高中数学《合情推理与演绎推理》素材1苏教选修22

合情推理与演绎推理归纳推理是从个别事实推演出一般性结论的推理由于归纳推的特点，导致了归纳推理问题的产生情境也比较特别，很多情况下，归纳推理总是与图形联系在一起请看：1分辨图形出现的归纳推理例1定义的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4）那么，上图中（5）、（6）可能是下列_中运算的结果（）（A）， （B）， （C）， （D），分析：根据（1）、（2）、（3）、（4）可知：对应；对应；对应|；对应由此可知选（B）点评：善于观察是处理此类问题的重要一环本题中第一个图是哪两个几何图形构成？第二个图又是哪两个几何图形构成？于是，很快便发现A，可能对应的图形，从而使问题获解2运动图形出现的归纳推理例2如图：一个粒子在第一象限及边界运动，在第一秒内它从原点运动到，然后它接着按图示在x轴、y轴的平行方向向右、向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，求2006秒时，这个粒子所处的位置；分析：第一层有三个整点（除原点）共用3秒；第二层有五个整点共用5秒；第三层有七个整点共用7秒，第n层共有个整点，共用秒；假设第2006秒时粒子运动在第层那么前n层共用秒数，由此得最大，且当时，于是，第2006秒时，粒子在第44层，且在第71个出现，根据规律我们知道第44层将从点（44，0）开始，那么（44，0），（44，1），（44，43），（44，44），（43，44），（42，44），（41，44），（18，44）共71个因此，第2006秒时，这个粒子所处的位置为（18，44）点评：要发现规律，必须认真研究问题的初始阶段，它是“退一步”思考问题策略的具体体现本题就是通过认真分析前三层才发现规律，并利用规律促使问题获解的3图形游戏出现的归纳推理例3用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是_分析：第一个图有三根火柴，以后每一个图总比前一个图多一个三角形，其实，就多了两根火柴，于是答案为：点评：善于从游戏中抓住本质是解决问题的关键本题求火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系，只要细心一点获解就没问题4打印图形出现的归纳推理例4一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实心圆）若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中实心圆的个数为_分析：将这些圆分段处理，第一段两个圆、第二段三个圆、第三段四个圆、，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题是求前2006个圆中有多少个实心圆，因此，找到第2006个圆所在的段数很重要由，而，因此，共有个实心圆点评：发现规律是解决此题的关键所在而“分段”正中下怀，它使规律很清楚的显现出来，让我们操作“轻松”，求解“愉快”推理与证明中的数学思想方法数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略，有着广泛的应用有关推理与证明中的问题蕴含着许多数学思想方法，若根据题设特点，灵活地运用相应的数学思想方法，往往能迅速找到解题思路，从而使问题简捷、准确地获解一、类比思想所谓类比思想就是根据两个对象之间一部分属性相同或相似，从而推断出这两个对象之间的另外一些属性也可能相同或相似的一种思维形式“由特殊到一般”是解决这类问题的思维主线例1在中，两直角边，斜边上的高为，则该结论的证明很简单类比它，在立体几何中有何发现？我们猜想，在立体几何中，也有类似的一个公式：在三棱锥中，若三条侧棱、两两垂直，且长度分别为，顶点到底面的距离，则注意：这只是由类比得到的一个猜想，是否成立还须证明证明：如右图，延长交于，连结，平面，平面，平面，在中，在中，即结论中的三条侧棱两两垂直，可等价变为三个侧面两两垂直点评：在本题求解中，我们根据平面几何中的一个结论，运用类比思想，在四面体中猜想出具有类似数学特点的结论，并用演绎推理的方法给出了简要证明作为一种创新题型，类比推理已成为近几年高考命题中一道亮丽的风景二、转化思想转化思想就是在解决数学问题时，将有待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题，并通过对这一问题的解答返回去求得原问题的解答分析法是证明命题的一种方法，当问题直接证明思路不明显时，常常考虑运用分析法而运用分析法解题的关键是将结论适当转化例2设实数满足，若，求证：分析：直接证明思路不明显，因此可以先结合条件将结论适当转化由，只需转化为证又，因此只需转化为证明再由转化为证明因此运用分析法即可简捷得证证明：要证，因为，所以只需证，又，因此只需证，只需证，即证式显然成立 故原不等式成立点评：本题在寻找使结论成立的条件时，是先根据函数的单调性，将对数不等式、指数不等式逐步转化为式，从而把问题化难为易三、正难则反思想有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时，可从其反面进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是正难则反的思想运用这一数学思想解决问题，往往能收到化难为易、化繁为简的奇效反证法就是“正难则反”的一种证明方法，它不是直接证明命题结论正确，而是通过证明结论反面不正确来说明结论的正确性因而对于那些“结论的反面”比结论本身更具体、更明确、更简单的命题，则适宜用反证法来证例3设函数的定义域是区间，且对、，均有，求证：对、，均有分析：若直接证明，需分类讨论，于是考虑使用反证法证明：假设、，使得不妨设，则所以故由条件可得这与假设矛盾，故原命题成立点评：运用反证法证题时，须注意三点：（1）必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；（2）推理过程必须完全正确，否则不能肯定非命题是错误的；（3）在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确、毫不含糊四、归纳递推思想归纳递推思想就是在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后用数学归纳法予以证明（文科学生不作要求）这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想例4已知点的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，（1）写出与、之间的关系式；（2）设，计算，由此推测数列的通项公式分析：利用递推公式及归纳猜想是解题的关键解：（1）当时，；（2）；由此推测：五、综合法综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论可以看出，若使用综合法求解问题，一定要将条件与结论结合起来，看看条件，再看看结论，如何架好从条件通往结论的桥梁例5设，求证：证明：由于时，得，那么，上述第一个不等式中等号成立的条件为：故原不等式成立点评：在证明题中，产生证明方法的思维过程很重要你知道本题的证明方法是怎么产生的吗？是综合法的“功劳”请看：欲从左边证到右边，必须消去x，如何消？只有经过平方，才能将x从根号中“解救”出来，“解救”出来后才有消去的可能于是在基本不等式中开始“搜索”与平方有关的不等式，慢慢地就“浮出水面”，解法自然也就产生了六、分析法分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等可以看出，若使用分析法求解问题，对结论的简化与转化很重要，它是向条件靠拢的重要措施例6设为任意三角形的三边长，试证：证明：由于欲证，