北京理科数学

2008年高考北京理科数学详解一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，那么集合等于（ ）A BC D【标准答案】: D【试题分析】: ，【高考考点】:集合【易错提醒】: 补集求错【备考提示】: 高考基本得分点2若，则（ ）ABCD【标准答案】: A【试题分析】:利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0。【高考考点】: 函数的映射关系，函数的图像。【易错提醒】: 估值出现错误。【备考提示】: 大小比较也是高考较常见的题型，希望引起注意。3“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【标准答案】: B【试题分析】: 函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。【高考考点】: 充要条件，反函数，映射关系，函数单调性。【易错提醒】: 单调性与一一对应之间的关系不清楚【备考提示】: 平时注意数形结合训练。4若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线【标准答案】: D【试题分析】: 把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。【高考考点】: 二次曲线（圆锥曲线）的定义。【易错提醒】: 没有转化的意识【备考提示】: 基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。5若实数满足则的最小值是（ ）A0 B1 C D9【标准答案】: B【试题分析】: 解出可行域的顶点，只需求出的最小值。【高考考点】: 线性规划【易错提醒】: 顶点解错【备考提示】: 高考基本得分点。6已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）A B C D【标准答案】: C【试题分析】: 由已知+，+,=+（数列为常数列）。【高考考点】: 数列【易错提醒】: 特殊性的运用【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。7过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）A BCD【标准答案】: C【试题分析一】: 过圆心M作直线：的垂线交与N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为60。【试题分析二】:明白N点后，用图象法解之也很方便【高考考点】: 直线与圆的位置关系。【易错提醒】: N点找不到。【备考提示】: 数形结合这个解题方法在高考中应用的非常普遍，希望加强训练。8如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）【标准答案】: B【试题分析】: 取的中点E, 的中点F连EF，则在平面内平行移动且当P移动到的中心时，MN有唯一的最大值，排除答案A、C；当P点移动时，由于总保持所以与的关系是线性的(例如: 取当时，同理，当时，有 )排除答案D,故选B.【方法二】设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线的中点时，函数取得最大值，所以排除A、C；又，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为，则是一次函数排除C，故选B。事实上有【高考考点】函数与立体几何的交汇【高考考点】: 截面，线与面的位置关系。【易错提醒】: 找不到特殊点O，或者发现不了O的特殊性。【备考提示】: 加强空间想象力的训练，加强观察能力的训练。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9已知，其中是虚数单位，那么实数 【标准答案】: 【试题分析】:，【高考考点】: 复数的运算【备考提示】: 高考基本得分点。10已知向量与的夹角为，且，那么的值为 【标准答案】: 0【试题分析】: 。也可利用数形结合知，向量a与2a+b垂直。【高考考点】: 向量运算的几何意义【易错提醒】: 如果使用直接法，易出现计算错误。【备考提示】: 向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起考生注意。11若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 （用数字作答）【标准答案】: 5 10【试题分析】: 显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C10.【高考考点】: 二项式【易错提醒】: 课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误【备考提示】: 二项式的考题难度相对较小，注意三基训练。12如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ； （用数字作答）【标准答案】: 2 【试题分析】: ；直线AB的斜率为，由导数的几何意义知。【高考考点】: 函数的图像，导数的几何意义。【易错提醒】: 概念“导数的几何意义”不清。【备考提示】: 在函数、三角函数、平面向量、复数、解析几何、导数范围，数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视。13已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其中能使恒成立的条件序号是 。【标准答案】: 【试题分析】: 函数显然是偶函数，其导数在时，显然也大于0，是增函数，想象其图像，不难发现，x的取值离对称轴越远，函数值就越大，满足这一点。当时，均不成立。【高考考点】: 导数，函数的图像，奇偶性。【易错提醒】: 忽视了函数是偶函数。【备考提示】: 加强导数综合应用的训练。14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 【标准答案】: （1,2） （3, 402）【试题分析】:组成的数列为0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1（k=1,2,3,4）。一一代入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4.因此，第6棵树种在 （1,2），又由于2008=4015+3，所以第2008棵树种在（3, 402）。【高考考点】: 数列的通项【易错提醒】: 前几项的规律找错【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题共13分）已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围【标准答案】: （）因为函数的最小正周期为，且，所以，解得（）由（）得因为，所以，所以，因此，即的取值范围为【高考考点】: 三角函数式恒等变形，三角函数的值域。【易错提醒】: 公式的记忆，范围的确定，符号的确定。【备考提示】: 综合性大题的高考基本得分点，复习时，应该达到熟练掌握的程度。16（本小题共14分）如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离【标准答案】: 解法一：（）取中点，连结， ， ， 平面平面， （），又， 又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，二面角的大小为（）由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中，点到平面的距离为解法二：（）， 又， ， 平面平面，（）如图，以为原点建立空间直角坐标系则设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为（），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离如（）建立空间直角坐标系， 点的坐标为点到平面的距离为【高考考点】: 直线与直线的垂直，二面角，点面距离【易错提醒】: 二面角的平面角找不到，求点面距离的方法单一【备考提示】: 找二面角的方法大致有十种左右，常见的也有五六种，希望能够全面掌握。17（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。（）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列【标准答案】: （）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是（）随机变量可能取的值为1，2事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则所以，的分布列是12【高考考点】: 概率，随机变量的分布列【易错提醒】: 总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C混淆为A【备考提示】: 近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点。18（本小题共13分）已知函数，求导函数，并确定的单调区间【标准答案】: 令，得当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减【高考考点】: 导数，导数的应用【易错提醒】: 公式记忆出错，分类讨论出错【备考提示】: 大学下放内容，涉及面相对较小，题型种类也较少，易于掌握。19（本小题共14分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值【标准答案】: （）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得所以直线的方程为，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得，所以所以当时，菱形的面积取得最大值【高考考点】: 直线方程，最值【易错提醒】: 不会使用判别式和韦达定理【备考提示】: 解析几何的综合题在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配。20（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，【标准答案】: （）解：，；，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，从