甘肃高台第一中学高三数学期中理

甘肃省高台县第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理1、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）请将答案写在答题卡上.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2若复数满足，则（ ）A5BC25D3.正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ）A B C D4等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）A B C D5.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则|=（）A6 B7 C8 D96.在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC与BOC都不小于15的概率为()A. B C. D7.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD1，AA1，点O为长方形ABCD对角线的交点，E为棱CC1的中点，则异面直线AD1与OE所成的角为（ ）A30 B45 C60 D908.在中，内角，的对边分别是，外接圆半径为，若，且的面积为，则（ ）A.B.C.D.9.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）A. 向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位10.在三棱锥PABC中，点P，A，B，C均在球O的球面上，且ABBC，AB8，BC6，若此三棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为A B C D11. 已知数列是递增的等差数列，且，是函数的两个零点设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，则实数a的取值范围为 A（0，） B（0，） C（0，） D（0，1）12.已知函数在上至少存在两个不同的满足，且函数在上具有单调性，和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为B函数图象关于直线对称C函数图象关于点对称D函数在上是单调递减函数2、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13展开式中的常数项为 14已知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于 15将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有_种. 16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则_.三、解答题（6个小题，共70分)17.（12分）已知数列是递增的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求满足的最小的的值.18.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼的时间进行调查，调查结果如下表：平均每天锻炼的时间/分钟0，10）10，20）20，30）30，40）40，50）50，60）总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在40，60）的学生评价为“锻炼达标”（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，求这10人中，男生、女生各有多少人？从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望参考公式：K2，其中n=a+b+c+d临界值表P（K2k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.63519.三棱锥A-BCD中，ABC和BCD所在平面互相垂直，且BCBD4，AC4，CD4，ACB45，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：平面ABD平面BCD；(2)求二面角E-BF-C的正弦值20.(12分)已知椭圆：，其短轴为，离心率为，双曲线（，）的渐近线为，离心率为，且.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令函数，当时，恒有，求实数的取值范围请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。【选修4-4：坐标系与参数方程】22（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程；（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值【选修4-5：不等式选讲】23（10分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围高台县第一中学2019年秋学期高三年级期中考试数学（理科）试卷试卷命制： 审题教师：3、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）请将答案写在答题卡上.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】由集合，则或，又，所以.2若复数满足，则（ ）A5BC25D【答案】A【解析】由，得，所以，所以3.正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ）A B C D【答案C4等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）A B C D【答案】B5.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则|=（）A6 B7 C8 D9【答案】C6.如图，在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC与BOC都不小于15的概率为()A. BC. D解析：在上取C1，C2两点使AOC115，BOC215，则满足条件的射线OC落在C1OC2内部，C1OC260，则所求概率为.故选D.答案：D7.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD1，AA1，点O为长方形ABCD对角线的交点，E为棱CC1的中点，则异面直线AD1与OE所成的角为（ ）A30 B45 C60 D908.在中，内角，的对边分别是，外接圆半径为，若，且的面积为，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】，由正弦定理得，的面积为，则，代入得，由余弦定理得，.9.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）A. 向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位【答案】D【详解】由题将函数可化为，将的图象转换为，该图象向右平移个单位，即可得到的图象10.在三棱锥PABC中，点P，A，B，C均在球O的球面上，且ABBC，AB8，BC6，若此三棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为A B C D12. 已知数列是递增的等差数列，且，是函数的两个零点设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，则实数a的取值范围为A （0，） B（0，） C（0，） D（0，1）12.已知函数在上至少存在两个不同的满足，且函数在上具有单调性，和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为B函数图象关于直线对称C函数图象关于点对称D函数在上是单调递减函数4、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13展开式中的常数项为 240 14已知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于【解析】 f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为y28(x1)，即8xy100，令x0，得y10，令y0，得x，所求面积S10.15 将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有_种. 【解答】解：根据题意，分2步进行分析：、先将甲、乙等5位同学分成3组：若分成122的三组，有=15种分组方法，若分成113的三组，有=10种分组方法，则将5人分成3组，有15+10=25种分组方法；、将分好的三组对应三所大学，有A33=6种情况，则每所大学至少保送一人的不同保送方法256=150种；16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则_.三、解答题（6个小题，共70分)17.（12分）已知数列是递增的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求满足的最小的的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公差为（），由条件得，.（2），.由，得.满足的最小的的值为.18.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼的时间进行调查，调查结果如下表：平均每天锻炼的时间/分钟0，10）10，20）20，30）30，40）40，50）50，60）总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在40，60）的学生评价为“锻炼达标”（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，求这10人中，男生、女生各有多少人？从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望参考公式：K2，其中n=a+b+c+d临界值表P（K2k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.63518.19.如图，三棱锥A-BCD中，ABC和BCD所在平面互相垂直，且BCBD4，AC4，CD4，ACB45，E，F分别为AC，DC的中点(导学号 55460186)(1)求证：平面ABD平面BCD；(2)求二面角E-BF-C的正弦值练方法练规范练满分练能力(1)证明：由BC4，AC4，ACB45，则AB4，AC2BC2AB2，则ABC90，ABBC.(2分)又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AB平面ABC，AB平面BCD.又AB平面ABD，故平面ABD平面BCD.(4分)(2)解：由BCBD，点F为DC的中点，知BFDC.CD4知CF2，则sinFBC，FBC60，则DBC120，(6分)如图所示，以点B为坐标原点，以平面DBC内与BC垂直的直线为x轴，以BC为y轴，以BA为z轴建立空间直角坐标系则B(0，0，0)，A(0，0，4)，C(0，4，0)，E(0，2，2)，D(2，2，0)，F(，1，0)，(8分)(0，2，2)，(，1，0)，显然平面CBF的一个法向量为n1(0，0，1)，设平面BEF的法向量为n2(x，y，z)，取x1，得一个法向量n2(1，)(10分)设二面角E-BF-C的大小为，则|cos|cosn1，n2|.因此sin，则二面角E-BF-C的正弦值为.(12分)20.(12分)已知椭圆：，其短轴为，离心率为，双曲线（，）的渐近线为，离心率为，且.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）由题意可知：，双曲线的离心率，则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则.椭圆的标准方程：.（2）设直线的方程为.，消去整理得：.设，则，将，代入上式得，即.21（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令函数，当时，恒有，求实数的取值范围【解析】（1）当时，在上，函数单调递减；在上，函数单调递增；当时，在上，函数单调递增；在上，函数单调递减综上，当时，递减区间为，递增区间为；当时，递增区间为，递减区间为（2），当时，由于，所以，即，当时，由于，所以，即，当时，综上，当时，函数单调递增，所以由可得，即，等价于，即，令，则，由，且，得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减所以，所以，即的取值范围为请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。【选修4-4：坐标系与参数方程】22（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，