第11章静电场中的导体和电介质

第十一章 静电场中的导体和电介质第十一章 静电场中的导体和电介质 11-1 静电场中的导体11-1 静电场中的导体 11-2 电容 电容器11-2 电容 电容器 11-3 静电场中的电介质11-3 静电场中的电介质 11-4 静电场的能量11-4 静电场的能量 结 束结 束下一页下一页 11-1 静电场中的导体11-1 静电场中的导体 一、导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 1. 静电平衡条件静电平衡条件 静电平衡： 静电平衡： 导体的特点： 导体的特点： 静电感应 静电感应 带电体系中电荷静止不动，带电体系中电荷静止不动， 电场分布不随时间变化电场分布不随时间变化 导体内存在自由电荷导体内存在自由电荷 导体内的场强处处为零导体内的场强处处为零静电平衡条件：静电平衡条件：（充分必要条件）（充分必要条件） 0 E 导体的静电平衡条件 导体的静电平衡条件 ? 0 EE E =+ ? 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 感应 电荷 感应 电荷 感应 电荷 感应 电荷 E ? 0 f ? f ? 0= 2. 推论推论 导体是等势体，导体表面 导体是等势体，导体表面 是等势面是等势面 0E = ? 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 b ab a UE dl= ? a b 0= 导体外的场强处处与 导体外的场强处处与 它表面垂直它表面垂直 E ? 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 电荷分布 电荷分布 二、导体上的电荷分布导体上的电荷分布 1. 实心导体实心导体 S 0E = ? 0 i q = 结论：结论：导体内部导体内部无净电荷无净电荷，电，电 荷只分布在导体的表面荷只分布在导体的表面 0 i q = ( ) d0 S ES= ? ? 2 S S 3 S 1 S E ? P 电荷面密度与场强的关系电荷面密度与场强的关系 ( ) e S E dS = ? ? 123 ()()()SSS E dSE dSE dS =+ ? 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 1 ()S E dS = ? 0 S =E S= 0 E = 表面曲率的影响，尖端放电 表面曲率的影响，尖端放电 尖而凸出尖而凸出部分：部分： 比较平坦比较平坦部分：部分： 凹进去的凹进去的部分：部分： 0 E = E E 曲率曲率较大较大，电荷面密度，电荷面密度较大较大 曲率曲率较小较小，电荷面密度，电荷面密度较小较小 曲率曲率为负为负，电荷面密度，电荷面密度最小最小 带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附 近的空气发生电离而产生放电现象 带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附 近的空气发生电离而产生放电现象 尖端放电：尖端放电： 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 电风实验电风实验 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 雷电雷电 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 静电感应静电感应 避雷针的工作原理避雷针的工作原理 带电云带电云带电云带电云 电晕放电 可靠接地 电晕放电 可靠接地 12 RR UU= 1 R 证明:证明: 用导线连接两导体球用导线连接两导体球 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 12 0102 44 qq RR = 导线导线 12 lRR， 2 R 2 q 1 R 1 q 12 21 R R = 22 1122 0102 44 44 RR RR = S S 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 2. 导体壳导体壳 ( ) 0 S E dS= ? ? 电荷分布在表面电荷分布在表面 0 i q = 空腔内无带电体 空腔内无带电体 结论：结论： 0( ) 0 i S q E dS = ? ? 与导体是等势体矛盾与导体是等势体矛盾0 电荷分布在导体的外表面,电荷分布在导体的外表面, 内表面无电荷内表面无电荷 B AB A UE dl= ? 若内表面带电，必若内表面带电，必等量异号等量异号 B A 空腔内空腔内没有电场没有电场，电势处处相等电势处处相等 q 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 空腔内有带电体 空腔内有带电体 结论结论: ( ) 0 S E dS= ? ? S q = 0 i q q 内表面有感应电荷，外表面有感应电荷内表面有感应电荷，外表面有感应电荷qq 屏蔽外电场 屏蔽外电场 E ? 用空腔导体屏蔽外电场用空腔导体屏蔽外电场 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 静电屏蔽 静电屏蔽 0E= ? 屏蔽内电场 屏蔽内电场 q q q q q 接地空腔导体屏蔽内电场接地空腔导体屏蔽内电场 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 例例1：半径为的半径为的导体球导体球带有电荷 ，球外有一内、外半径分 别为和的同心 带有电荷 ，球外有一内、外半径分 别为和的同心导体球壳导体球壳，带电量为。