二重积分的计算(极坐标)

.,*三、二重积分的换元法,第二节,二、利用极坐标计算二重积分,机动目录上页下页返回结束,二重积分的计算,.,为什么引用极坐标计算二重积分,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,二、利用极坐标计算二重积分,机动目录上页下页返回结束,.,又如计算,其中,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.,由于,机动目录上页下页返回结束,本题解法见后面例题8,还可举例,.,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,利用极坐标计算二重积分,i,i,i+i,I=,ri,r,.,.,机动目录上页下页返回结束,用坐标线:=常数；r=常数分割区域D,.,怎样利用极坐标计算二重积分(1),1.极点不在区域D的内部,0,A,B,F,E,D,D:,r,r,.,0,A,B,F,E,D,D:,.,1.极点不在区域D的内部,r,.,0,A,B,F,E,D,D:,.,步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd,.,1.极点不在区域D的内部,r,.,2.极点位于区域D的内部,0,D,r,D:,怎样利用极坐标计算二重积分(2),r,机动目录上页下页返回结束,.,D:,D,0,.,2.极点位于区域D的内部,r,机动目录上页下页返回结束,.,D:,.,D,0,步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd,.,2.极点位于区域D的内部,r,机动目录上页下页返回结束,.,2a,.,.,解,例1.,.,机动目录上页下页返回结束,（第一象限部分）,(极点不在区域D的内部),.,此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！,2,1,D,D:,变换到极坐标系,.,.,例2.,计算,D:=1和=2围成,机动目录上页下页返回结束,.,2R,区域边界：,x=0,.,即r=2Rsin,r=2Rsin,例3.,.,机动目录上页下页返回结束,.,1,2,y=x,D,.,.,例4.,机动目录上页下页返回结束,.,4,r=4cos,r=8cos,8,D,1,2,例5.,计算,y=2x,x=y,机动目录上页下页返回结束,.,0,y,x,r=8cos,D,4,8,.,r=4cos,2,1,例5.,.,计算,I=,机动目录上页下页返回结束,.,例6计算,其中D为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,机动目录上页下页返回结束,.,例7.将积分化为极坐标形式,y=Rx,D1,D2,.,.,R,D,.,.,.,arctanR,.,I=,I=,机动目录上页下页返回结束,r=R,.,若f1则可求得D的面积,思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试,答:,问的变化范围是什么?,(1),(2),机动目录上页下页返回结束,(极点位于区域D的内部),.,例8.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.,由于,故,机动目录上页下页返回结束,.,注:,利用例8可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当D为R2时,利用例8的结果,得,故式成立.,机动目录上页下页返回结束,.,例9.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,机动目录上页下页返回结束,.,常用D到D的转换,机动目录上页下页返回结束,极坐标下的二次积分注释,.,作业,P138-1392;3;4(2),(4);5(2),(4);6,第三节目录上页下页返回结束,.,定积分换元法,三*、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应的,机动目录上页下页返回结束,.,证:根据定理条件可知变换T可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换T,在xoy面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,机动目录上页下页返回结束,.,同理得,当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四,边形,故其面积近似为,机动目录上页下页返回结束,.,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,机动目录上页下页返回结束,.,例21.计算,其中D是x轴y轴和直线,所围成的闭域.,解:令,则,机动目录上页下页返回结束,.,例22.计算由,所围成的闭区域D的面积S.,解:令,则,机动目录上页下页返回结束,.,例23.试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D的原象为,的体积V.,机动目录上页下页返回结束,.,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动目录上页下页返回结束,.,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,机动目录上页下页返回结束,.,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域