矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

与矩阵的秩相关的不等式的总结林松(莆田大学数学系，福建，莆田)摘要：利用块矩阵证明了一些矩阵的秩相关的不等式，观察了运算后矩阵的秩变化，总结了与矩阵的秩相关的一般不等式，推导了等式成立的条件。关键字：矩阵的排名，矩阵的基本转换简介：矩阵的秩表示矩阵的行(或列)向量组的秩，对应的自变量通常表示矩阵中非零子级的最高数目，是矩阵最重要的数值特征之一。使用块矩阵将子视为元素，可以方便地将父矩阵的运算转换为子矩阵的运算，并证明矩阵的秩的几个常见不等式。本文描述了矩阵秩的几个一般不等式，由此推导出一些秩的不等式等号成立的等价条件。基本定理1将a设置为数域p上矩阵，将b设置为数域上矩阵排名(AB)min 排名(a)，排名(B)，即乘积的排名不超过个元素的排名将2 a和b设置为矩阵，将排名(AB)排名(a)排名(b)两个一般的秩不等式如果将1 a和B设置为n阶正方形，AB=0，则r(A) r(B) n证据：如果设置r(A)=r，r(B )=s，那么AB=0就知道了，B中的每一行矢量都是以A为系数正方形的齐次线性方程的解向量。如果R=n，则此等式为0解，因此B=0R(A)=n，r(B)=0，结论。在R n 中，n-r向量包含在同阶线性方程的基本解中。因此，B的列向量组的排名n-r，即r(B) n-r因此r(A) r(B) n2以A为矩阵，B为矩阵，证明不等式r(AB)r(A) r(B)-n证据：如果将e设定为n次单位矩阵，s次单位正方形可以反转R(A) r(B)排名=排名=排名=r(AB) r(E)=r(AB) n因此，r(AB) r(A) r(B)-n证明3套a，b都是n阶方阵，e是n阶单元方阵等级(AB-E)等级(A-E)等级(B-E)证据：因为因此，排名(AB-E)排名排名=排名(A-E)排名(B-E)因此，排名(AB-E)排名(A-E)排名(B-E)4集a，b，c的矩阵，证明R(ABC) r(AB) r(BC)-r(B)卡：分别设定为、s、t次单位矩阵可逆矩阵。R(AB) r(BC)排名=排名=排名=r(ABC) r(B)因此，r(ABC) r(AB) r(BC)-r(B)5集a，b为n阶矩阵，证明；R(A B A B) r(A) r (B)证明：r(AB A B)=r(A (B E) B使用默认清理2R(A (B E) r(B)使用默认清理1R(A) r(B)6集a，c都是矩阵，b，d是矩阵，证明r(a B- c d)r(a-c)r(B- d)证明：根据块矩阵的乘法2=这很容易知道r(A-C) r(B-D)=rR(AB-CD)得到R(AB-CD) r(A-C) r(B-D)关于建立三个不等式等号的讨论如果将a、b分别设置为和矩阵，则充分条件为：证明：由得：如果2是a，b分别是和矩阵，则必要条件是矩阵x，y存在证明：根据问题3 1，只需要证明那时候，(1)(2)表达式(2)右端的方阵可以恒等式后删除，表达式(1)、表达式(2)右端的方阵相同，因此也可以将其删除，右端的等角力(2)右端的分支点在这里=，=，C=所以上面删除的行切换有类似的结果，删除馀数，以便基本变换等于现有矩阵s，t。=，即所以有逮捕令是的将3 a，B分别设置为矩阵，B的整体排名分解为B=HL，即h是整个排名矩阵，l是整个排名矩阵时，r(ABC)=r(AB) r(BC)-r(B)的充分条件是存在矩阵x，y制作证明：设置r(B)=r。b=因为HL是整体排名分解所以有r(AB)=r(AHL)=r(AH)R(BC)=r(HLC)=r(LC)R(ABC)=r(AB) r(BC)-r(B)R(AHLC)=r(AH) r(LC)-r顶部r(AHLC)=r(AH) r(LC)-r矩阵X，Y表示所以3是如果将4 a设置为n阶矩阵=E，则r(a E)r(a-E)=n证明：(a e)(ae)=aae=ee=0r(a e)r(ae)nr(a e)r(a-e)r(a e a-e)=r(2a)=r(a)=E=E，即0R(A)=nR(A E) r(A-E) n因此r(A E) r(A-E)=n将5 a设定为n阶矩阵，=A，证明r(A) r(A-E)=n证明=A，A(Ae)=0从问题1中知道，r(A) r(A-E) n因为E-A和A-E具有相同的排名n=r(e)=r(a e-a)r(a)r(e-a)因此，r(a)r(ae)=n如果将6 a设置为子矩阵，则=A的充分必要条件为r(A)=r(A-) r(A)证明：作为需要的一个方面，=A(E-A)A(E A)=0由问题2 4知道0 r(E-A)A r A (E A)-r(A)即r(A) r(A-) r(A)另一方面，r (a-) r (a) r (a-)=r(2A)=r(A)因此r(A)=r(A-) r(A)适当性r(A)=r(A-) r(A)R(A)=r，A的整体排名分解为A=HL时，x，y存在设定(2X)H=，L(2Y)=设定x(e-a)h l(e-a)y=(xh ly)-(xhlh-lhly)=-0=问题3中的r(E-A)A(E A)=r(E-A) A rA