试求，带电量为。试求 1 RA 2 R 3 RBQ q 场强分布、电势分布及两球 的电势差 在情形中，将外球壳接地， 场强分布、电势分布、两球之间 的电势差如何？ 场强分布、电势分布及两球 的电势差 在情形中，将外球壳接地， 场强分布、电势分布、两球之间 的电势差如何？ B 在情形中，将内球接地， 情况如何？ 在情形中，将内球接地， 情况如何？ 如果用导线将球和球壳连接， 如果用导线将球和球壳连接， 场强分布和电势分布及两球之场强分布和电势分布及两球之 间的电势差如何？间的电势差如何？ A BA q 1 R 2 R 3 R Qq+ O q 解：解： 1 Rr 0 1 =E 21 RrR 2 0 2 4r q E = 0 332 RrR 2 0 4 4r Qq E + = 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 += 3 3 2 2 1 1 43211 R R R R R R r drEdrEdrEdrEU 由高斯定理可得 由高斯定理可得场强分布场强分布 电势分布电势分布 1 Rr 30210 4 ) 11 ( 4R Qq RR q + += += 3 3 2 2 4322 R R R R r drEdrEdrEU 21 RrR 30200 444R Qq R q r q + += 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 32 RrR 03 4 qQ R + = 0 4 qQ r + = 两球的电势差两球的电势差 B A UE dl= ? 012 11 () 4 q RR = 2 1 2 R R E dr= 用导线将球和球壳连接后， 用导线将球和球壳连接后，场强、电势分布场强、电势分布 1 Rr 1 0E = 21 RrR 32 RrR 4 2 0 4 qQ E r + = 2 0E = 3 03 4 qQ U R + = r Qq U 0 4 4 + = 2 03 4 qQ U R + = 1 03 4 qQ U R + = 两球的电势差两球的电势差0=U 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 在情形中，外球壳的电势为 在情形中，外球壳的电势为 30 4R Qq U + = 外 设外球壳接地后电量变为，则电势变为设外球壳接地后电量变为，则电势变为 Q 0 4 30 = + = R Qq U 外 1 Rr 1 0E=) 11 ( 4 210 1 RR q U= 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 qQ= 21 RrR 2 0 2 4r q E = ) 11 ( 4 20 2 Rr q U= 32 RrR 0 3 = U 0 4 = E0 4 = U ) 11 ( 4 210 RR q U= 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 设内球接地后电量变为 ，则电势为设内球接地后电量变为 ，则电势为 q 在情形中，内球的电势为 在情形中，内球的电势为 01203 11 () 44 qqQ U RRR + = + 内 0= 01203 11 () 44 qqQ U RRR + =+ 内 1 Rr 21 RrR 0 1 = E0 1 = U 2 3221310 21 2 )(4rRRRRRR RQR E = rRRRRRR rRQR U )(4 )( 3221310 12 2 = 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 322131 21 RRRRRR RQR q = 32 RrR B R 或或 0 4 孤立导体的电容孤立导体的电容 A CR= 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 4. 电容计算的步骤电容计算的步骤 设电容器两极板分别带电 设电容器两极板分别带电q E ? 求出两极板之间的电场分布 求出两极板之间的电场分布 求出两极板之间的电势差 求出两极板之间的电势差 AB U 用定义式求出电容 用定义式求出电容 AB U q C =C 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 场强分布场强分布 解解: 00 22() E xdx =+ 设 、 的电荷线密度分别为设 、 的电荷线密度分别为AB 例例2：半径都是 的两无限长平行直导线相距为 （）， 求单位长度的电容 半径都是 的两无限长平行直导线相距为 （）， 求单位长度的电容 daad BA + d a x x O E ? P 导线间电势差导线间电势差 B AB A UE dl= ? 0 ln da a = 0 ln d a 电容电容 AB C U = 0 ln()d a = da a Edx = 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 四、电容器的串、并联四、电容器的串、并联 1. 串联电路串联电路 12 1111 n CCCC =+ 2. 并联电路并联电路 12n CCCC=+ q+qq+q q+q n C 2 C 1 C 1 q+ 1 q 2 q+ 2 q n q n q+ n C 2 C 1 C 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 解一：解一：根据高斯定理根据高斯定理 1 1 0 2 E r = 例例3：如图所示，三个如图所示，三个“无限长无限长”的同轴导体圆柱面 、 和 ， 半径分别为、 、 。