数学轨迹问题的题型与方法人教

高考数学轨迹问题的题型与方法主要内容：轨迹与轨迹方程轨迹方程数学等式轨迹条件 坐标化 （探求轨迹：利用特殊化（特殊点、位置），画草图分析，寻找轨迹）2求轨迹方程的一般步骤：建系 设点 列式 化简 检验较易忽略3轨迹方程的求法（1）已知曲线类型待定系数法（2）未知曲线类型定义法直接法代点法交轨法参数法 如直接法：（解题思路）轨迹条件相关曲线性质设动点坐标变量范围轨迹方程轨迹条件相关曲线性质参数表示动点坐标又如参数法：（解题思路）选定参数设动点坐标变量范围讨论消参化普通方程4注意轨迹的纯粹性与完备性-在求出曲线的方程之后要仔细地检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”将其找回。范例及其解法：已知圆C：(x1)2+y2=1,过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程。解题点拨：考虑问题的角度不同，可有多种解法。解法1：（直译法）QPM设OQ为过O的任一弦，点P（x,y）为弦OQ中点 y ，则由平几知识得CPOQ，设OC中点为M O C x 则 |MP|=|QC|=（直译法） 于是有（x2+y2= (ox1)解法2：（定义法）OPC=90,动点P在以M（）为圆心，OC为直径的圆上，则 |OC|=1，由圆方程可得：（x2+y2= （ox1）解法3：（参数法）设动弦OQ所在直线方程为y=kx，将它代入圆C方程得：(x-1)2+k2x2=1，即(1+k2)x2 2x=0 （*） 设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦OQ的中点为P(x,y)则x1, x2是方程（*）的两根， ， 而y=kx= 由、消去k，整理得 解法4：（代入法）（即相关点法） 设圆C的任一点Q(x0，y0)，弦OQ的中点P的坐标为(x,y)则 又因为(x0-1)2+y02=1，所以有(2x-1)2+4y2=1 即所求的轨迹方程是例2如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若AMN是锐角三角形，|AM|=，|AN|=3且|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线C的方程。xl2NBAMOy（图1）l1l2NBAM （98全国高考理工试题）思路1：先判断曲线类型，后求方程。解法1：（已知曲线类型-待定系数法） 以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，O为坐标原点，建立如图1所示平面直角坐标系。 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点。设曲线段C的方程为 y2=2px (p0) (xAxxB, y0) 其中xA, xB分别为A、B的横坐标， p=|MN|，M（，0），N（，0）由|AM|=，|AN|=3得 解由、组成的方程组得 代入并由p0解得 或 因为AMN是锐角三角形，故应舍去，p=4，xA=1.由点B在曲线段C上，得 综上得曲线段C的方程为 y2=8x (1x4，y0)解法2：（定义法）xNBAMy（图2）EDF分别以l1、l2为x轴、y轴，M为原点建立如图2所示平面直角坐标系。作AEx轴，ADy轴，BFy轴，垂足分别为E，D，F。设A（xA,yA）,B(xB,yB)，N（xN,0）依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3yA=|DM|= 由于AMN为锐角三角形，故有 xB=|BF|=|BN|=6.设点P（x,y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合(x,y)| (x - xN)2+y2=x2，xAxxB，y0 故所求曲线段C的方程为 y2=8(x-2) (3x6，y0)如图，在直角坐标系中，已知矩形OABC的边长分别为OA=a，CO=b，点D在AO延长线上，DO=a，设M、N分别是OC、BC边上的动点，且NOAxDMPBCy，求直线DM与AN的交点P的轨迹方程。 解题点拨：本题属多动点轨迹问题。 目标：求出交点P的坐标。 轨迹类型：交点轨迹 轨迹条件：应抓内分比，定两线。解：设 则则M（0，），N（，b），于是直线DM方程为 直线AN方程为 由、消去得 y2= 整理得 直线DM与AN的交点P的轨迹方程 （0xa，0yb）已知抛物线y2=2x与直线y=x+b相交于A、B两点,ABC是等边三角形, ACBOMx y 求顶点C的轨迹方程,并说明轨迹形状;若SABC=4,求点C的坐标.解题点拨：符合题意的b必须在允许值范围内变化，即保证直线与抛物线有两个不同的交点。注意运用等边三角形性质找等量关系。解：（1）如图，设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1) (x2，y2)，（x，y），AB的中点为M（x0，y0）。 由得 x2+2b1x+b2=0 由=4(b1)24b20 得 b x0 =1b, y0 =x0+b=1 M（1b，1） 由CMAB得kCM=1. 即 b=2xy 又|CM|= =|x(1b)| ，|AB|=x1x2=2 由|CM|= 得 由、消去b得 (y-4)2=6(x+1) (x)故顶点C的轨迹是以点(-1,4)为顶点，开口向右的抛物线，除去点（，7）和（，1）。（2）由SABC=，解得 由、得 解得 或故点C的坐标为 或。OAxyBC例5.（99高考题）如图，给出定点A（a,0） (a0)和直线l: x=-1.B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。点拨：本题属双动点的轨迹问题，一般要构造两个方程才能解决。由于A的坐标为(a,0)，若假设B点的坐标为(-1,b)，则直线AB与OB的方程就可求出。注意到C点在直线AB上，那么C点坐标满足直线AB的方程，可建立第一个方程；又因为C在AOB的平分线上，它到OA、OB距离相等，则可构造出第二个方程，于是消去其中的参数b，则问题的思路就清楚了。解法1：设C的坐标为(x,y)，B点坐标为(-1,b) 因为OC平分AOB，所以点C到OA、OB的距离相等，而OB的直线方程为bx+y=0，由点到直线的距离公式得 又因为点C在直线AB上，所以有 (0xa)由x-a0得 将式代入式，得 整理得 y2(1 a)x2 2ax+(1+a)y2=0 若y0，则 (1 a)x2 2ax+(1+a)y2=0 (0xa) 若y=0，则b=0，AOB=，点C的坐标（0，0）满足上式。综上可得点C的轨迹方程是 (1 a)x2 2ax+(1+a)y2=0 (0xa) （）当a=1时，轨迹方程化为y2=x (0x1) 此时，方程表示抛物线弧段；（）当a1时，轨迹方程化为 （0xa） 所以，当0a1时，方程表示双曲线一支的弧段。例6（上海高考试题）动直线l过定点A（2，0）且与抛物线y=x2+2相交于不同的两点B和C，点B和C在x轴上的射影分别为B1和C1，（如图）P是线段BC上的点，并满足关系式|BP|：|PC|=|BB1|：|CC1|. 求POA的重心G的轨迹方程。