1,2,0， F1,22,0， 1,2 ,3CE， 1 1, 2 ,3C F ， （1） 若 1 = 2 ， 1,1,3CE ， 1 1, 1,3C F ， 1 1 1 1 131 cos, 555 CE C F CE C F CEC F ，故异面直 线 CE 与 1 C F所成角的余弦值为 1 5 . 5 分 （2）由（1）可得 1,22 ,3CF ， 设平面 CEF 的一个法向量, ,nx y z，则 230 2230 n CExyz n CFxyz ，取1z 得： 32 3 , 3,1n， 取平面 AEF 的一个法向量 OC0,0, 3 ， 由二面角AEFC的大小为，且 2 5 5 sin ，得 22 2 35 cos, 5 332 331 OC n OC n OCn ， 化简得 2 1 (21) 3 ，所以 3 6 3 . 10 分 24. 解： (1) 21 11 ( 1)11SC ， 2 12132 2222 1 1113 ( 1)( 1)( 1)2 222 kk k SCCC k ， 3 1213243 33333 1 111313111 ( 1)( 1)( 1)( 1)3 2323236 kk k SCCCC k ， 数学参考答案第 9 页（共 10 页） 所以 21 1 2 SS， 32 1 3 SS.4 分 (2) 猜想： 1 1 0 n n k S k ，即 111 1 23 n S n .5 分 证法一： 下面用数学归纳法证明. 1当1n 时，由(1)知， 1 1S ，成立； 2假设当nm时， 1 1 1111 ( 1)1 23 m kk mm k SC km . 则当1nm时， 1 112 111 11 111 ( 1)( 1)( 1) 1 mm kkkkm mmm kk SCC kkm 112 1 11 ( 1)( 1) 1 m kkkm mm k CC km 6 分 1112 11 111 ( 1)+( 1)( 1) 1 mm kkkkm mm kk CC kkm 112 1 11 +( 1)( 1) 1 m kkm mm k SC km . 又因为 1 1 (1)! (1)(1)0 !(1)!(1)!(1)! kk mm mm kCmCkm k mkkmk ， 则 1 1 (1) kk mm kCmC ，所以 1 1 11 1 kk mm CC km ， 所以 1m S 12 1 1 11 +( 1)( 1) 11 m kkm mm k SC mm 8 分 12 1 1 11 +( 1)( 1) 11 m kkm mm k SC mm 12 1 1 1 +