江苏南通如东拼茶中学数学指导小题

江苏省南通市如东县拼茶中学2006年高考数学考前指导(小题)高考数学“小题”是指选择题、填空题，属于客观性试题。一方面具有题小、量大、基础、灵活、答案唯一（开放型填空题除外）等特点；另一方面具有比较明显的学科特点，即概念性强，量化突出，充满思辨性，形数兼备，解法多样化；是考查知识掌握程度和区分考生的能力层次、思维品质的重要题型，其分值约占全卷分值的53%（选择题33%，填空题20%）。用简缩的思维，快速、准确、灵活地得知结果，是每个考生希望达到的境界。解题的基本原则：小题不能大做，消除隐形失分。解题的基本策略：要充分利用题设和选项(或所求)提供的信息作出科学的判断，讲究“巧”字。解题的基本方法：1.代入验证（见好就收）；2.特殊化方法（特殊值、特殊函数、特殊数列、特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型）；3.排除法（筛选法、特殊值排除法）；4.数形结合法（图解法）；5.推理分析法（特征分析、逻辑分析）；6.估算、列举、归纳法；7.联想、类比、构造法；8.直接法。现结合实例加以说明。一、小题不能大做，消除隐形失分【例1】原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（ ）A不会提高70% B会高于70%，但不会高于90%C不会低于10% D高于30%，但低于100%小题大做设一次通话时间为x分钟，调整前话费为S1元，调整后话费为S2元，提价的百分率为y，则y 100%，列表如下（时间包尾计算）：x范围 (nN)S1S2yx0.180.2222.2%x0.18n0.180.220.11(3n1)30.33n100%x0.18n0.180.220.11(3n2)30.33n0.11100%x0.18n0.180.220.11(3n3)30.33n0.22100%根据表中计算结果：y 100%83.3%，取n1，对应于y 8.3%、22.2%、50.8%，故排除A、C、D，选B。小结这里运用了分类讨论和表格，进行建模、计算、排除，若是一道解答题，这样做是再好不过，遗憾的是选择题，那如何“巧”做呢？！特殊值法取x4，y100%8.3%，排除C、D；取x30，y 100%77.2%，排除A，从而选B。类题1 设 ， p (x1 )2 (x2 )2 (xn )2，q (x1 a)2 (x2 a)2 (xn a)2，若 a，则一定有（ ）Apq Bpq Cpq D与a的值有关特殊化，n 1，p 0，q 0，选C，此为方差最小原理，如何证明？类题2在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则 法一：取a3, b4, c5 ,则cosAcosC0, 法二：取ABC600 cosAcosC,类题3过抛物线yax2 (a0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 两点，如果线段PF与FQ的长分别是p、q，则 A、2a B、 C、4a D、法一：取特殊情况，PQx轴,选C法二: 取特殊情况，PQy轴, 选C【例2】以双曲线 的左焦点F，左准线l为相应的焦点和准线的椭圆截直线ykx3所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是 。小题大做F（2，0），l：x ，可设椭圆 （ab0），与直线ykx3联立，消去y得：(b2a2k2)x2 2(b2x03a2k)x9a2a2b2 0，0时得 ，又直线ykx3与x轴交于点（ ，0），据题设知： ，解得x0 ，而椭圆中心O1（x0，0）在右焦点F的左侧，x0 2，解得0k。小结若简缩思维，抓住问题的本质：直线与x轴的交点弦的中点椭圆的中心（为什么？），你有哪些科学的解法？解法一（特征分析法）：F（2，0），l：x ，根据椭圆的对称性知椭圆中心O1（ ，0），又 2，得0 k 。解法二作出椭圆（草图），注意到直线ykx3过定点M（0，3）及椭圆中心O1，知kOMk（0，）。类题1设球的半径为R, P、Q是球面上北纬600圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是，则这两点的球面距离是（ ）A、 B、 C、 D、分析：纬线弧长球面距离直线距离，排除A、B、D，选C类题2sin2180sin2540 ( )A、1 B、 C、 D、分析：，选B类题3，记数列an的前n项和为Sn，则使得Sn0的最小正整数n的值是（ ）A、10 B、11 C、12 D、5分析：的图象关于点（5.5，0）对称，S100，选B二、读懂题目，审清题意一方面，审题是“快、准、活”解题的基础和前提；另一方面，阅读、理解能力是数学能力的重要部分，高考考查的力度逐年加大。【例3】根据图形的性质，写出一个重要不等式（化简后） 。错误答案出错原因f () 没有看到y 没有看到括号中“化简后” 没有看出图中“ba0”a2b2 2ab (a、bR)没有看出a、bR( ab )2 0化简过头，及忘记“重要”二字小结：出错的根本原因在于“读题”，对图形提供的信息和题目的要求没有全面、仔细、深刻地理解。类题1已知集合A直线，集合B圆，则AB中元素个数是（ ）A、0 B、1 C、2 D、0或1或2误选D，错因：以为研究“位置关系”，没悟出AB，应选A类题2已知样本均值 5，样本方差S2100，若将所有的样本观察值都乘以 后，则新的样本均值和样本标准差S分别为（ ）A1，4 B1，2 C5，4 D25，2答案B。