解题点拨：这是一道较复杂的轨迹综合题。动点G的位置取决于P点的位置，即P是G的相关点。又P在动直线l上，l绕定点A(2,0)而动，根据选参规律（考虑建式难易，考虑消参繁简），用斜率k为参数较为合理，又相关点P在运动时，还要满足这一比值，这又出现了另一参数，为多元参数。B1OABPCC1xy 解：设直线l的斜率为 k，显然l与x轴垂直时，l与抛物线不可能有两个交点， 故的l方程是 y=k(x 2) 将它与抛物线方程联立，消去y，整理得x2 kx+2+2k=0 (*)此方程有两个不同实根的充要条件是 =k2 4(2+2k)=k2 8k 80 解得 k4+2 设B、C两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1，x2是方程（*）的两根，由韦达定理得x1+x2=k，x1x2=2+2k 令，则，则有 设P(x0，y0)，由定比分点坐标公式得 ， 设重心G的坐标为(x，y),则 将、分别代入，化简得重心G的轨迹的参数方程为 由参数方程的第二式得代入得或 解之，并注意y4，得或 因此POA的重心G的轨迹方程是 12x-3y-4=0 其中 （它表示一条除去端点及其上一点（，4）的线段。）例7、（2003年江苏高考题）已知常数，向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.解：=（1，0），=（0，a）， +=(，a）， 2=(12a).因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数，得点的坐标满足方程.整理得 因为所以得： （i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.点评：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。巩固训练：1（上海2005）直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足=4。则点P的轨迹方程是 x+2y-4=0 2(2005重庆卷)已知，B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为。曲线的焦点分别为F1，F2，离心率为2，（）求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；（）若A、B分别为l1，l2上的动点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线。4在RtABC中，CBA=90，AB=2，AC=。DOAB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，试确定实数的取值范围2.解：（1）建立平面直角坐标系, 如图所示 . A O B Cyx| PA |+| PB |=| CA |+| CB | = 动点P的轨迹是椭圆 . 曲线E的方程是 . （2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得 设M1（, 则 i) L与y轴重合时， ii) L与y轴不重合时， 由得 又, 或 01 , . 而 , , 的取值范围是。5如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.（福建2004高考试题）本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力。解：（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y10，y20.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl= = ，直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中点 x0=， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，则x0=kl=，x1= ，将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).（）设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，则 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.当b0时，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k2-2b.所以=2.当b0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b= x1x2.=+=+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是（2，+）.6（2005辽宁高考卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以3分（）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，由，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，记，由知，所以14分7已知点G是ABC的重心，A(0, 1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足|=|， (R)求点C的轨迹方程； 若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足|=|，试求k的取值范围分析 本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系。通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法。按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化。解析 设C(x, y)，则G(,)(R)，GM/AB,又M是x轴上一点，则M(, 0)又|=|，整理得，即为曲线C的方程当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P，Q，根据椭圆对称性有|=|当k0时，可设l的方程为y=kxm，联立方程组 y=kxm消去y，整理行(13k2)x26kmx3(m21)=0（*）直线l和椭圆C交于不同两点，=(6km)24(13k2)( m21)0，即13k2m20 (1) 设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则x1, x2是方程（*）的两相异实根，x1x2=则PQ的中点N(x0, y0)的坐标是x0=，y0= k x0m=，即N(, )，又|=|，kkAN=k=1，m=.将m=代入(1)式,得 13k2()20（k0），即k21，k(1, 0)(0, 1)综合得，