源于二项式定理的一类探索性问题辅导不分本_第1页
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源于二项式定理的一类探索性问题http:/www.DearEDU.com张尊好 张端平 问题：设数列是以1为首项，公差为1的等差数列，是否存在等差数列，使对一切自然数n成立。 此类问题，初看起来无法下手，但它源于二项式定理，下面我们从二项式定理入手揭示它的命题规律和方法。 二项式定理： （*） 在（*）式中，令得： 于是可构造： 命题1 是否存在常数a，使 命题2 是否存在常数a，使 以上结论是显然的， 若在（*）式中，令，有 即： 考察上式的结构特点，可以构造： 命题3 是否存在一个等比数列，对任意的自然数n，总有：成立， 显然存在数列，使命题3成立。 不难发现，命题3是与自然数有关的问题，也可先探索出，再用数学归纳法证明，下证之。 证：当时， 当时 当时， 推测 下用数学归纳法证明： （1）当时，已验证成立： （2）假设时命题成立， 即： 当时 即：时，命题成立。综上，对任意自然数n命题成立，即存在等比数列，使成立。类似地，在（*）式中令，得 整理得： 由此，可构造： 命题4 是否存在一个等比数列，使对于任意的自然数n，总有成立，并证明你的结论。 仿命题3，可得到：。 进一步：在中 令有： 两边同乘以n： 利用公式：得 于是可以构造： 命题5 是否存在一个等差数列，使对任意自然数n，总有：成立，并证明你的结论。 用构造本题的方法，容易完成本题的证明，即存在等差数列，使命题5成立。 我们也可以先探索出，然后用数学归纳法证明。 证：当时，得 当时， 当时， 推测，下用数学归纳法略证之： （1）当时，已验证成立。 （2）假设时，命题成立。即 成立，我们来证明当时，命题亦成立。 事实上， 则时也成立。 故存在等差数列，使对任意，成立。 命题5的证明也可用倒序相加法得出： 证：令 又 两式相加： 令，则 所以 即存在等差数列，使对任意的自然数n，总有成立。 对命题5略加改造，便回到本文一开始提出的问题。 命题6 设数列是首项为1，公差为1的等差数列，是否存在等差数列，使对一切自然数成立。 由题中条件知，再由命题5，显见存在等差数列，使对一切自然数n成立。 以上分析表明：较复杂问题常常是基本知识变化而得，因此，在数学教学中，要研究各知识点的内在联系，不仅要教会学生做题，同时要注重题目的来源出处，
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