分别说出误选A、C、D的原因。类题3若e3x e1y e2且e1， e2不共线，则称（x，y）是e3以e1， e2为基底的坐标，在直角坐标系中，e1（1，0）， e2（，）， e3（，），则e3以e1， e2为基底的坐标为e3 e1 e2 （错解）类题4已知定点A（1，1）和直线l：xy20，则到定点A的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹是（ ）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线（错解：选C，错因：不知道隐含条件“Al”）类题5定义ak ai ai1 ai2 an ，其中i、nN，且in，若f (x) (1)k (3x)k ai x2003 i，则ak的值为（ ）A2 B0 C1 D2三、合理选择解法，力求巧做【例4】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF与面AC的距离是2，且EF，则该多面体的体积为（ ）A B5 C6 D方法1（分割法特殊化）：VVEAMND VEMNFBC ；方法2（补形法特殊化）：VVGADFBCVEADG ；方法3（放缩法）：VVEABCD 232 6，故选D。类题1函数f (x) Msin(x) (0) 在区间 a，b 上是增函数，且f (a) M，f (b) M，则函数g (x) Mcos (x)在区间 a，b 上（ ）A是增函数 B是减函数 C可以取得最大值M D可以取得最小值M方法1（换元法）：令tx，xa，b，设t/2，/2即可排除A、B、D，选C；方法2（特殊化）：取M1，0，且a /2，b /2，满足题设；方法3（特殊化图解）：作出f (x) sinx、g (x) cos x x/2，/2 即知；方法4（分析法）：由题设可知 f (x)2 g (x)2 M2，且f (a) M，f (b) M，得g (a) g (b) 0，排除A、B，又f (x)在 a，b 上递增，从而g(x)0，排除D，故选C。小结多种手段协同作战，如虎添翼，巧夺天工。类题2椭圆 的焦点F1、F2，点P是椭圆上动点，当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是 .方法1用焦半径公式，|PF1| 3 x0，|PF2| 3 x0，代入 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2 得x02 ，从而x0（ ，）；方法2用焦半径公式特殊化，|PF1| 3 x0，|PF2| 3 x0，代入 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2 得x02 ，从而xP（ ，）；方法3用焦半径公式椭圆定义，|PF1|2 |PF2|220(|PF1| |PF2|)220 2|PF1|PF2| |PF1|PF2| 9 x02 8 x02 x0（ ，）；方法4构造圆x2y25，与椭圆 联立求得交点x02 x0（ ，）；方法5特殊化椭圆定义面积公式，20|PF1|2 |PF2|2(|PF1| |PF2|)2 2|PF1|PF2|， S |PF1|PF2| |y|，代入上式得|y| ，代入椭圆方程得x2 x0（ ，）；方法6参数法，设P（3cos，2sin），代入 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2 得 cos2 ，得x0 3 cos（ ，）；开放（）椭圆 的焦点F1、F2，点P为椭圆上动点，连结PF1、PF2，试尽可能多地写出一些正确的论断： （1）a 3，b 2，c ，e ，p ； （2）焦点(，0)，准线x ；（3）|PF1| |PF2| 6； （4）P（x0，y0）；（5）|PF1| 3 x0，|PF2| 3 x0；（6）cosF1PF2 1； （7）S b2tan；（8）PF1x轴| PF1| ； （9）S椭圆ab；（10）a c| PF|ac且b2| PF1| PF2|a2；开放（） 椭圆 的焦点F1、F2，点P为椭圆上动点，当F1PF2 90时，写出三个相应的正确结论 .（11）P（，）或（ ，）； （12）| PF1| 2或4；（13）P点到两焦点的距离之比为2：1； （14）P点到两准线的距离之比为2：1；（15）P点到原点的距离为； （16）SF1PF2 4；开放（） 在（）的条件下，当P点在何处时，提出问题：（17）SF1PF2最大； （18）F1PF2最大；（19）| PF1| PF2| 最大？最小？ （20）F1PF2为直角？锐角？钝角？