论台球碰撞中的运动问题

论台球碰撞中的力学问题摘要：本文利用刚体平面平行运动的有关理论对（台球）运动中的一些力学问题作了具体的分析，首先以在理想状态下台球在桌面上的弹性碰撞为切入点，思考并找到计算两球碰撞后运动状态的方法；再由刚体平面平行运动知识对（台球）在桌面上运动时的速度和加速度分别作了具体的分析和推理。 关键词：台球；碰撞；平面运动；速度；加速度；相互作用力；目录引言41 理想状态下母球1与目标球2的弹性碰撞41.1 母球1与目标球2发生正碰41.2 目标球2与母球1的斜碰51.3 母球与目标球相切52 球杆击球后台球的运动53 受杆冲击后台球上各点速度的分析63.1 台球在运动中的速度分析63.2 球杆击球后在桌面上母球任一点速度的两种计算方法的讨论73.2.1 运动分解法(简称基点法)73.2.2 瞬时速度中心法(简称瞬心法)94 在运动中台球上各点加速度的分析104.1 运动分解法(或基点法)104.2 瞬时加速度中心法115 小结126 参考文献12引言 台球作为一项绅士运动广为流传，传入我国后，到现在台球已经在我国广为普及。我作为一个台球爱好者，在学习了力学之后，对台球运动中蕴含的许多碰撞和刚体平面平行运动的理论产生了浓厚的兴趣也进行了简单的分析研究。本文就台球碰撞及运动中所包含的一些力学问题作了简单的分析。1 理想状态下母球1与目标球2的弹性碰撞目标球2起初在桌面上处于静止状态，母球1以（质心速度为）的速度与静止的靶球2发生碰撞（弹性碰撞），两球质量都为m且半径均为R。 设的方向与目标球球心间的距离为d ,碰撞后母球1与目标球2的质心速度分别为、。下面我们对两球的碰撞作相应的讨论。由于两球所作碰撞时间极短几乎没有动量和能量的损失弹性碰撞，由动量及能量相关守恒律知： 解得(即垂直于)，故母球1与目标球2碰撞完成并彼此离开的时候，两球的即速度总是相互垂直。当靶球2被母球1撞击时，在碰撞瞬间，母球1将其一部分动量分给了（变慢的）靶球2，而将剩余部分动量传送给目标球，两球速度大小的改变量与两球滚动的距离成正相关（转化法，利用为代替速度大小）。下面以平面碰撞来推导公式，只单作纯地计算母球动量的传递方式及传递的量，不考碰撞产生的热所消耗的能量、空气阻力对球能量的消耗，球发生转动的能量以及桌面阻力对球消耗的能量，如图1所示：V图1 （1） （2）1.1 母球1与目标2球发生正碰当d=0时，母球与目标球发生的是正碰，母球1的速变为零，目标球2以母球1原来的速度沿着母球1的运动方向继续运动。 得 ： 即：要使目标球落袋，母球应具有的质心加速度大小为。 1.2 目标球2与母球1的一般斜碰当0 d 7/5R时，母球既滑动又滚动的运动，且滑动摩擦力使质心产生加速度，使之质心的速度增加，并使它的转动角速度变小，直到母球作纯滚动为止。(3）当h7/5R时，母球作既滑动又滚动的运动，滑动摩擦力产生转矩产生角加速度使它转动角速度加快、质心速率则会由于总能量不会增加而变慢，直到母球只滚动而没有滑动。3 台球上个点在杆撞击后的速度分析3.1 台球在运动过程中的速度的分析台球可以看作刚体，利用其定义：（刚体的平面平行的运动：刚体内任一点与固定平面始终保持一定距离的运动称为刚体平面平行运动）。在球杆击球后，台球在桌面上做的是平行运动，遵循其相关的规律。由刚体平面运动的特性可得，作一平面L与固定平面(台球桌面)平行，与台球相交。假设该平面内的点运动在其自身所在平面内，在该平面内作坐标系OXY。 xoyABGC图3只要确定图形,上任意一条线段AB的位置，就可确定图形C,在坐标系中的具体位置。因为图形上任何第三点至A、B两点的距离都不变，当线段AB的位置确定后，其余各点的位置也就完全确定了。