福建高考数学秘籍18法 数列问题的题型与方法 新课标 人教

福建省高考数学秘籍十八法数列题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础。 对高考本章的考察比较全面，等差数列、等比数列的考察年年遗漏。 有关数列的问题常常是综合问题，它综合了数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识，问题也常常综合了等差数列、等比数列、极限和数学归纳法。 探索性问题是高考的热点，经常出现在数列答题中。 本章包含了丰富的数学思想，主观问题重点考察了函数和方程、变换和归化、分类讨论等重要思想，以及分配方法、变元法、保留系数法等基本数学方法。近年来，高考数列的相关命题主要有以下三个方面： (1)数列本身的相关知识，其中等差数列和等比数列的概念、性质、通项式及加法式。 (2)数列与其他知识的结合，其中数列与函数、方程式、不等式、三角、几何的结合。 (3)数列的应用问题，主要以增长率问题为主。 问题难度有三个层次，小题大多以基础问题为主，答题大多以基础问题和中级问题为主，只有部分地方以数列和几何综合和函数、不等式综合为最后问题难度较高。一、知识整合1 .在把握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统把握等差数列和等比数列综合问题的规律，加深数学思想方法在解题实践中的指导作用，运用数列知识和方法解决数学与实际生活中的关系问题2、在综合问题和探索性问题解决实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，通过各种知识的联系，形成更完整的知识网络，分析问题，提高解决问题的能力进一步培养学生的阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题，培养解决问题的能力3、培养学生分析问题意义，富于联想，适应新背景，以新的提问方式培养学生提高函数思想、方程思想研究数列问题的自觉性，培养学生自主探索的精神和科学理性思维二、方法技巧1 .判断和证明数列是等差数列常有三种方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证相同的常数。(2)通项式法：=(n-1)d=(n-k)d则为等差数列若然等比数列。(3)项式法：验证项式的成立。2 .等差数列中值最高的问题经常用邻接变量法求解(1)在0、d0情况下，满足的条目数m为最大值.(2)0、d0时，满足的条目数m取最小值。在解包含绝对值的数列最高值问题时，要注意改变思想的应用。3 .数列加法的常用方法：公式法、裂项相消法、位相减法、反相加法等。三、注意事项1 .证明数列是等差或等比数列中常用的定义，通过证明得到。2 .解决有关等差数列和等比数列的问题时，“基本量法”是经常使用的方法，有时利用性质，使运算变得简单，但一般数列的问题多为等差、等比数列来求解。3 .注意与之间关系的转换。 这将是：=，=.4 .数列极限的综合问题形式多样，解题思路灵活，但不背离其宗旨，不背离数列极限的概念和性质，不背离数学思想的方法，只要能把握这两个方面，解题思路就能迅速相通。5 .综合问题的成败是审查问题，了解经过，给出信息表达，把握问题的本质，阐明问题的内在联系和隐含条件，明确问题解决的方向，形成问题解决策略四、例题分析例1 .已知数列a是公差d0的等差数列，其前n项之和为s(2)若将通过点Q(1，a )、Q(2，a )设为直线12，将l与l所成角度设为证明： (1)等差数列a的公差d0，因此Kpp是常数(k=2，3，n )。(2)直线l方程式为y-a=d(x-1 )，直线l的斜率为d .例2 .在已知的数列中，将其前项及设数列，求证明：数列是等比数列设数列，求证明：数列为等差数列求数列的通项式和前项和。分析： b和c项均与a项有关，因此a有S=4a 2，可从S-S探索问题解决的途径解： (S=4a，S=4a 2，从二式中减去，得到S-S=4(a-a )，即a=4a-4a (根据b的构造，如何表现b和b的关系是证明的关键，注意到增强一定的变形能力的训练)。a-2a=2(a-2a )，另外b=a-2a，因此b=2b 已知有S=4a 2、a=1、S=4a 2、解a=5、b=a-2a=3 根据和，数列b是最初的项为3、公比为2的等比数列，因此b=32。在n2情况下，S=4a 2=2(3n-4) 2； 在n=1情况下，S=a=1也适用于上述式.由以上可知，求出的加法运算式为S=2(3n-4) 2。说明：1.