函数的极值教案

教 案编 号：1号课程名称：高等数学 编写时间：授课章节6.2 函数的极值及其求法目的要求、掌握函数极值的概念和函数极值存在的必要条件和两个充分条件2、根据相关知识点会求某些函数的极值3、通过本节课的学习，使学生领悟局部与整体的辩证关系重点难点1、极值的必要、充分条件2、函数极值的求法的理解与掌握一、复习导入上节课我们应用导数来研究了函数的单调性，知道了函数的单调性与导数的符号有着密切的联系即设函数在闭区间上连续，在开区间内可导（1）如果在内，则在上单调增加；（2）如果在内，则在上单调减少观察下面函数的图像：xboaX1X2X3X4X5y 图1函数值与函数在点附近的函数值进行比较，会有什么结论呢？那么，在、与点处的情况如何呢？ 二、探究新课（一）、函数极值的定义定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一，都有（或）则称函数值是函数的一个极大值（或极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点对极值定义的理解：1、函数的极大值、极小值概念是局部性的概念2、函数的极大值不一定比极小值大3、函数的极值点一定出现在区间内部（二）、函数存在极值的必要条件观察图1，极值点处的切线有什么特点？结合导数的几何意义，我们能否得到什么样的结论？定理1极值的必要条件 设函数在处可导，且在处取得极值，则一定有分 析：我们知道函数的极值就是局部的最值，而证明极值点处的导数为零只要在极值点的某一邻域内考虑即可，那么就是证明这一邻域内的最值处导数为零，而这实际上就是费马（Fermat）引理的内容证 明：设为极大值（为极小值时可类似证明）根据极值的定义，对于，恒有，于是当， ，故当， ，故从而，（三）、函数存在极值的充分条件定义2 使导数的点称为函数的驻点（稳定点）定理1表明：可导函数的极值点必定是驻点。讨 论：1、函数的驻点一定是极值点吗？ 2、函数的导数不存在的点可能是极值点吗？ 3、观察图1，极大值点与极小值点左右两侧的函数的导数符号如何变化？注 意：驻点不一定是极值点，例如函数的驻点就不是极值点定理1表明，对可导函数而言求极值点应先找出驻点，然后对驻点进行判断，哪些是极值点哪些不是极值点根据极值的定义及函数单调性的判定法不难知道：如果在驻点两侧函数导数的符号相反，则驻点必然是使函数单调性改变的点，从而一定是函数的极值点由此我们得到下面的定理定理2（极值的第一充分条件）设函数在点处连续，且在点的某一邻域（点可除外）内具有导数，对于， （1） 若当时，当，则是函数的极大值；（2）若当时，当，则是函数的极小值；（3） 若在两侧，的符号相同，则不是的极值分 析：显然（1）与（2）的证明是类似的由于证明极值是比较处的函数值与其邻域内的其它点处的函数值，而拉格朗日（Lagrange）中值定理就是讨论函数值之差与自变量之差之间的关系的，因此应用拉格朗日（Lagrange）中值定理可证明证 明：仅证，设为内任意一点，根据拉格朗日（Lagrange）中值定理得由（1）的条件可知： 当时，所以，所以；当，所以，所以 对于内任意一点，都有根据极值的定义知是函数的极大值 （2）、（3）的证明是类似的，建议学生给出定理2表明：如果在点两侧的导数符号相反，就一定是极值点，如果在点两侧的导数符号相同，则就一定不是极值点问题：根据定理2能否寻求到求函数极值的方法？求极值的步骤：(1)求出导数；(2) 求出的全部驻点和不可导点；(3) 根据定理2确定这些点是不是极值点，如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；(4)求出各极值点处的函数值,就得到函数的全部极值应用举例：例1求函数的极值解 该函数的定义域为令，得驻点，驻点将定义域分成三部分，现列表讨论如下：-13+0-0+极大值极小值由表可知，函数在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为上述有关极值的充分条件和必要条件都是对可导函数而言的，在此条件下，极值点一定是驻点，因此只要求出函数的驻点，再由定理2考察各个驻点是否为极值点就行了但是如果函数有不可导点，就不能肯定极值点一定是驻点了，因为在导数不存在的点处，函数也可能取得极值。请看下例：例2求函数的极值解 该函数的定义域为当时， ；当时，不存在当时，；当时，又在处连续，所以是函数的极大值点，极大值为注意：以上是利用函数的一阶导数来讨论函数的极值，当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下面的定理用二阶导数来判断函数在驻点处是取得极大值还是极小值定理3极值的第二充分条件 设函数在点处具有二阶导数，且，则 （1）当时，函数在点处取得极大值； （2）当时，函数在点处取得极小值证明 只证情形，情形的证明是类似的由导数的定义及和，得根据函数极限的局部保号性定理，对于，有因此，当时，；当， 根据定理2，函数在点处取得极大值定理3表明，如果函数在其驻点处的二阶导数，则驻点一定是函数的极值点注意：如果，就不能用定理3来判断是否为极值点事实上，当，在处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值例如 ，这三个函数就分别属于这三种情况。所以，当函数在驻点处的二阶导数为零时，只能用定理2来判断，即：由驻点左右两侧一阶导数的符号来判断应用举例：例3 求函数的极值解：令，得， 因，所以在处取得极小值，极小值为又，此时定理3失效，仍用定理2来判断当时，；当时，所以在处没有极值同理，在处没有极值三、巩固练习 P167 习题62 1、求下列函数的极值 （1） （2） 2、为何值时，函数在取得极值，它是极大值还是极小值，求此极值四、课堂小结 1、函数极值的概念 2、函数存在极值的必要条件 3、函数存在极值的充分条件 4、求函数极值的方法五、思考题 1、证明：定理2（第一充分条件）的（2）、（3）结论2、求函数的极值3、试证明：如果函数满足条件，那么函