圆柱面 上带电荷， 和都接 地。求 的内表面上电荷线密度和外表面电荷线密度 之比值 的同轴导体圆柱面 、 和 ， 半径分别为、 、 。圆柱面 上带电荷， 和都接 地。求 的内表面上电荷线密度和外表面电荷线密度 之比值 A B C A BC 1 2 12 a R b R c RB 、 间电场分布、 间电场分布A B 1 2 2 1 a R A b R B c R C 、 间的电势差、 间的电势差B A 1 a b R BA R UE dr= ? ? 1 0 2 a b R R dr r = 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 2 2 0 2 E r = 、 间电场分布、 间电场分布BC 、 间的电势差、 间的电势差BC 2 c b R BC R UEdr= ? ? 2 0 2 C b R R dr r = 1 0 ln 2 b a R R = 2 0 ln 2 c b R R = BABC UU= 1 2 ln() ln() cb ba RR RR = 电容和并联电容和并联BABC 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 解二：解二：单位长度的电容分别为单位长度的电容分别为 * 0 2 ln() BA ba C RR = * 0 2 ln() BC cb C RR = 1 2 ln() ln() cb ba RR RR = BABC UU= 12 * BABC CC = 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 五、电容器的储能（电能）五、电容器的储能（电能） + u u uuu + = dt时间内时间内 dq 负极板负极板正极板正极板 电容器储存的能量电容器储存的能量(电源作功)(电源作功) ()() e dWdAdqudqu + = ()uudq + =udq= C q+q u+u dq dq 时刻时刻t q+ q 正极板： 负极板： 正极板： 负极板： 总能量总能量 0 Q e Wudq= 2 2 Q C = 0 Q q dq C = 2 11 22 e WCUQU= 电容也是电容电容也是电容 器储存能量本器储存能量本 领大小的标志领大小的标志 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 六、电容器的分类及应用六、电容器的分类及应用 1. 分类分类 容量变化情况： 容量变化情况：可变电容器，半可变或微调电容器， 固定电容器等 可变电容器，半可变或微调电容器， 固定电容器等 用途： 用途：高频电容器，低频电容器等高频电容器，低频电容器等 绝缘介质： 绝缘介质：真空电容器，空气电容器，云母电容器，真空电容器，空气电容器，云母电容器， 纸质电容器，陶瓷电容器，电解电容器等纸质电容器，陶瓷电容器，电解电容器等 2. 应用应用 滤波： 滤波：如电源滤波或信号杂波消除等 如电源滤波或信号杂波消除等 隔直和耦合： 隔直和耦合：如信号传输等如信号传输等 振荡： 振荡：如谐振电路、电磁波发射等如谐振电路、电磁波发射等 dt导体导体 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 一、电介质的极化一、电介质的极化 11-3 静电场中的电介质11-3 静电场中的电介质 1. 导体与电场相互作用的特点导体与电场相互作用的特点 电场改变导体的电荷分布 电场改变导体的电荷分布 导体的电荷改变电场的分布 导体的电荷改变电场的分布 2. 导体、电介质增大电容导体、电介质增大电容 S 0 q 0 q 0 E ? 0 q 0 q 0 E ? 0E = ? 导体增大电容 导体增大电容 d S C 0 0 = 0( )UE dt= 0 0 () q dt S = 0 0 ()dt = 0 C 0S dt = 导体表面出现感应电荷导体表面出现感应电荷 0 q C U = 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 电介质增大电容 电介质增大电容 介质内介质内场强场强 0 EE E = 0 E d E t = 0 E 电介质电介质 n ? 0 l ? dS cosmqldS= cosPdS= n ? l ? 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 例1：例1：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，已知 电极化强度为 求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，已知 电极化强度为P ? 解：解： cosP= 2 0 2 = 0= 0 取球心为原点，极轴与 平行的球坐标系取球心为原点，极轴与 平行的球坐标系OP ? n ? z P ? O A 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 四、电介质的极化规律四、电介质的极化规律 各向同性均匀电介质各向同性均匀电介质 EP e ? 0 = e 电介质的电介质的极化率极化率 各向异性线性电介质各向异性线性电介质 )()()( 0zxzeyxyexxxex EEEP+= )()()( 0zyzeyyyexyxey EEEP+= )()()( 0zzzeyzyexzxez EEEP+= 、 、是、是9个常数，由电介质的性 质决定。这 个常数，由电介质的性 质决定。这9个常数组成的张量叫做电介质的个常数组成的张量叫做电介质的极化率张量极化率张量 xxe )( xye )( zze )( （直角坐标系中）（直角坐标系中） 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 例例2：平板电容器充满了极化率为的均匀电介质。