湖北荆门外高数学一轮检测第5章数列3135

第五章数列第五章数列 课时作业课时作业 31数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 一、选择题 1数列2 3， 4 5， 6 7， 8 9的第 10 项是( ) A.16 17 B.18 19 C.20 21 D.22 23 解析：由已知得数列的通项公式 an 2n 2n1，a 1020 21. 答案：C 2数列an中，an1an2an，a12，a25，则 a5为() A3B11 C5D19 解析：由 an1an2an，得 an2an1an，又a12，a25， a3a1a27，a4a3a212，a5a4a319，选 D. 答案：D 3数列an满足：a11，且当 n2 时，ann1 n an1，则 a5 () A.1 5 B.1 6 C5D6 解析：因为 a11，且当 n2 时，ann1 n an1， 则 an an1 n1 n 所以 a5a5 a4 a4 a3 a3 a2 a2 a1a 14 5 3 4 2 3 1 21 1 5.故选 A. 答案：A 4已知数列an的前 n 项和 Snn29n，第 k 项满足 5ak8，则 k() A9B8 C7D6 解析：由 an Snn1 SnSn1n2 8n1， 2n10n2， 得 an2n 10.由 52k108 得 7.56 或 n0，S110 得， S1010a1a10 2 0a1a100a5a60， S1111a1a11 2 0a1a112a60， 故可知等差数列an是递减数列且 a60， 所以 S5S6Sn，其中 nN*， 所以 k5 或 6. 答案：C 6设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a10，a3a100，a6a70 的最大自然数 n 的值为() A6B7 C12D13 解析：a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130 的最大自然数 n 的值为 12. 答案：C 二、填空题 7 在等差数列an中， 已知a2a95， 则3a5a7的值为_ 解析：设等差数列an的公差为 d，a2a95， 2a19d5，3a5a73a112da16d4a118d2(2a1 9d)10. 答案：10 8已知等差数列an中，an0，若 n2 且 an1an1a2n0， S2n138，则 n 等于_ 解析：2anan1an1，又 an1an1a2n0， 2ana2n0，即 an(2an)0. an0，an2. S2n12(2n1)38，解得 n10. 答案：10 9设数列an的通项公式为 an2n10(nN*)，则|a1|a2| |a15|_. 解析：由 an2n10(nN*)知an是以8 为首项，2 为公差的 等差数列，又由 an2n100 得 n5， 当 n5 时，an0，当 n5 时，an0， |a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15) 20110130. 答案：130 三、解答题 10设等差数列an的前 n 项和为 Sn，其中 a13，S5S227. (1)求数列an的通项公式； (2)若 Sn,2 2(an11)，Sn2成等比数列，求正整数 n 的值 解：(1)设等差数列an的公差为 d， 则 S5S23a19d27， 又 a13，则 d2，故 an2n1. (2)由(1)可得 Snn22n，又 SnSn28(an11)2， 即 n(n2)2(n4)8(2n4)2，化简得 n24n320，解得 n4 或 n8(舍)，所以 n 的值为 4. 11 已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 a3a4 117，a2a522. (1)求通项公式 an； (2)求 Sn的最小值； (3)若数列bn是等差数列，且 bn Sn nc，求非零常数 c. 解：(1)数列an为等差数列， a3a4a2a522. 又 a3a4117， a3，a4是方程 x222x1170 的两实根， 又公差 d0，a3a4，a39，a413， a12d9， a13d13， a11， d4. 通项公式 an4n3. (2)由(1)知 a11，d4， Snna1nn1 2 d2n2n2 n1 4 21 8， 当 n1 时，Sn最小，最小值为 S1a11. (3)由(2)知 Sn2n2n，bn Sn nc 2n2n nc ， b1 1 1c，b 2 6 2c，b 3 15 3c. 数列bn是等差数列，2b2b1b3， 即 6 2c2 1 1c 15 3c，2c 2c0， c1 2或 c0(舍去)，故 c 1 2. 