福建达标校高二数学暑期集训营十五理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(15) 第二部分 【演练探究】 【1】 Ox y B F A 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (15) 考试时间：考试时间：120120分钟，满分：分钟，满分：150150分分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4 40 0 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1设复数满足，其中 为虚数单位，则在复平面内,对应的点的坐标是 ( ) A B C D 2等于（ ） A1 B C D 3的展开式的常数项为（ ） A B C D 4如图所示，用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同 颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有( ) A180 种 B120 种 C96 种 D60 种 5有件产品，其中有件次品，每次抽取 件检验，抽检后不放回， 共抽次，则第 次抽到正品，第次抽到次品的概率是（ ） A B C D 6如图，椭圆的左焦点为，当时， 由得其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆” ， 类比“黄金椭圆” ，在“黄金双曲线”中， 由（为黄金双曲线的半焦距）可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A B C D z12i ziz ( 2,2)(1, 1)(1,) i (2, 2 ) i 1 0 (2 ) x ex dx 1ee1e 6 1 (3)x x 540162162540 1021 212 32 45 16 45 8 45 4 45 22 22 1(0) xy ab ab ( ,0)F cABFB 2 bac 51 2 22 22 11 1 xy ab 2 11 1 bac 1 c 51 2 31 2 51 3 71 2 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(15) 第二部分 【演练探究】 【2】 7已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数 的图像如右图所示，则该函数的图像是（ ） 8函数在内有极小值，则( ) A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分分. . 9. 根据定积分的几何意义，计算 10 湛江一中学生会的名学生会干部按团委的要求分配到三个不同的年级对同学们进行仪 容仪表检查，若每个年级安排名学生会干部，则不同的分配方案有 种. （用数字作答） 11. 已知的导函数是,记， ，则由导数的几何意义和斜率公式可得的大小关系是 12. 的展开式中的系数是 （用数字作答） 13名优秀学生全部保送到所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案 有 种（用数字作答） 14. 已知， ，经计算得：，那么 根据以上计算所得规律，可推出 . 三、解答题三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） ( )yf x ( )yfx( )yf x 32 11 ( )(21)(1) 32 f xxbxb bx(0,2) 01b02b11b 12b 2 2 0 4x dx 6 2 ) 1(log)(axxf a )(x f (1)( ) ( ), (1) f af a Af aB aa ) 1( afC, ,A B C 8 1 ()x x 5 x 43 x x f x e 1 fxfx 21 fxfx 1nn fxfx n 1 1 x x fx e 2 2 x x fx e 3 fx n fx A D C B 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(15) 第二部分 【演练探究】 【3】 15 （本小题满分 12 分） 已知函数的图象过点，且在点处的切线方 程为. 求函数的解析式 16 （本小题满分 12 分） 在边长为的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图） ， 做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 17. （本小题满分 14 分） 右图为一简单组合体，其底面为正方形，平面， 且， （1）求证：平面； （2）若为线段的中点，求证：平面； （3）若，求平面与平面所成的二面角的大小 18 （本小题满分 14 分） 某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用 32 ( )f xxbxcxd(0,2)P( 1,( 1)Mf 076 yx)(xfy 60cm ABCDPD ABCD/ECPD 2PDEC /BEPDA NPBEN PDB 2 PD AD PBEABCD 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(15) 第二部分 【演练探究】 【4】 男女 64 32 性别 人数 科别 甲科室 乙科室 不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取名工作人员进行一项关于“低碳生活” 的调查. （1）求从甲、乙两科室各抽取的人数； （2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有 名女性的概率； （3）记表示抽取的名工作人员中男性的人数，求的分布列. 19 （本小题满分 14 分） 设数列的前项和为,且对任意的都有, (1)求数列的前三项； (2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明； (3)求证：对任意都有. 