线段AB的位置完全由A点的坐标、（或矢径）和自ox轴到线段AB所量的角所确定。当图形运动时，角、坐标和全部是随时间t变化的连续函数，即： 由上式可以推出台球在任一时刻的位置及任何一点的运动情况。OyxABM在这儿用点的相关的运动知识。任意点M的矢径如图4所示： （1）表示M点对于A点的矢径。因台球不会变形，的模和角均为常数（C），M点的方程为： （2）图4将上式对t求一次导，可得出点M的速度V,在各坐标轴上的投影： （3） 上式对时间求导,在坐标轴上的投影表示为： (4) 由此可知，从点的运动学看，只要知道台球的运动情况及表达式，用求导函数的方法就可求得台球上任一点的速度与角速度。所求得的结果的物理意义可作如：从以上式子中得知，式的右端第一个数表示加速度，以后各项表示图形上M点相对于以A点为原点的平动坐标系的运动。因此，用点的复合运动的方法来分析台球运动的问题。 由刚体平面运动方程： 可以得到两种特殊情形：a、当常数时，而、。则线段AB的方向和位置保持不变。这表示台球在平面内作平动。b、当和都为常数，而角随时间变化，即。这表示图形绕垂直于平面的固定轴A转动。3.2 球杆击球后在桌面上母球任一点速度的两种计算方法的讨论3.2.1 运动的分解随着母球运动的分解，对母球上任意点的运动也作相应地分解，利用点的复合运动的有关方程及分析方法，可以求出母球1上任一点的速度。AM如图5，选取运动的母球上任一点A选为基点来分解运动。令某A点瞬时的线速度，母球的瞬时角速度为，图5，母球上任一点M的绝对速度为：因动坐标系随基点平动，故质心速度。又因M点的相对运动是以基点为中心的圆周运动，故速度，是由基点A引向M点的矢径，的方向与垂直。因此，M点的速度为 此式表明母球上任一点M的速度等于基点的速度和M点对以基点为原点的平动坐标系的相对速度的矢量和。C因母球中心O点速度顺心是已知的，故选O点为参考点。OABD建立平动坐标系O,将母球的平面运动分解为平面运动和转动，则母球上任一点的运动可相应的加以分解，（质量中心）运动为动坐标系O,随O点的平动。图6根据相关定理，母球上点M的速度可表示成： 相对速度大小为R ，方向垂直于半径。对于，利用母球无滑动的滚动的条件，它与地面的接触点C的速度为零，即 因此 由图可知，为角速度。求得后，各质点的速度就很容易求得，其关系如下： 各点运动的方向如上图6所示。3.2.2 瞬时速度中心法，简称瞬心法AC用式求台球上任一点速度时，发现在垂直于A点的速度矢量的直线AC上必有一点C在此瞬时的速度为零，如图7所示，则由A到C点的矢径满足以下条件： 或写成 图7 ，CMNC点称为台球的瞬时速度中心，简称瞬心。如果在此瞬时选择瞬心C为基点来分析台球的运动，那么求母球上任一点的速度的方法就可以简化。因此瞬时基点速度，式就变为 这里是M点对于瞬心C的矢径，如图7所示，是台球的角速度。 换句话说，这时质心速度为零，只剩下图8台球绕瞬心C转动的相对速度；或者说台球的瞬时运动是绕瞬心C以角速度的转动。此瞬时台球上各点速度的分布情形如右图8所示，它与刚体绕定轴转动时各点速度的分布情形相同。但台球的运动与刚体绕定轴转动并不相同，因C点不是固定点，它只是在这一瞬时速度为零。因为不同的瞬时，瞬心C的位置不同，故台球的平面运动可以看成是绕一系列的瞬心作瞬时转动。OABCD如图9，台球与地面相接触的C点的速度为零，C点即台球的瞬心。利用已知速度，可求得台球的角速度为 为顺时针转向。台球上B的速度方向垂直于连线CB，大小为,表示从C点到B点的距离。图9 同理，可求的台球边缘上其他各点的速度，结果同前。4 台球上各质点加速度的分析4.1 运动分解法，或基点法应用平面运动知识，台球上任一点M的运动可表示为 将上式对时间求一次导数，即可求得M点的速度变化快慢程度+。