高三数学数列精选题新课标人教

高三数学数列精选题http:/www.DearEDU.com1已知数列满足,且对一切有,其中, 求证对一切有；求数列的通项公式；求证 。解：()由=Sn2， (1) 由=Sn12， (2)(2)(1)，得=(Sn+1+Sn)(Sn+1Sn)=(2 Sn+an+1) an+1 an+1 0，an12=2Sn 4分()由an12=2Sn，及an2an =2Sn1 (n2)， 两式相减，得(an+1+ an)( an+1an)= an+1+ anan+1+ an 0，an+1an =1(n2) 6分当n=1,2时，易得a1=1，a2=2，an+1 an =1(n1) an成等差数列，首项a1=1，公差d=1，故an=n 8分（）=1 9分=1 () 10分=112312分2（14分）已知等比数列的各项为不等于1的正数，数列满足且，设 （1）数列的前多少项和最大，最大值为多少？ （2）试判断是否存在自然数M，使得当恒成立，若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由. （3）令试比较的大小。解：（1）则为等比数列 为定值 为等差数列又当n=11或n=12时，Sn取得最大值；且最大值为132 （5分）（2）当时，当时，存在M=12，当恒成立. （10分）（3）上是减函数 （14分）3、已知数列log2(an1)(nN*)为等差数列，且a1=3, a3=9 （1）求数列an的通项公式； （2）证明解：（1）令bn=log2(an1). （2）4已知a、b、c为正整数（a1）等差数列an的首项为a,公差为b,等比数列bn的首项为b,公比为a,满足条件：ab,且b2a3,在数列an和数列bn中各存在一项am与bn有am+1=bn成立，又设cn=()log2(1)求a, b的值（2）求数列cn中的最小项，并说明该项是数列cn中的第几项？（3）若数列为等差数列，求常数p解：（1）由b2a3即题意有aba+2b3b(ab)b为正整数，1a3,而a为正整数,a=2又am+1=bn,1+2+(m-1)b=b2n-1,即b=Z+,只有2n-1-m+1=1方可，b=3 (4分)（2）an=2+3(n-1),bn=32n-1,b2n+1=322ncn=(n-5)2n=2n2-10n,利用二次函数并结合n为正整数，当n=2或3时，cn取得最小值-12 （8分）（3）法一：设=2n+t则2n2-10n=2n2+(2p+t)n+pt 或 当p=0或p=-5时，数列为等差数列 （12分）法二：=, =,=,又为等差数列2=+,即p2+5p=0p=0或-5 （12分）5已知数列an的通项公式是，记 （1）写出数列bn的前三项； （2）猜想数列bn通项公式，并用数学归纳法加以证明； （3）令，求的值。解：（1）；（2）， （3） 6在数列an中，。（I）用数学归纳法证明：an2(nN*);（II）对于nN*，证明（i）（ii）a1+a2+a3+an2，结论成立（1分）（2）假设n=k(k1)不等式ak2成立 当 由ak2得ak+120即ak+12 说明当n=k+1时，不等式也成立 根据（1）和（2），可知不等an2对于nN*都成立。（5分）（II）证明：（i）由（I）可知an2(nN*)an+120 an20则（8分）（10分）（ii）由（i）可知，当n2时，（12分）则当，不等式也成立，故对于任意nN*，都有a1+a2+a3+an0，且a2、a5、a14分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项。(1)求数列an、bn的通项an、bn ;(2)设数列cn对任意的nN*，均有+an+1成立，求c1+c2+c2005的值。解：()由题意，有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2.2分而a1=1,d0.d=2,an=2n-1.3分公比q=3,a2=b2=3. bn=b2qn-2=33 n-2=3 n-1.2分()当n=1时，=a2,c1=13=3.当n2时，,得cn=2bn= cn=4分c1+c2+c3+c2005=3+2(31+32+33+32004) =3+2 2分9设数列满足关系：（n2），（）令，求证为等比数列；（）问：数列从第几项开始大于0？（，）解：（），又（n2）有（n2）即（n2）是以为首项，为公比的等比数列（）由（）知，即所以令，得到，即从第项开始10设一次函数的图象关于直线对称的图象为，且。若点（）在曲线上，并且。（1）求曲线的方程；（2）求数列的通项公式；（3）设，求解：（1） 由是一次函数，可设（） 1分的图象关于直线对称的图象为，图象为对应函数为的反函数。点（）在曲线上，并且。点即在曲线上，于是点在的图象上， 2分，又所以，即曲线的方程为； 4分（2）点在曲线上， 6分 8分（3） 10分 12分11对于函数 ，若存在，使 成立，则称为 的“滞点”.已知函数f ( x ) = .(I)试问有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；(II)已知数列的各项均为负数，且满足,求数列的通项公式；(III)已知,求的前项和。