20 （本小题满分 14 分） 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围 （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 3 1 3 n an n S * nN2 nn San n a 1234 ,a a a a n a n a * nN 2132431 1111 1 nn aaaaaaaa 2 ( )ln(1)f xaxx 1 4 a ( )f x ( )f x1)，a 0)x，( )f xxa 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(15) 第二部分 【演练探究】 【5】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (15) 参 考 答 案 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 8 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A C A B C 二二. 填空题（本大题共填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 9. 10. 11. 12. 13. 14. ， 详细解答：详细解答： 一、一、本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项符在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合要求的合要求的. . 1 【解析】【解析】B. ., ,故选故选 B 2 【解析】【解析】C. . 被积函数 3 【解析】【解析】D. .展开式的常数项为 4 【解析】【解析】A. .按区域分四步：第一步 A 区域有 5 种颜色可选；第二步 B 区域有 4 种颜色可 选； 第三步 C 区域有 3 种颜色可选；第四步由于 D 区域可以重复使用区域 A 中已有过的颜 色，故也有 3 种颜色可选用由分步乘法计数原理，共有 5433180(种)涂色方法 5 【解析】【解析】C. . “第一次正品、第二次次品”或“第一次次品，第二次正品” ，而现求的是其 中之一的概率。则（或） 6 【解析】【解析】A. . ，,故选 A 7 【解析】【解析】B. .因为，所以在为增函数,又时，为增 函数, 所以图象越来越陡峭，时，为减函数, 所以图象越来越平 缓。 8【解析】【解析】 C， 令， 则 或，是极小值点， 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分。分。 9.【解析】【解析】表示即与两坐标轴围成的阴 影部分的面积， 该面积为 90ABC 2836 3 x x e 2 12 1 111 i zi iii 2 2, xx exex的一个原函数为 1 1 2120 00 (2 )()(1 )(0). xx ex dxexeee 6 1 (3)x x 333 6 1 (3)()540Cx x 11 28 2 10 18 245 C C P C 11 28 2 10 8 45 C C P A 2 11 1 bac 2 222 11 111 1 2 11 ,110 cc caacee aa 51 2 e ( )0fx( )f x( 1,1)( 1,0)x ( )fx ( )f x(0,1)x( )fx( )f x 2 ( )(21)(1)()(1)fxxbxb bxb xb( )0fx xb 1xb1xb012b 11b 2 2 0 4x dx 2 4yx 22 4(0)xyy 2 1 4 r 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(15) 第二部分 【演练探究】 【6】 10 【解析】【解析】先从 6 人中选出 2 人到第一个年级，再从剩下的 4 人中选 2 人到第二个年 级，第三步从剩下的 2 人中选 2 人到第三个年级，不同的选法共有种 11.【解析】【解析】记,则由于,表 示 直 线的 斜 率 ; 表 示 函 数在 点处 的 切 线 斜 率 ; 表示函数在点处的切线斜率 所以 12. 【 解 析 】【 解 析 】 ， ， 所以的系数为 13 【解析】【解析】把四名学生分成组有种，再把三组学生分配到三所大学有种， 故共有种 14.【解析】 ， 三、解答题三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 15 5 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 解：解： （）由的图象经过，知，所以 3 分 5 分 由在处的切线方程是， 知 8 分 11 分 故所求的解析式是 12分 1616 （本小题满分 （本小题满分 1 12 2 分）分） 解解 ：设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高为，1 分 其体积为，则 5 分 ，令，得，解得，8 分 当时，；当时，.10 分 所以函数在时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数 的最大值.，11 分 答：答：当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.12 分 17.17. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） （1）证法一：）证法一：取的中点，连， 故有 四边形是平行四边形 1 分 又四边形是平行四边形，3 分 又平面，平面 90 222 642 90C C C ABC)1(, 1(),(,(afaNafaM (1)( ) (1) f af a B aa MN)(afAxxf a log)(M ) 1( afCxxf a log)(NABC 28 1 8 2 18 () rrr r TC xx 8 2 8 ( 1) r rrr C xx 3 8 2 8 ( 1) r rr C x 3 852 2 r r由可得 5 x 22 8 ( 1)28C 363 2 4 C 3 3 A 23 43 36C A 3 x x e )(xf(0,2)P2d , 2)( 23 cxbxxxf 2 ( )32.fxxbxc )1(, 1(fM076 yx . 6) 1(, 1) 1(, 07) 1(6fff即 326,23, 3. 121.0, bcbc bc bcbc 即解得 . 