1已知数阵 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 中，每行的 3 个数依次成等差数列， 每列的 3 个数也依次成等差数列， 若 a228， 则这 9 个数的和为() A16B32 C36D72 解析：依题意得 a11a12a13a21a22a23a31a32a333a12 3a223a329a2272. 答案：D 2已知数列an的前 n 项和 Snn23n，若 an1an280，则 n 的值为() A5B4 C3D2 解析：由 Snn23n，可得 an42n，因此 an1an242(n 1)42(n2)80，即 n(n1)20，解得 n4(舍去)或 n5. 答案：A 3设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若1a31,0a63，则 S9 的取值范围是_ 解析：方法 1：S99a136d，又 1a12d1， 0a15d3， 依据线性规 划知识，得3S921. 方法 2：S99a136dx(a12d)y(a15d)，由待定系数法得 x 3，y6. 因为33a33,06a618，两式相加即得3S921. 方法 3：a1a2a3a4a55a3，a6a7a8a92a62a9，而 a3a92a6，所以 S93a36a6，又1a31,0a63，依据线性规划 知识，得30， 解得 k21. 故 k 的取值范围为(，19)(21，) 课时作业课时作业 33等比数列等比数列 一、选择题 1设数列an是等比数列，前 n 项和为 Sn，若 S33a3，则公比 q 为() A1 2 B1 C1 2或 1 D.1 4 解析：当 q1 时，满足 S33a13a3. 当 q1 时，S3a11q 3 1q a1(1qq2)3a1q2，解得 q1 2， 综上 q1 2或 q1. 答案：C 2在等比数列an中，若 a4，a8是方程 x23x20 的两根， 则 a6的值是() A 2B 2 C. 2D2 解析：由题意得 a4a82，且 a4a83，则 a40，a80，又an 为等比数列，故 a4，a6，a8同号，且 a26a4a82，故 a6 2，选 C. 答案：C 3已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1a35 2，a 2a45 4， 则Sn an( ) A4n1B4n 1 C2n1D2n 1 解析：qa2a4 a1a3 1 2，则 Sn an a111 2 n 11 2 a11 2 n1 2n1. 答案：C 4等比数列an中，已知对任意正整数 n，a1a2a3an 2n1，则 a21a22a23a 2 n等于() A.1 3(4 n1) B.1 3(2 n1) C4n1D(2n1)2 解析：由题意知 a11，q2，数列a2n是以 1 为首项，4 为公比 的等比数列，a21a22a2n14 n 14 1 3(4 n1) 答案：A 5已知公差不为 0 的等差数列an满足 a1，a3，a4成等比数列， Sn为数列an的前 n 项和，则S3S2 S5S3的值为( ) A2B3 C.1 5 D.1 3 解析：由题意，a1(a13d)(a12d)2，d0， a14d，S3S2 S5S3 a3 a4a5 2d d 2. 答案：A 6已知数列an，bn满足 a1b13，an1anbn 1 bn 3，n N*，若数列cn满足 cnban，则 c2 013() A92 012B272 012 C92 013D272 013 解析：由已知条件知an是首项为 3，公差为 3 的等差数列，数 列bn是首项为 3，公比为 3 的等比数列，an3n，bn3n，又 cn ban33n，c2 01333 2 013272 013，故选 D. 答案：D 二、填空题 7在等比数列an中，a1a230，a3a460，则 a7a8 _. 解析： a1a2a1(1q)30， a3a4a1q2(1q)60， q22， a7a8a1q6(1q)a1(1q)(q2)3308240. 答案：240 8 (2014安徽卷)如图， 在等腰直角三角形 ABC 中， 斜边 BC2 2， 过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 A1；过点 A1作 AC 的垂线，垂足为 A2； 过点 A2作 A1C 的垂线，垂足为 A3；，依此类推，设 BAa1，AA1 a2，A1A2a3，A5A6a7，则 a7_. 解析： 由题意知数列an是以首项 a12， 公比 q 2 2 的等比数列， a7a1q62 2 2 61 4. 