高中数学《不等式和绝对值不等式》学案3新人教A选修45

不等式和绝对值不等式高考要求 1理解不等式a-ba+ba+b2掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；知识点归纳 1解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方2注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题|a|b|a+b|a|+|b|;|a|b|ab|a|+|b|;并指出等号条件3(1)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)（无论g(x)是否为正）（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式） 左边在时取得等号，右边在时取得等号题型讲解 例1 解不等式分析：不等式（其中）可以推广为任意都成立，且为代数式也成立解：原不等式又化为原不等式的解集为点评：可利用去掉绝对值符号 例2 求证：不等式综上（1），（2）得例3 所以，原命题得证例4 例5 证明：例6 证明：令例7 a, b R 证明|a + b|ab| 3解法一：分区间去绝对值（零点分段法）：|x+3|x3|3(1)x3;(2)3/2x3或3x3 原不等式的解为x3/2解法二：用平方法脱去绝对值：两边平方：(|x+3|x3|)29,即2x2+92|x29|;两边再平方分解因式得：x29/4x3/2例9 解不等式|x23|x|3|1解：|x23|x|3|11x23|x|31 原不等式的解是：x4或4x点评：本题由于运用了xR时，x2=|x|2从而避免了一场大规模的讨论例10 求使不等式|x4|+|x3|a有解的a的取值范围解：设f(x)= |x4|+|x3|,要使f(x)1 点评：本题对条件进行转化，变为最值问题，从而简化了讨论例11已知二次函数f(x)满足|f(1)|1,|f(0)|1,|f(1)|1,求证：|x|1时，有|f(x)|5/4证明：设f(x)=ax2+bx+c,由题意，得 a=f(1)+f(1)2f(0),b=f(1)f(1); c=f(0)代入f(x)的表达式变形得：f(x)=f(1)(x2+x)/2+f(1)(x2x)/2+(1x2)f(0) |f(1)|1,|f(0)|1,f(1)|1, 当|x|1时，|f(x)|(x2+x)/2|f(1)|+|(x2x)/2|f(1)|+(1x2)|f(0)|x|(1+x)/2+|x|(1x)/2+(1x2)=x2+|x|+1=(|x|1/2)2+5/45/4例12 已知a,b,c都是实数，且|a|1,|b|1,|c|1证明：设f(x)=x(b+c)+bc(1), |a|1,|b|1,|c|0,f(1) (b+c)+bc+1(1b) (1c)0, 当a(1,1)时，f(x)0恒成立 f(a) a(b+c)+bc(1)0, ab+bc+ca1例13 证明：小结：1理解绝对值不等式的定义，掌握绝对值不等式的定理和推论，会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题2解绝对值不等式的基本途径是去掉绝对值符号，常用的方法是：（1）分类讨论；（2）平方；（3）利用绝对值不等式的性质，如等3证明绝对值不等式的基本思想和基本方法分别是转化思想和比较法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等等学生练习 1不等式的解集为（ ）A B C D答案：D2不等式|x4|x3|7 Ba1 Ca1时，不等式有解3若A=x| |x1|0，则AB=（ ）Ax|1x3 Bx|x2 Cx|1x0或2x3