（21）S4；四、运用数学思想方法解题【例5】设函数 f(x)x3ax22bxc若当 x（0，1）时，f(x)取得极大值；x（1，2）时，f(x)取得极小值，则 的取值范围是 aboA (1,2)(3,1)(1,0)22提示：f(x)x2ax2b，令f(x)0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间， ，得 ，在aob坐标系中，作出上述区域如图所示，而 的几何意义是过两点P(a，b)与A(1，2)的直线斜率，而P(a，b)在区域内，由图易知kPA（，1）类题1是ABC的内角，若sincos ，则tan的值是（ ）A B C D 方程思想：方法1 （ cos） （0） 1 cos2（ cos）2 cos （舍正），sin ，tan ；方法2(sincos)2 sincos ，构造方程 x2 x 0 sin ，cos ；方法3令tan t，则 (万能公式)，解得t 3 (舍负)，tan ；函数思想：方法4sincos ，又y tan增1tan0，故选B；方法5 已知sin （ cos） tan （1 ）且 1cos tan0 ，选B；数形结合思想：方法6构造如图的三角形，对照题设知sin ，cos ；方法7观察研究 sincos 知0 sin cos1，只能选B。类题2设P是曲线 yx3x上任意一点，点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是 0，），）类题3 若曲线y 与y x2有且仅有一个公共点P，O为坐标原点，则|OP|2的取值范围是 . 类题4已知双曲线 上一点M到右焦点F的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|等于（ ）A B C D或提示数形结合，a5，c7，|MF|11ac，M只能在右支上，N、O分别是MF、FF1的中点，结合图形，联想到中位线及双曲线定义知 |ON| ，选B。类题5已知平面上直线 l 的方向向量 e （ ，），点O（0，0）和A（1，2）在 l 上的射影分别是 O 和 A，且e，其中等于 （ D ）ABC2D2类题6某厂2002年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金恰好与该月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月份投入建设资金又恰好与12月份的生产利润相同，则全年的总利润W与全年总投入建设资金N的大小关系是 .分析利润逐月算术增长（等差），对应于一次函数；投入逐月几何增长（等比），对应于指数函数。作出图象便知。 【例6】至2008年奥运会时，北京市区居民生活将全部用上清洁能源，居民电力消费比例由2002年的13%提高到25%，那么电力消费比例年平均增长率大约为（ ）A2% B15.4 C15.4% D11.9%提示(1x)6 2 (凑整)，又 (1x)616x15x2（适当放缩），15x26x 10，对应方程的根为x （舍负），而2%15%，必选D。月 份456用水量(m3)81214水费(元)81418类题1 某市用水的收费方法是：水费基本费超额费，若每月用水量不超过最低量a米3时，只付基本费用c元，若用水量超过a米3时，除了付c元外，超过部分按b元/米3，该市某用户一个季度的用水量和支付费用如下表，则最低限量为（ ）A7m3 B8m3 C9m3 D10m3 提示假设4月份用水量超过a m3，则 无解，得c8，b2，a9，故选C。类题2某招呼站，每天均有三辆开往省城南京的分为上、中、下等级的客车。某天袁先生准备在该招呼站乘车前往南京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车的顺序。为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆好则上第二辆，否则上第三辆。那么他乘上上等车的概率为 0.5 .解（列举法）方 式123456第1辆上上中中下下第2辆中下上下上中第3辆下中下上中上实际乘车下中上上上中概率P 0.5类题3 如图所示是一个的544的长方体，上面有214、215、314穿透的三个洞，那么剩下部分的体积是（ ）A50 B54 C56 D58解V80(81012)(232)156，选C。【例7】用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，依次类推，每一层都用去了上层剩下砖块的一半多一块，如果到第九层恰好砖块用完，那么共用了 1022 块砖。方法一（递推归纳）：第n层砌好后剩下an块砖，则共有a0块砖，且a 9 0，a1a01，a2 a11a01，a3a21a01，a9a0 ( 1)0 ，a0 2(1)，得a02102 1022；方法二（分析列举）：设第8层砌好后剩下x块，则x不可能为奇数，x只能为偶数且x2，如果x是大于4的偶数，那还得继续砌下去。进行递推如下表：层 数987654321用去砖块248163264128256512剩下砖块026143062126254510由表可知共有砖块5125101022块；方法三（借一还一）：设第n层用砖an块，借一块砖砌第10层，a101，便知a12a222a329a1029，S a1 a2 a929282 2 (29 1)1022（借的不算，为什么只借一块？）；类题1 ABCDA1B1C1D1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱爬行，每走完一条棱称为“走完一段”。白蚂蚁爬行的路线是AA1A1D1，黑蚂蚁爬行的路线是ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第i2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中iN），设两蚂蚁都走完第2003段后分别停在正方体的一个顶点处，则黑白蚂蚁的距离是（ ）A1 B C D0提示归纳T 6，f (2003) f (5) ，选B。