答案：1 4 9已知an是等比数列，a22，a51 4，则 S na1a2an 的取值范围是_ 解析：因为an是等比数列，所以可设 ana1qn 1. 因为 a22，a51 4， 所以 a1q2， a1q41 4， 解得 a14， q1 2. 所以 Sna1a2an4 1 1 2 n 11 2 88 1 2 n. 因为 00，则 a2 0130，则 a2 0140，则 S2 0130 D若 a40，则 S2 0140 解析： 若 a30， 则 a2 013a3q2 0100； 若 a40， 则 a2 014a4q2 0100， 故 A，B 错；当 a30，则 a1a3 q20，因为 1q 与 1q 2 013同号，所以 S2 013a11q 2 013 1q 0，C 正确故选 C. 答案：C 2 函数 y 1x22图象上存在不同的三点到原点的距离构成 等比数列，则以下不可能成为公比的数是() A.3 2 B.1 2 C. 3 3 D. 3 解析：因为 y 1x22(x2)2y21(y0)，故函数的图 象是以(2,0)为圆心，1 为半径的半圆由圆的几何性质可知圆上的 点到原点的距离的最小值为1， 最大值为3， 故1 3q 23， 即 3 3 q 3， 而1 2a1a2an的最大正整数 n 的值为_ 解析：设正项等比数列an的公比为 q，则由 a51 2，a 6a7a5(q q2)3 可得 q2，于是 an2n6， 则 a1a2an 1 3212 n 12 2n 51 32. a51 2，q2， a61，a1a11a2a10a261. a1a2a11 1. 当 n 取 12 时 ， a1 a2 a12 27 1 32a 1a2a11a12a1226成立；当 n 取 13 时，a1a2a1328 1 3213 时，随着 n 增大 a1a2 an将恒小于 a1a2an.因此所求 n 的最大值为 12. 答案：12 4 (2014天津卷)已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数 设集合 M0,1,2，q1，集合 Ax|xx1x2qxnqn 1，x iM， i1,2，n (1)当 q2，n3 时，用列举法表示集合 A； (2)设 s，tA，sa1a2qanqn 1，tb 1b2qbnqn 1， 其中 ai，biM，i1,2，n.证明：若 anbn，则 st. 解：(1)当 q2，n3 时，M0,1，Ax|xx1x22x322， xiM，i1,2,3 可得，A0,1,2,3,4,5,6,7 (2)证明：由 s，tA，sa1a2qanqn 1，tb 1b2q bnqn 1，a i，biM，i1,2，n 及 anbn， 可得 st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn 2(anbn)qn 1 (q1)(q1)q(q1)qn 2qn1 q11q n1 1q qn 110. 所以，st. 课时作业课时作业 34数列求和数列求和 一、选择题 1数列12n 1的前 n 项和为( ) A12nB22n Cn2n1Dn22n 解析：由题意得 an12n 1， 所以 Snn12 n 12 n2n1，故选 C. 答案：C 2 设数列(1)n的前 n 项和为 Sn， 则对任意正整数 n， Sn() A.n1 n1 2 B.1 n11 2 C.1 n1 2 D.1 n1 2 解析：数列(1)n是首项与公比均为1 的等比数列， Sn11 n1 11 1 n1 2 . 答案：D 3已知数列an中，a11，a223，a3456，a478 910，则 a10的值为() A750B610 C510D505 解析：a10464755505. 答案：D 4数列an中，a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为 1，公比为1 3的等比数列，则 a n等于() A.3 2(1 1 3n) B.3 2(1 1 3n 1) C.2 3(1 1 3n) D.2 3(1 1 3n 1) 解析：由题得 anan1(1 3) n1，所以 an(anan 1)(an1an2) (a2a1)a1(1 3) n1(1 3) n21 31 3 2(1 1 3n) 答案：A 5.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列 1 anan1的前 100 项和为() A.100 101 B. 99 101 C. 99 100 D.101 100 解析：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d. a55，S515， a14d5， 5a1551 2 d15， a11， d1， ana1(n1)dn. 1 anan1 1 nn1 1 n 1 n1， 数列 1 anan1的前 100 项和为 11 2 1 2 1 3 1 100 1 1011 1 101 100 101. 