高三数学一轮复习讲座五：不等式

2010年高三一次复习讲座-不等式二、复习要求1 .不等式的概念和性质2 .不等式的证明3、不等式的解法4 .不等式的应用。三、学习指导1、不等式的性质是证明不等式和和解不等式的基础。 不等式的基本性质如下：(1)对称性或反身性： abbb、bc、ac；(3)加法性： aba cb c，该法则也称为移项法则(4)乘法性：在ab、c0的情况下为acbc； 在c0的情况下是acb，在cd的情况下是ACB-d；(2)正数乘以同方向：如果是ab0，cd0则为acbd。特例： (3)幂律：如果ab0，nN(4)处方法则：如果是ab0，nN(5)倒数定律：如果是ab0、ab。要掌握不等式的性质，必须注意以下事项(1)条件与结论的对应关系是“符号”还是“符号”(2)不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向密切相关。2、利用平均不等式完全平坦方式的性质，得到a2b 22 ab (a，bR )，该不等式为a2b 22|ab |； 或者变形为|ab|；a、b0时，为ab或ab在具体条件下选择合适的形式。3、不等式证明：(1)不等式证明的常用方法：比较法、公式法、分析法、反证法、换元法、缩放法(2)在不等式证明过程中，应重视不等式的运算性质的并用(3)在证明不等式的过程中，扩大或缩小应适度。4、不等式的解法：求解不等式是为了寻找使不等式成立的充分条件，在求解不等式的过程中必须逐步使变形一定。一次二次不等式(组)是解不等式的基础，一次二次不等式是解不等式的基本问题类型. 利用逐轴标根法，可求解公式和高阶不等式。含参数的不等式应适当分类讨论。5、不等式的应用相当广泛，如求函数定义域、值域、研究函数单调性等。 在解决问题的过程中，应善于发现具体问题背景下的不等式模型。用基本不等式求分数函数和多变量函数的最大值，是求函数最大值的初等数学方法之一。研究不等式耦合函数思想、数形耦合思想、等价变换思想等。四、典型例题例1、求出已知的f(x)=ax2-c、-4f(1)-1、-1f(2)5、f(3)的可取范围。分析：从条件和结论的互化归结观点出发，用f(1)、f(2)的线性组合表示f(3)，利用不等式的性质求解。设f(3)=mf(1) nf(2) 9a-c=m(a-c) n(4a-c ) 9a-c=(m 4n)a-(m n)c22202220 f(3)=4f (1)- 1，- 1f (2)52222222222卡卡卡卡卡卡卡卡653-1f(3)20说明：1、本问题还能够首先用f(1)、f(2)表示a、c，即a=f(2)-f(1)，代入c=f(2)-4f(1)，用f(1)、f(2)表示f(3)。2、主题的典型错误是从-4a-c-1，-14a-c5中求出a、c的范围，用不等式的运算性质求出f(3)=9a-c的范围。 错误的原因是，多次使用不等式的演算性质时，不等式间产生了不等价的变形。2、本问题也可以用线性规划知识求解。例2、作为a0、b0，要求证据：。分析：方法1 :比差法、不等式为代数不等式时，常用比差法，比差法的三个阶段为函数单调性证明阶段。从左到右=0左右法律2 :基本不等式根据不等号的方向从左向右缩小，为了找出右边的整形式使用方法的技巧。2222222222222222卡6二式相加：是例3，设实数x、y满足y2=0，00，y0，a0由0得到y-b0是xy 只有在那个时候，等号立即成立根2 :令，(0，) x y=)仅当时等号就成立了说明：本问题从代数消元或三角换算元两种方法发挥了消元作用。例5，已知的f(x)=-3x2 a(6-a)x b(1)求解与a有关的不等式f(1)0(2)不等式f(x)0的解集为(-1，3 )时，求出实数a、b的值。分析：(1) f(1)=-3 a(6-a) b=-a2 6a b-3 f(1)0 a2-6a 3-b0=24 4bb-6时，0 f(1)0的解集为；b-6时 f(1)0的解集是(2)不等式-3x2 a(6-a)x b0的解集为(-1，3 ) f(x)0与不等式(x 1)(x-3)0是同解 3x2-a(6-a)x-b0解集为(-1，3 )2220得到解答例6、设a、bR，设x方程式x2 ax b=0的实根为、，如果|a| |b|1，则求出证明|1，|1。解决问题的思路分析：在不等式、方程和函数的综合问题中，通常以函数为中心。设法f(x)=x2 ax bf(1)=1 a b1-(|a| |b|)1-1=0f(-1)=1-a b1-(|a| |b|)0此外， 0|a|a| |b|1 -10 |1同样地： |1说明：绝对值不等式的处理技巧适度缩小，例如|a|-|b|a b|和|b|-|a|ab|的选择。有人坐出租车从a地到b地，有两个方案。 第一个方案是起步价为10元，每公里1.2元的出租车。第二个方案是起步价为8元，km价格为1.4元的出租车。根据出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶里程相等的情况下，此人从a地到b地选择哪个方案比较合适分析：从a地到b地的距离为mkm，在起步价格内行驶的道路为akm显然，ma时，选择起步价格为8元的出租车是合适的在ma情况下，若设m=a x(x0 )、乘车开始价格为10元的出租车费用为P(x )元、乘车开始价格为8元的出租车费用为Q(x )元，则P(x)=10 1.2x、Q(x)=8 1.4x P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x )x 0时，P(x)Q(x )在这种情况下，最好选择初始价格为8元的出租车如果x=10，这时两种出租车是可选的同步练习选择题1、“a0且b0”为”a、不是必要条件b就足够了，不是必要条件就足够了c、充足条件d、不充分和不必要的条件2，假设a0，则关于x的不等式42x2 ax-a20的解集为a、() b、() c、() d、如果是3，00，f(x)=，a，f (x )2b，f(x)10 C，f (x )6d，f(x)35、已知、(a2)；a，pq B，p2h C，|a-b|h7 .如果x的方程式9x (a 4)3x 4=0有一个解，则实数a的可取值的范围为a、(-8) 0，) B、(-4)b，-8，4 d，(-8)8、如果a0、b0且2a b=1，则S=2-4a2-b2最大值为a、b、c、d、(二)填空问题；设a0、b0、a、b为常数，则x0时函数f(x)=的最小值为_。10、周长为直角三角形的面积的最大值为_。11、记述S=、s和1的大小关系是_。12、不等式|x2-2x 3|3x-1|的解集是_。(3)解答问题13、要使不等式对于所有正数x、y成立，k的最小值是多少14 .求解关于x的不等式十五、已知的a0，寻求证据：16、已知不等式对nN成立，求出实数a的可取范围。17、a为正实数时，2a2 3b2=10，求出的最大值。18、商店销售某商品，假设年销售量为d件，每批商品的库存费用为I件，每批进货量为q件，进货所需费用为s元，平均库存量，每批进货量q为多少时，费用最节约？参考答案选择