已知充电 后金属极板上自由电荷面密度为，求电介质表面的 极化电荷、电介质内电极化强度和电场强度、以 及电容器的电容与没有电介质时电容之比 平板电容器充满了极化率为的均匀电介质。已知充电 后金属极板上自由电荷面密度为，求电介质表面的 极化电荷、电介质内电极化强度和电场强度、以 及电容器的电容与没有电介质时电容之比 e 0 P ? E ? C 0 C 解：解： P= 00 P E= = EP e0 （附加场）（附加场） = EEE 平板电容器，以上各量的关系为平板电容器，以上各量的关系为 = 0 0 0 0 =E 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 联立解得联立解得 0e PE = = 0 q C U = 电介质电介质使电容器使电容器电容增大电容增大倍倍)1 ( e + 0 1 e E E = + 0e EE= 0 EE E = 0 00 P = 0 0 (1) e = + 000 11 ee ee E = + 0 (1) e C=+ 0S Ed = 0 (1) e S d + = 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 五、电位移矢量、有介质时的高斯定理五、电位移矢量、有介质时的高斯定理 在有介质的情况下，高斯定理为在有介质的情况下，高斯定理为 += )( 0 0)( )( 1 内S S qqSdE ? 自由电荷自由电荷 极化电荷极化电荷 利用利用 = )( )( 内S S qSdP ? =+ )( 0 )( 0 )( 内S S qSdPE ? 自由电荷自由电荷 定义：定义：PED ? += 0 电位移矢量电位移矢量 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 = )( 0 )( 内S S qSdD ? 有介质时的高斯定理有介质时的高斯定理 在静电场中通过任意闭合曲面的在静电场中通过任意闭合曲面的电位移通量电位移通量等于该等于该 闭合曲面所包围的闭合曲面所包围的自由电荷自由电荷的的代数和代数和 D ? 线线E ? 线线 从从正自由电荷正自由电荷出发，终止于出发，终止于负自由电荷负自由电荷电位移线（ 线）：电位移线（ 线）：D ? 电介质电介质 0 q 0 q q q 电介质电介质 0 q 0 q q q 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 各向同性介质：各向同性介质：EP e ? 0 = 0 DEP=+ ? 0r DE = ? er +=1相对介电常数：相对介电常数： 0r =绝对介电常数：绝对介电常数： (1) e E =+ ? 000e EE =+ ? E= ? 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 电介质相对介电常数击穿场强（电介质相对介电常数击穿场强（） 空气空气1.0005903 水水78 云母云母3.77.580200 玻璃玻璃5101025 陶瓷陶瓷5.76.8620 纸纸3.514 油油4.512 电木电木7.61020 二氧化钛二氧化钛1006 氧化钽氧化钽11.615 聚苯乙烯聚苯乙烯2.625 聚乙烯聚乙烯2.350 钛酸钡钛酸钡1021043 r mmkV / 几种电介质的相对介电常数和击穿场强几种电介质的相对介电常数和击穿场强 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 例例3：半径为 的导体球，带有电荷，球外有一均匀电介质的 同心球壳，球壳的内外半径分别为 和 ，相对介电常数 为，如图，求： 半径为 的导体球，带有电荷，球外有一均匀电介质的 同心球壳，球壳的内外半径分别为 和 ，相对介电常数 为，如图，求： R 0 Q ab r 介质内外的 和的分布 介质内外的 和的分布E ? D ? 离球心为 处的电势 离球心为 处的电势rU r 0 Q R a b r O S P 场分布球对称场分布球对称解：解：作球形高斯面作球形高斯面 = )( 0 )( 内S S qSdD ? 由高斯定理由高斯定理 1 0D = 0 2 2 4 Q D r = rR Rra 1 0E = 0 2 2 0 4 Q E r = 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 0 3 2 4 Q D r =arb 0 4 2 0 4 Q E r = 电势的分布 电势的分布 1 r UE dr = ? ? 000 000 1111 444 r QQQ Raabb =+ Rr 1234 Rab rRab E drE drE drE dr =+ arR 2 r UE dr = ? ? 000 000 1111 444 r QQQ raabb =+ 234 ab rab E drE drE dr =+ bra 3 r UE dr = ? ? 00 00 11 44 r QQ rbb =+ br 4 r UE dr = ? ? 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 34 b rb E drE dr =+ 0 0 4 Q r = 4 r E dr = 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 例例4：一平行板电容器的极板面积为 ，板间距离 ，电势差为 。两极板间平行放置一层面积与极板相同、厚度为 的 均匀电介质，电介质的相对介电常数为。