答案：A 6已知函数 f(n)n2cosn，且 anf(n)f(n1)，则 a1a2a3 a100() A0B100 C100D10 200 解析：f(n)n2cosn n2n 为奇数 n2n 为偶数 (1)nn2， 由 anf(n)f(n1)(1)nn2(1)n 1(n1)2(1)nn2(n 1)2(1)n 1(2n1)， 得 a1a2a3a1003(5)7(9)199(201) 50(2)100. 答案：B 二、填空题 7设 Sn1 2 1 6 1 12 1 nn1，若 S nSn13 4，则 n 的值为 _ 解析：Sn11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 1 1 n1 n n1， SnSn1 n n1 n1 n2 n n2 3 4，解得 n6. 答案：6 8数列3 2， 9 4， 25 8 ， 65 16，的前 n 项和 S n为_ 解析：3 21 1 2， 9 42 1 4， 25 8 31 8， 65 164 1 16， Sn3 2 9 4 25 8 65 16(n 1 2n) (123n)(1 2 1 22 1 23 1 2n) nn1 2 1 21 1 2 n 11 2 nn1 2 1 1 2n. 答案：nn1 2 1 1 2n 9已知 f(x) 4x 4x2，求 f 1 11 f 2 11 f 10 11 _. 解析：因为 f(x)f(1x) 4x 4x2 41 x 41 x2 4x 4x2 4 424x 4x 4x2 2 24x1. 所以 f 1 11 f 10 11 f 2 11 f 9 11 f 5 11 f 6 11 1.f 1 11 f 2 11 f 10 11 5. 答案：5 三、解答题 10 (2014安徽卷)数列an满足 a11， nan1(n1)ann(n1)， nN*. (1)证明：数列an n 是等差数列； (2)设 bn3n an，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解：(1)由已知可得 an1 n1 an n 1，即 an1 n1 an n 1 所以an n 是以a1 1 1 为首项，1 为公差的等差数列 (2)由(1)得an n 1(n1)1n，所以 ann2，从而 bnn3n Sn131232333n3n 3Sn132233334(n1)3nn3n 1 得：2Sn3132333nn3n 1 313 n 13 n3n 112n3n 13 2 所以 Sn2n13 n13 4 . 11(2014山东卷)已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn， 且 S1，S2，S4成等比数列 (1)求数列an的通项公式； (2)令 bn(1)n 1 4n anan1，求数列b n的前 n 项和 Tn. 解：(1)因为 S1a1，S22a121 2 22a12， S44a143 2 24a112， 由题意得(2a12)2a1(4a112)， 解得 a11，所以 an2n1. (2)bn(1)n 1 4n anan1(1) n1 4n 2n12n1 (1)n 1 1 2n1 1 2n1 . 当 n 为偶数时，Tn 11 3 1 3 1 5 1 2n3 1 2n1 1 2n1 1 2n1 1 1 2n1 2n 2n1. 当 n 为奇数时，Tn 11 3 1 3 1 5 1 2n3 1 2n1 1 2n1 1 2n1 1 1 2n1 2n2 2n1. 所以 Tn 2n2 2n1，n 为奇数， 2n 2n1，n 为偶数. 或 Tn2n11 n1 2n1. 1设等差数列an的前 n 项和是 Sn，若ama10，且 Sm10，且 Sm10DSm0，且 Sm10 解析：ama10，a1am10，且 Sm10. 答案：A 2 已知数列an： 1 2， 1 3 2 3， 1 4 2 4 3 4， ， 1 10 2 10 3 10 9 10， ， 若 bn 1 anan1，那么数列b n的前 n 项和 Sn为() A. n n1 B. 4n n1 C. 3n n1 D. 5n n1 解析：an123n n1 n 2， bn 1 anan1 4 nn14( 1 n 1 n1)， Sn4(11 2)( 1 2 1 3)( 1 n 1 n1) 4(1 1 n1) 4n n1. 