类题2 5只猴子分1堆苹果，第一只猴子把苹果平均分成5堆，还多1个，把多的1个扔掉取走其中1堆；第二只猴子把剩下的苹果平均分成5堆也多1个，把多的1个扔掉也取走1堆；以后每只猴子都如此办理，则最后1只猴子所得的苹果的最小值是（ ）A1 B624 C255 D625解设第n只猴子取走an个苹果，则4an 5 an1 1 an1 1 ( an 1) an1 1 ()n 1( a1 1)，a5 ()4( a1 1) 1，又a5N，a5441 255，选C。五、关注“创新”题型【例8】已知函数yf (x)（xD），若对于任意的x1D，当f (x1)C时，存在唯一的x2D，且x1x2，使 C（C为常数），则称函数yf (x)在D上的均值为C。试写出一个均值为0的函数 .分析f (x1) f (x2) 0，联想点的对称性，且特殊化奇函数f (x)0均可。类题1 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：ya t，有以下叙述：（1）这个指数函数的底数为2；（2）第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；（3）浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；（4）浮萍每月增加的面积都相等；（5）若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别是t1、t2、t3，则t1 t2 t3；其中正确的是（ ）A（1）（2） B（1）（2）（3）（4） C（2）（3）（4）（5） D（1）（2）（5）类题2 将三棱锥PABC（如图甲），沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙的形状，其中P1、B、P2共线，P2、C、P3共线，且P1P2 P2P3，则在三棱锥PABC中，PA与BC所成的角是（ ）A30 B45 C60 D90 类题3 已知四个面都是直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一个直角梯形ABCD，如图ADAB，ADDC，AB1，BC，CD2，则这个三棱锥的外接球的表面积是 （结果可含）P0类题4如图是一个直径为8米的水轮，水轮圆心距水面2米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上的点P相对于水面的高度y（米）与时间x（秒）满足函数关系y Asin(x)h (x0时，P点位于P0处)，则有 A4; ; ; h2 .其中所有正确结论的序号为 类题5在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2AC2BC2”，拓展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 ”（SABC 2 SACD 2 SADB 2 SBCD 2）类题6某班有男、女生各20人，在一次数学测验中，男生的成绩统计分析得均分为95，标准差为6；女生成绩统计分析得均分为85，标准差为4则全班统计分析得均分和标准差分别为 （90；）类题7在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰好比赛一场，但有3名选手各自比赛了2场就退了下来，这样，全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛的场数是 （ B ）A0B1C2D3类题8：（上海卷2004年第16题）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ B ）A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张练习1、函数A、在，上递增，在，上递减B、在，上递增，在，上递减C、在，上递增，在，上递减D、在，上递增，在，上递减2、，下列不等式一定成立的是A、B、C、D、3、点是所在平面内一点，满足，则点是的A、三个内角的角平分线的交点B、三条边垂直平分线的交点C、三条中线的交点D、三条高的交点4、是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在内解的个数的最小值是A、2 B、3 C、4 D、55、以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为A、 B、 C、 D、6、点在椭圆的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点 ，则这个椭圆的离心率为A、 B、 C、 D、7、有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是A、4 B、5 C、6 D、78、已知向量，满足：，恒有，则A、 B、 C、 D、9、将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体高的最小值为A、 B、 C、 D、10、设是内任意一点，表示的面积，定义。若G是的重心，则A、点在内 B、点在内 C、点在内 D、点与点G重合11、设