本例主要通过等差、等比数列的定义证明一个数列是等差、等比数列，求出数列通项和前项和。 解决本问题的关键是从条件中得到递归公式。2 .解决综合问题必须总结整体。 特别注意前面问题的结论作为下面论证的已知条件，可以在后面解答的过程中及时应用。例3.(04年浙江)数列an的前项之和Sn=(an-1) (n )、(1)求出a1的a2； (2)求证数列an为等比数列。解： ()的理由，亦可获得(ii)n1的情况所以在第一项，是公比的等比数列例4、(04年重庆) a1=1、a2=、bn=an1-an(n=1、2、2、- )，求出bn=an1-an(n=1、2- )为数列bn的公式，(2)求出数列nan的上位n项之和Sn。解： (I )原因所以bn是公比的等比数列，而且(II )由意识到可以得到设数列的前n项之和为Tn例5 .在直角坐标平面上具有一个点阵列，对于所有正整数，该点都位于函数的图像上，并且横轴构成公差的等差数列，包括：求点的坐标抛物线列中的各个对称轴垂直于轴，以第1条抛物线的顶点为中心，并且作为过点，设与抛物线相接的直线的倾斜度，则求得如下。等差数列的任一项，其中最大数，作为求得的通项式。解： (1)(2)的对称轴垂直于轴，顶点为.的方程式代入上面的表达式可获得以下表达式：，=(3)是t中最大数设公差为，由此得到说明：本例是数列和解析几何的综合问题，难易度高的(1)、(2)两个问题使用几何知识进行计算，解决(3)的关键是求出数列的公差。例6 .数列，而且满意求数列的通项式设置、要求如果=的话，由于存在最大的整数，对于任意成立吗？ 如果存在，求得的值如果不存在，请说明理由。解： (1)从题意，为等差数列设定公差借题意而得(2)喂有时候事故(3)任意成立，即任意成立的最小值，的最大整数值为7。也就是说，存在最大整数的对是任意的，并且全部是说明本例复习数列通项、数列总和以及数列和不等式的综合问题。五、加强训练(1)用基本量的方法解决问题1，(04年浙江)已知等差数列的公差为2，a1、a3、a4成为等比数列时，a2=(B )A -4 B -6 C -8 D -10战斗机(2)用代入法求解2、(96年)等差数列an的前m项之和为30，前2m项之和为100时，其前3m项之和为(c )A 130 B 170 C 210 D 2603、(01年)以an为公比q的等比数列，Sn为an的上位n项和，Sn为等差数列时q=_1_4、若设数列an的前因之和Sn=(对于所有的n1 )，且a4=54，则a1=_2_(3)用整体化方法解决问题5、(00年)已知等差数列an满足a1 a2 a3 a101=0时，有(c )a1a1010b2a1000c3a99=0da51=516、(02年)若等差数列前3项之和为34，最后3项之和为146，所有项之和为390，则该数列的项数为(a )A 13 B 12 C 11 D 107、(03年上海)等差数列an中a5=3，a6=-2，a4 a5 a10=-49(4)用函数法求解8、(04年天津)知道数列an，但“对于任意nN，Pn(n，an )点都在直线y=x 1上”是“an为等差数列”的(b )。a必要条件b充分条件c必要条件d既不是充分也不是不必要条件9、(99年上海)等差数列an满足3a4=7a7，而且a10、Sn为an的前n项和，Sn取最大值时，n=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _10、(01年上海)已知数列an中an=2n-7、(nN )、-=_153_(5)用递归方法解决问题11、(03年全国)是an以最初的项为1的正项数列，(n 1)a2n 1-nan2 an 1an=0，求出它的通式为_1/n12、(04年全国)已知数列an满足a.1=1、an=a12a3-(n-1)an-1(n1 )时，an的通项an=_a1=1； an=n213、(04年北京)定义了“等和数列”。 如果一个数列中，每一个项与其下一个项的和是相同的常数，则该数列被称为等和数列，该常数被称为该数列的公和。众所周知，数列是等和数列，公和为5时，该数列的前n项和的计算公式为_n为偶数时， n为奇数时14. (04年全国)在已知数列an中，a1=1、a2k=a2k-1 (-1)K、a2k 1=a2k 3k，其中k=1、2、3、。(1)求出a 3、a5的(2)求出的an的通项式解： (I)a2=a1 (-1)1=0、a3=a231=3. a4=a3 (-1 )2=4a5=a432=13，因此a3=3、a5=13 .(ii )因为a2k1=a2k3k=a2k-1 (-1 ) k3k所以a2k 1-a2k-1=3k (-1)k同样，a2k-1-a2k-3=3k-1 (-1)k-1