OM图10 这里表示基点A的加速度，表示台球的角加速度，表示M点在动坐标系，O中的相对矢径，如图10，因动坐标系做平动，所以上式中对求绝对导数时不必考虑动坐标系本身的运动，或者说，这就是M点对平动坐标系,O的相对速度，它等于，代入上式，得 其中和分别表示。M点相对平动坐标系作圆周运动的切向加速度和法向加速度。由此得 上式表明台球上任一点M的加速度等于基点的加速度和M点对以基点为原点的平动坐标系的相对切向与法向加速度的矢量和。台球的角加速度与角速度有相似性质，它们都与基点的选择无关。的正负号也按右手螺旋规则确定。当0时，因，相对切向加速度的大小为，相对法向加速度的大小为。合成后的相对加速度OM 设相对加速度与直线OM的夹角为，则 图11OM线段上各点相对加速度分布见图11.OR 如图12，设台球质心O在某瞬时的速度为，加速度为，球半径为R。选O点为基点，则台球边缘上任一点M的加速度为 当台球作无滑动的滚动时，台球的角速度图12在任何瞬时均满足,若把 和看作是时间t的函数，此式任然成立。对此式求导数，从而求得台球的角加速度为顺时针转向。求得台球的角加速度后，各点的即可求得。按矢量加法即可求得球边缘上各点的加速度如下： 各点的滚动加速度、相对加速度如图所示，按矢量合成后，各点的绝对加速度如图12。4.2 瞬时加速度中心法研究台球上各点加速度与研究速度情形相似，任一瞬时台球上总有一点加速度为零，这点称为台球的瞬时加速度中心，用表示，如图13：根据加速度合成定理，不难求出此点的位置。或 图13得 A点加速度矢量顺着方向转一角度，然后测量距离，即求得台球的瞬时加速度中心点的位置。因，若以此点为基点，得 式中和分别是M点相对于以为基点的平动坐标系作圆周运动的切向加速度和法向加速度。,而MC因此 。加速度与直线的夹角，由确定。瞬时加速度中心与瞬时速度中心是不同的两个点，设台球的瞬时速度中心为C，瞬时加速度中图14心为，如图14所示。球上任一点M的速度可用瞬时速度中心求得为，已知 M点的加速度可用瞬时加速度中心求得为,与线成角，已知 由点的运动学已知，M点的速度矢量总是沿此点运动轨迹的切向方向，故直线MC沿M点运动轨迹的法线方向。因C点与点不重合，相对切向和相对法向加速度和并不分别沿M点的轨迹的切向和法向，因此它们并不是M点切向和法向加速度。只有把M点的加速度沿速度矢量和直线CM的方向加以分解，所得到得 和才是M点的切向和法向加速度。5 小结本文首先对台球在桌面上的碰撞运动，用动量守恒定律和机械能守恒定律引出了对台球运动中的力学问题的讨论，并用刚体的平面平行运动对台球运动中的速度和加速度作了具体的讨论和计算，对预示母球与目标球碰撞后，各自的运动方向奠定了很好基础，注意灵活运用力学知识，必将有益于提高台球运动的水平。6 参考文献1 罗远祥，官飞，关冀华,等.理论力学（上册）M.高等教育出版社.1988.279-309.2 周衍柏.理论力学M.高等教育出版社2006.194-204.3 华东水利学院工程学教研室理论力学编写组.理论力学M.高等教育出社.1984.330-349.4 胡守信.理论力学M.高等教育出版社.1986.114-135.5 漆安慎，杜婵英.力学M.高等教育出版社.2006.214-218.6 梁昆淼.力学M.人民教育出版社.1979.227.7 叶善专.台球的运动和刚体平面平行运动J. 工科物理, 1994,2(7):17-19.8 王云英.台球运动中的力学问题J. 天津师大学报（自然科学版）, 1996,3(16):65-69.9 Bruce G. 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