解：（I）由令 解得 即f(x)存在两个滞点0和2 （II）由题得，故由-得，即是等差数列，且 当n=1时，由 (III)由-得 12已知，求函数的表达式；定义数列，求数列的通项；求证：对任意的有 所以 4分（用数学归纳法做的酌情给分） 8分（用其它方法做的酌情给分）不等式等价于 10分 因为 14分13已知f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列f(an)满足a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0(1)是否存在常数c，使得数列an+c成等比数列？并证明你的结论；(2)设bn=3f(an)-g(an+1)2,求数列bn的前n项和Sn.14已知等差数列的公差大于0，且、是方程的两根，数列的前项和为，且 。（1）求数列、的通项公式；（2）设数列的前项和为，试比较与的大小。解：（1）由+=12，=27，且0,所以=3，=9，从而，（4分）在已知中，令n=1，得当时，两式相减得，。（8分）（2）当n=1时，当n=2时，当n=3时，当n=4时，猜想：时，（10分）以下用数学归纳法证明：（i）n=4时，已证，（ii）设n=k（时，即，则n=k+1时，时，成立。由（i）、（ii）知时，综上所述，当n=1，2，3时， ，当时，。（14分）解法二：当n=1，2，3时，同解法一；（10分）当时，=，综上所述，当n=1，2，3时， ，当时，。（15已知：f(x),数列的前n项和记为,点(,)在曲线yf(x)上(nN+)，且， .（I）求数列的通项公式;（II）求证：.（）数列的前n项和为，且满足： .设定的值，使得数列是等差数列.解：（）由于y 点An(,)在曲线yf(x)上(nN+)= f()= , 并且 （2分） ， 数列为等差数列，并且首项为=1，公差为4 （4分）=1+4（n1） ， ， （5分）（II） （8分） （10分）（）由 ， 得： （12分），如果，此时 （13分），此时，数列是等差数列. （14分）16数列的前n项和为，且满足，.（1）求的通项公式；（2）求和Tn=.解：（1） ，两式相减，得， 4分 ，. 8分（2） = =. 12分17已知数列中，数列对任何都有.。（1）求证为等比数列； （2）求的通项公式； （3）设数列的前项和为，求.证明：（1） (2) (3) 18已知等差数列an中，a1=1,公差d0，且a2、a5、a14分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项. ()求数列an、bn的通项an、bn; ()设数列cn对任意的nN*，均有+an+1成立，求c1+c2+c2005的值.解：()由题意，有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2.2分而a1=1,d0.d=2,an=2n-1.3分公比q=3,a2=b2=3.bn=b2qn-2=33 n-2=3 n-1.2分()当n=1时，=a2,c1=13=3.当n2时，,得cn=2bn= cn=4分c1+c2+c3+c2005=3+2(31+32+33+32004) =3+2 2分19已知，且，；中，点 都在同一条直线上，且，（1）求通项，；（2）设，求（2）错位相减得：20已知数列an满足： （）求数列an的通项公式； （）求和； （）设，若存在整数m，使对任意nN*，均有成立，求m的最大值.解：（1）数列an成等差数列. 2分由 4分（2） 9分（3） 10分 = 11分Tn是递增数列. 是Tn的最小值. 13分由 满足条件的最大整数m=7 14分21。已知f(x)=()2(x0),又数列an(an0)中，a1=2, 前n项和的公式Sn(nN)对所有大于1的自然数n都有Sn=f(Sn1). （I）求数列an的通项公式； （II）若解： n2时an=SnSn1=4n2, a1=2，数列an的通项公式为an=4n222如图，曲线上的点P1、P2Pn与x轴上的点O，Q1、Q2Qn，构成一系列正三角形，即OP1Q1，Q1P2Q2，Qn1PnQn，设正OP1Q1的边长为a1，正Qn1PnQn的边长为）. （）求； （）求数列的通项公式； （）记正Qk1PkQk的面积为bk，令与原点O不重合）， 又设OPnQn的面积为tn，求. （参考公式：12+22+n2=）解法一：将又将 （2分）解法二：直线OP1：联立，求得P1横坐标（2分）又直线Q1P2：联立，求得P2的横坐标（）解法一：记代入（2分）当n2时，即又由（）得的等差数列 （4分）解法二：类似（）求出 （2分）证明如下：1当n=1时显然成立；2假设当nk时猜想成立，则由点Qk（Sk，0）得直线联立，求得Pk+1的横坐标，即当n=k+1时猜想成立（4分）（） （2分）（2分）23设函数的定义域为，且对任意的正实数，均有恒成立.已知，且当时，.（1）求的值；（2）试判断在上的单调性，并证明；（3）一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，求数列的通项公式；（4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使对于一切均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由.解：（1）又，。 2分（2）设 ，即，在上是增函数。（3），得函在上是增函数，（1）由（1）得当时，有（2） （3）（2）-（3）得即，是首项为1，公差为1的等差数列，从而有 10分（4）故不等式可化为，即，则，是单调递增的， ，从而使对一切都成立的正数的范围是。 14分24如图，把正三角形ABC分成有限个全等的小正三角形，且在