中值定理及导数的应用wpp.ppt

31.05.2020,4.1微分中值定理,4.2洛必达法则,4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最值,4.4函数曲线的凹向及拐点,4.5曲线的渐近线与函数作图,4.6导数在经济学中的应用,第四章中值定理及导数的应用,31.05.2020,4.1微分中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,使,3),31.05.2020,证明,a,b,o,y,A,B,x,1)若,可取(a,b)内任一点作为,2)若,即,所以,证毕.,31.05.2020,几何意义:,在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于x轴的切线,则此曲线弧上至少有一点,在该点处的,切线是水平的.或者说切线,与端点的连线AB平行.,罗尔定理的三个条件是结论成立的充分必要条件,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,注意：该题辅助函数的寻找过程是一种常用方法,31.05.2020,二、拉格朗日(Lagrange)定理,或,（2）,至少有一点,（1）,31.05.2020,分析,要证,即证,即证,令,只须证,31.05.2020,证明,且,即,根据罗尔定理知，,使,即,即,构造辅助函数,31.05.2020,几何意义：,在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行.,31.05.2020,拉格朗日中值公式.,2).若令,则,于是拉格朗日公式可写成:,(3),3).若令,则得有限增量公式:,(4),说明,注意,31.05.2020,证明,不妨设,使,所以,对,31.05.2020,证明,由定理知,即,31.05.2020,验证,满足拉格朗日中值定理的条件,即,即的确在(0,1)内找到,使定理成立.,应用定理知,验证拉格朗日中值定理对函数在区间-1,1上的正确性.,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,时,例7证明:当,证明设,对,使,即,因,所以,即,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,使,成立.,且,三、柯西(Cauchy)中值定理,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,4.2洛必达法则,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,则有,也有结论,且,说明,31.05.2020,例1,例2,解,解,不是未定式,不能盲目应用罗比塔法则,注意,31.05.2020,例3求,解,例4求,解,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,例7求,31.05.2020,31.05.2020,解答,31.05.2020,定理2,31.05.2020,说明,练一练,31.05.2020,其它未定式:,例9,解,例10,解,31.05.2020,例12,解,例11,解,31.05.2020,31.05.2020,练一练,31.05.2020,4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最值,一、函数单调性的判别,31.05.2020,证,应用拉格朗日中值定理,仅证(1).设,注意：,31.05.2020,31.05.2020,不存在,确定函数单调区间的方法和步骤:,(2)求,(3)以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。,问题：如何求函数的单调区间？,31.05.2020,解(1)定义域,令,得,(2),增,减,增,单减区间为:,31.05.2020,解(1)定义域,(2),令,得,不存在,(3)列表:,增,减,增,单减区间为:,31.05.2020,利用单调性证明不等式,例4证明不等式,证明令,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,二、函数的极值与最值,定义1,设f(x)在区间(a,b)内有定义,都有,极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,若存在,1),2),(一)函数的极值和最值的定义,31.05.2020,注意,1)函数的极值概念是局部性的,2)函数的极值可能有多个,3)函数的极大值可能比极小值小,4)函数的极值不在端点上取,31.05.2020,定理1极值存在（必要条件）,由定义知,条件必要而不充分.,即导数为零的点未必是极值点.,注意,例y=x3在x=0点导数为零，但不是极值点。,31.05.2020,说明,1）导数不存在的点也可能是函数的极值点.,2）极值点只可能在驻点或导数不存在的点取到。,31.05.2020,定理2(极值存在的第一充分条件),31.05.2020,(二)求函数极值的方法和步骤:,(1)确定,解,得,列表:,极大值,极小值,增,减,增,极大值为:,极小值为:,(3)列表考察这些点左右区间上的符号，利用定理3判别所找点是否极值点,并判别极大(小)值.,31.05.2020,解,31.05.2020,31.05.2020,定理3（第二充分条件）,则,为极大值;,为极小值.,31.05.2020,31.05.2020,解令,得,所以有极小值:,定理3失效,用定理2判断.,时,不是极值点,时,不是极值点,31.05.2020,注意：,31.05.2020,(三)最值的求法,求最值的方法:,1求出最值点的存在范畴：端点、驻点、导数不存在的点,说明,31.05.2020,31.05.2020,几种特殊情况:,就是最大(小)值.,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,注意:,1在实际问题中,则按实际情况进行判断.,31.05.2020,例3某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元，而每件商品每年库存费为c元。在该商品均匀销售的情况下，问商店应分几批购进此种商品，能使所需手续费及库存费之和最小？,解设每批购进x件商品，所需总费用为y元。则,得,即批数为时，费用最小。,31.05.2020,4.4函数曲线的凹向及拐点,定义1,31.05.2020,问题：如何确定曲线的凹向呢？,我们得到：曲线的凹向与一阶导数的单调性相关，从而可以用二阶导数的符号判别.,31.05.2020,定理1,上凹,31.05.2020,推论,31.05.2020,解,不存在.,时,时,时,问题：如何求曲线的凹向区间呢？,是拐点,判断曲线y=lnx的凹向性？,31.05.2020,31.05.2020,列表：,上凹,下凹,上凹,有拐点,无拐点,令,得,的拐点及凹凸区间.,例3求曲线,解定义域为:,不存在.,不存在,31.05.2020,定义1,一、曲线的渐近线,4.5曲线的渐近线与函数作图,31.05.2020,渐近线的种类：,思考,31.05.2020,定义2,1、水平渐近线,对于函数，若,则称直线为曲线的一条水平渐近线。,解,31.05.2020,解,31.05.2020,定义3,2、垂直渐近线,对于函数，若,则称直线为曲线的一条垂直渐近线。,解,31.05.2020,解,31.05.2020,3、斜渐近线,31.05.2020,31.05.2020,解,31.05.2020,解,31.05.2020,二、函数图形的描绘,一般步骤:,1确定函数的定义域,2讨论函数的奇偶性、周期性,3求出曲线的渐近线,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,31.05.2020,令,得,令,得,2),31.05.2020,3)列表:,拐点,极小值,4)找渐近线:,因,故直线,为垂直渐近线.,因,故直线,为水平渐近线.,31.05.2020,5)计算,得点:,补充点:,31.05.2020,4.6导数在经济学中的应用,1成本最小,31.05.2020,31.05.2020,2最大利润原则,利润函数L(Q)取最大值的必要条件：,利润最大的必要条件：边际收益等