答案：B 3 数列an的前 n 项和为 Sn， 已知 a11 5， 且对任意正整数 m， n， 都有 amnaman，若 Snt 恒成立，则实数 t 的最小值为_ 解析：令 m1，则an 1 an a1， an是以 a1为首项，1 5为公比的等比数列 an 1 5 n， Sn 1 5 1 5 n1 11 5 1 4 1 1 5n1 4 1 45n 1 4. 由 SnSn的最大值，可知 t 的最小值为1 4. 答案：1 4 4已知数列an中，a11，an1 an an3(nN *) (1)求证： 1 an 1 2 是等比数列，并求an的通项公式 an； (2)数列bn满足 bn(3n1) n 2na n，数列bn的前 n 项和为 Tn，若 不等式(1)nTn n 2n 1对一切 nN*恒成立，求的取值范围 解：(1)由 an1 an an3得 1 an1 an3 an 1 3 an， 即 1 an1 1 23 1 an 1 2 ，又 1 a1 1 2 3 2， 1 an 1 2 是以3 2为首项，3 为公比的等比数列， 1 an 1 2 3 23 n13 n 2 ，即 an 2 3n1. (2)bn n 2n 1，Tn1 1 20 2 1 21 3 1 22 (n1) 1 2n 2 n 1 2n 1， Tn 2 1 1 212 1 22(n1) 1 2n 1n 1 2n， 两式相减得Tn 2 1 20 1 21 1 22 1 2n 1n 1 2n2 n2 2n ， Tn4n2 2n 1，(1) n4 2 2n 1. 若 n 为偶数，则4 2 2n 1，3； 若 n 为奇数，则4 2 2n 1， 2.20)， 则依题意有 a35a14a2， 即 a1q25a14a1q，q24q50，解得 q1 或 q5.又 q0，因 此 q5，所以a2n 1a2n2 a1a2 a1q 2na2q2n a1a2 q2n52n. 答案：C 3在直角坐标系中，O 是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第 一象限的两个点，若 1，x1，x2,4 依次成等差数列，而 1，y1，y2,8 依 次成等比数列，则OP1P2的面积是() A1B2 C3D4 解析：根据等差、等比数列的性质，可知 x12，x23，y12， y24.P1(2,2)，P2(3,4)SOP1P21. 答案：A 4已知函数 yloga(x1)3(a0，a1)所过定点的横、纵坐标 分别是等差数列an的第二项与第三项，若 bn 1 anan1，数列b n的前 n 项和为 Tn，则 T10等于() A. 9 11 B.10 11 C. 8 11 D.12 11 解析： 由 yloga(x1)3 恒过定点(2,3)， 即 a22， a33， 又an 为等差数列，ann，nN*.bn 1 nn1，T 101 1 1 2 1 2 1 3 1 10 1 111 1 11 10 11. 答案：B 5如图所示，矩形 AnBnCnDn的一边 AnBn在 x 轴上，另外两个顶 点Cn， Dn在函数f(x)x1 x(x0)的图象上 若点B n的坐标为(n,0)(n2， nN*)，记矩形 AnBnCnDn的周长为 an，则 a2a3a10() A208B216 C212D220 解析： 由 Bn(n,0)， 得 Cn n，n1 n ， 令 x1 xn 1 n， 即 x 2 n1 n x 10，得 xn 或 x1 n，所以 D n 1 n，n 1 n ，所以矩形 AnBnCnDn的周 长 an2 n1 n 2 n1 n 4n，则 a2a3a104(2310) 216，故选 B. 答案：B 6对于函数 yf(x)，部分 x 与 y 的对应关系如下表： x123456789 y375961824 数列xn满足 x11， 且对任意 xN*， 点(xn， xn1)都在函数 yf(x) 的图象上，则 x1x2x3x4x2 013x2 014的值为() A7 549B7 545 C7 539D7 535 解析：由已知表格列出点(xn，xn1)，(1,3)，(3,5)，(5,6)，(6,1)， (1,3)，即 x11，x23，x35，x46，x51，数列xn是周 期数列， 周期为 4,2 01445032， 所以 x1x2x2 014503(1 356)137 549. 答案：A 二、填空题 7数列an是公差不为 0 的等差数列，且 a1，a3，a7为等比数列 bn的连续三项，则数列bn的公比为_ 解析：由题意知 a23a1a7，即(a12d)2a1(a16d)，a12d， 等比数列bn的公比 qa3 a1 a12d a1 2. 答案：2 8函数 yx2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与