233)( 23 xxxxf x()cm30 2 x ()cm 3 ()V cm 232 1 (30)30(060) 22 x Vxxxx 2 3 60 2 Vxx 0V 2 3 600 2 xx40 x (0,40)x0V(40,60)x0V ( )V x40 x ( )V x (40)16000V 40cm 3 16000cm PDMEMAM2PDEC/ECPD MDEC CEMDEMCD ABCD ABME ABEM/BEAM BE PDAAM PDA M 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(15) 第二部分 【演练探究】 【7】 平面4 分 证法二：证法二：，平面，平面 平面, 又，平面，平面 平面, 平面，平面且 平面/平面3 分 又平面 平面4 分 （2）证法一：证法一：连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF， F 为 BD 的中点，且, 又且 且 四边形 NFCE 为平行四边形-7 分 ,平面, 面 ，又 面 面-9 分 证法证法二二：如图以点 D 为坐标原点，以 AD 所在的直线为轴 建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为 1， 则,6 分 , , -8 分 、面，且 面 -9 分 （3）解法解法 1 1：连结 DN，由（2）知面, ， 又 平面 为 平面 PBE 的法向量， 设，则 =11 分 为平面 ABCD 的法向量，-12 分 设平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为，则13 分 即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45 -14 分 解法解法 2 2：延长 PE 与 DC 的延长线交于点 G,连结 GB， 则 GB 为平面 PBE 与 ABCD 的交线 D、B、G 在以 C 为圆心、 以 BC 为半径的圆上，-11 分 平面,面 /BEPDA /ECPDPDPDAEC PDA / /ECPDA / /BCADADPDABC PDA / /BCPDA ECEBCBCEBCECBCC BECPDA BEEBC/BEPDA /NFPD 1 2 NFPD /ECPD 1 2 ECPD/NFECNFEC /NEFCDBACPD ABCD AC ABCDACPDPDBDD AC PBDNE PDB x PDa (1,1,0), (0,1,0), (0,0, ),BCPa(0,1,) 2 a E 1 1 ( ,) 2 2 2 a N 11 ( ,0) 22 EN (1,1,)PBa(1,1,0)DB 11 1100 22 EN PBa 11 11 0 00 22 EN DB ,ENPB ENDB PBDB PDBPBDBBNE PDB NE PDBDNNE2 PD AD 2DBAD PDDBDNPBNEPBNDN PBEDN 1AD 1 12 ( ,) 2 22 NDN 1 12 ( ,) 2 22 DP(0,0, 2)DP 12 cos 2| |2 DN DP DNDP 45 2PDEC CDCGCB DBBG PD ABCDBG ABCD 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(15) 第二部分 【演练探究】 【8】 且 面 面 为平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角-13 分 在中 45 即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45 14 分 18.18. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 解：解： （1） 从甲组应抽取的人数为， 从乙组中应抽取的人数为； 3 分 （2）从甲组抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率 （或）-7 分 （3）的可能取值为 0，1，2，3 -8 分 ， -9 分 ，-10 分 ，11 分 （或)-12 分 的分布列为 0 1 2 3 14 分 1 19 9 （本小题满分 （本小题满分 1414 分）分） 解解: : (1)令得,故； 令得,故； 令得,故； 令得,故；4 分 (2)由(1)可以猜想,下面用数学归纳法进行证明: 当时,结论显然成立； 假 设 当时 结 论 成 立 , 即, 从 而 由 已 知可 得 ： .故. . 即,当时结论成立. 综合可知,猜想对任意都成立.所以数列的通项为 .9 分 (3), PDBGPDDBDBG PDB PB PDBBGPB PBD Rt PDBPDDBPBD 3 102 15 3 51 15 2 6 2 10 2 1 3 C P C 112 464 2 10 2 3 C CC P C 21 42 21 105 4 (0) 75 CC P CC 11112 46324 2121 105105 22 (1) 75 C CCCC P CCCC 21 63 21 105 1 (3) 5 CC P CC 34 (2)1(0)(1)(3) 75 PPPP 21111 66432 2121 105105 34 (2) 75 CC CCC P CCCC P 4 75 22 75 34 75 1 5 1n 111 21Saa 1 1a 2n 22122 221Saaaa 2 3a 3n 331233 231 3Saaaaa 3 7a 4n 4412344 241 3 7Saaaaaa 4 15a 21 n n a 1n nk21 k k a 2 nn San 1 22(21)22 kk kk Sakkk 2 1 23 k k Sk 211 11 (23)(22)21 kkk kkk aSSkk 1nk 21 n n a * nN n a 21 n n a 21 n n a 1 1 (21)(21)2 nnn nn aa 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(15) 第二部分 【演练探究】 【9】 对任意都有.14 分 2020 （本小题满分 （本小题满分 1414 分）分） 解： (1) 函数的定义域为1 分 当时， 解得；解得 故的单调递增区间是，单调递减区间是 4 分 （2）因为函数在区间上为减函数， 所以对恒成立 即对恒成立6 分 的取值范围是8 分 (3)因为当时，不等式恒成立，即不等式恒成立， 即恒 成 立 ， 设， 只 需 即可 由 当时，当时，函数在上单调递 减， 故成立 10 分 当时，令， 解得或 1)当，即时，在区间上，则函数在上 单调递增， 故在上无最大值，不合题设。 2) 当时 ， 即时 ， 在 区 间