试求： 一平行板电容器的极板面积为 ，板间距离 ，电势差为 。两极板间平行放置一层面积与极板相同、厚度为 的 均匀电介质，电介质的相对介电常数为。试求： Sd Ut r 电容器的电容，电介质 电容器的电容，电介质 的位置对结果有无影响？的位置对结果有无影响？ 极板上的电量 极板上的电量 0 Q 两极板间的电位移和场强 两极板间的电位移和场强DE 解：解： 作柱形高斯面作柱形高斯面 S dt r S S 0 Q 0 Q 1 S ( )S D dSD S= ? 由高斯定理由高斯定理 ? 0 q= 0 S= 0 D= 0 Q S = 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 真空中真空中 介质中介质中 1 0 D E = 2 0r D E = 电势差电势差 12 ()UE dtE t=+ 0 0 () r r Q dtt S =+ 0 0 Q S = 0 0r Q S = 00 00 () r QQ dtt SS =+ 极板上电量极板上电量 ttd SU Q r r + = )( 0 0 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 ttd U D r r + = )( 0 ttd U E r r + = )( 1 ttd U E r + = )( 2 电容 电容 0 Q C U = 电介质的电介质的位置位置对结果对结果无影响无影响 0 () r r S dtt = + td= 0 0 C d S C r r = r 电容率电容率 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 两极板间的电位移和场强 两极板间的电位移和场强D 极板上的电荷面密度 极板上的电荷面密度 E 电容器的电容 电容器的电容 解：解： 例例5：一平行板电容器的极板面积为 ，板间距离 ，电势差为 。两极板间左、右两半空间分别充满相对介电常数为 和的电介质，如图（设充满的空间的极板面积 为 ）。试求： 一平行板电容器的极板面积为 ，板间距离 ，电势差为 。两极板间左、右两半空间分别充满相对介电常数为 和的电介质，如图（设充满的空间的极板面积 为 ）。试求： Sd U 1r 2r 1 S 1r 1r 2r 1 S S d 0 Q 0 Q 左、右两边的左、右两边的场强相等场强相等 d U EE= 21 1011r DE = 左半边左半边 01r U d = 电位移电位移 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 2022r DE = 右半边右半边 011 D= 左半边左半边 右半边右半边 022 D= 02r U d = 01r U d = 02r U d = 01 02 1r 2r 1 S S d 0 Q 0 Q 作高斯面作高斯面电荷面密度电荷面密度 S S S 0011021 ()QSSS=+ 011021 () rr SSS U dd =+ 电容电容 极板上总电量极板上总电量 0 Q C U = 12 CC=+ 011021 () rr SSS dd =+ 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 电容器储存的电能为电容器储存的电能为 2 0 2 e Q W C = 0 1 2 e WQU= 2 1 2 CU= 以平板电容器为例进行讨论以平板电容器为例进行讨论 00 QS=EdU= 1 2 e WDESd= 电场所在空间的体积电场所在空间的体积SdV =式中：式中： 1 2 DEV= DS= 11-4 静电场的能量11-4 静电场的能量 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 能量密度：能量密度：单位体积内的电场能量单位体积内的电场能量 e e W w V = 一般情况：一般情况：EDwe ? = 2 1 各向同性介质各向同性介质ED r ? 0 = r re D Ew 0 2 2 0 2 1 2 1 = 1 2 DE= 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 电场总能量电场总能量 () ee V Ww dV= ()() 1 2 ee VV Ww dVDEdV= 各向同性介质各向同性介质 2 0 () 1 2 r V E dV = 电容的计算电容的计算 2 0 2 e Q W C = 2 0 2 e Q C W = () 1 2 V D EdV= ? 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 例例1：球形电容器的内、外半径分别为 和，两球面间充满 相对介电常数为的均匀电介质，内、外球面上带有电 荷，试求： 球形电容器的内、外半径分别为 和，两球面间充满 相对介电常数为的均匀电介质，内、外球面上带有电 荷，试求： 1 R 2 R r 0 Q 电场的总能量 电场的总能量 电容器的电容 电容器的电容 若电介质击穿场强为， 电容器能承受的最高电压 若电介质击穿场强为， 电容器能承受的最高电压 g E M U 0 2 0 4 r Q E r = 12 () 解：解： RrR 12 () RrR 2 0 24 0 32 r Q r = r 1 R 2 R 0 Q+ 0 Q O r 由高斯定理可得场强分布由高斯定理可得场强分布 2 0 1 2 er wE = 1 R 2 R 0 Q+ 0 Q r 回首页回首页回上页回上页下一页下一页 取体积元取体积元 2 4dVr dr= ee dWw dV= 体积元中电场能量 电容器中电场的总能量 体积元中电场能量 电容器中电场的总能量 2 1 2 0 2 0 8 R e R r Q Wdr r