中考专题----分类讨论题(23页)

中考专题-分类讨论题类型之一 直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.例1（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A50B80C65或50D50或80【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50角是顶角时，则（18050）2=65，所以另两角是65、65；（2）当50角是底角时，则180502=80，所以顶角为80。故顶角可能是50或80.答案：D.同步测试：1.(乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）A9cmB12cm C15cmD12cm或15cm2. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处，(1)求证：BE=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等例2.（湖北罗田）在RtABC中，C900，AC3，BC4.若以C点为圆心， r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是_ _【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3r4。【答案】 3r4或r2.4同步测试：3.（上海市）在ABC中，AB=AC=5，如果圆O的半径为，且经过点B、C，那么线段AO的长等于 4.（威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB11厘米，A，B的半径均为1厘米A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r1+t（t0） （1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？ 类型之三 方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.例3.（上海市）已知AB=2，AD=4，DAB=90，ADBC（如图）E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点（1）设BE=x，ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与BME相似，求线段BE的长【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以为顶点的三角形与相似”，一定要注意分类讨论。【答案】（1）取中点，联结，为的中点，又，得；（2）由已知得以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，即解得，即线段的长为；（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得由此可知，另一对对应角相等有两种情况：；当时，易得得；当时，又，即，得解得，（舍去）即线段BE的长为2综上所述，所求线段BE的长为8或2 同步测试：5.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由同步测试答案：1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角形【答案】D2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，从而可求得BE=BF；第(2)小题要注意分类讨论.【答案】（1）证：由题意得，在矩形ABCD中，（2）答：三者关系不唯一，有两种可能情况：（）三者存在的关系是证：连结BE，则由（1）知，在中，（）三者存在的关系是证：连结BE，则由（1）知，在中，3.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，可得BC边上的高AD为4，圆O经过点B、C则O必在直线AD上，若O在BC上方，则AO=3，若O在BC下方，则AO=5。【答案】3或54.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.【答案】解：（1）当0t5.5时，函数表达式为d11-2t； 当t5.5时，函数表达式为d2t -11 （2）两圆相切可分为如下四种情况： 当两圆第一次外切，由题意，可得112t11t，t3； 当两圆第一次内切，由题意，可得112t1t1，t； 当两圆第二次内切，由题意，可得2t111t1，t11； 当两圆第二次外切，由题意，可得2t111t1，t13 所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切 5.【解析】解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分结合这两个性质来解决在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类这样才能做到不重不漏解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决【答案】（1）；（2）在中，设点的坐标为，其中，顶点，设抛物线解析式为如图，当时，解得（舍去）；解得抛物线的解析式为如图，当时，解得（舍去）当时，这种情况不存在综上所述，符合条件的抛物线解析式是（3）存在点，使得四边形的周长最小如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点，又，此时四边形的周长最小值是、专题精讲： 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行、典型例题剖析【例1】（南充，11分）如图321，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线直线AB与双曲线的一个交点为点C，CDx轴于点D，OD2OB4OA4求一次函数和反比例函数的解析式解：由已知OD2OB4OA4，得A（0，1），B（2，0），D（4，0）设一次函数解析式为ykxb 点A，B在一次函数图象上， 即则一次函数解析式是 点C在一次函数图象上，当时，即C（4，1） 设反比例函数解析式为 点C在反比例函数图象上，则，m4故反比例函数解析式是：点拨：解决本题的关键是确定A、B、C、D的坐标。【例2】（武汉实验，12分）如图322所示，如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60角。以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D. （1）求直线l的解析式；（2）将O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当O2第一次与O2相切时，直线l也恰好与O2第一次相切，求直线l平移的速度；（3）将O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为O2的直径，过点A作O2的切线，切O2于另一点F，连结A O2、FG，那么FGA O2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。 解（1）直线l经过点A（12，0），与y轴交于点（0，），设解析式为ykxb，则b，k，所以直线l的解析式为. （2）可求得O2第一次与O1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。在5秒内直线l平移的距离计算：81230，所以直线l平移的速度为每秒（6）个单位。（3）提示：证明RtEFGRtAE O2于是可得：所以FGA O2，即其值不变。点拨：因为O2不断移动的同时，直线l也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况【例3】（衢州，14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标解：(1)过点A、c直线的解析式为y=x(2)抛物线y=ax25x+4a顶点N的坐标为(，a)由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，a 2，解这个不等式，得a(3)设EF=x，则CF=x，BF=2x在RtABF中，由勾股定理得x= ，BF= 【例4】（杭州，8分）在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得AOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法) 解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得和；以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得，和；作OA的垂直平分线交坐标轴得和。点拨：应分三种情况：OA=OP时；OP=P时；OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点、同步跟踪配套试题（60分 45分钟）一、选择题（每题 3分，共 15分）1若等腰三角形的一个内角为50则其他两个内角为（ ） A500 ，80o B650， 650 C500 ，650 D500，800或 650，6502若 A5或1 B5或1; C5或1 D5或13等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ） A5cm B.3cm C5cm或3cm D不确定4若O的弦 AB所对的圆心角AOB=60，则弦 AB所对的圆周角的度数为（ ） A300 B、600 C1500 D300或 15005一次函数y=kx+b，当3xl时，对应的y值为ly9， 则kb值为（ ）A14 B6 C4或21 D.6或14二、填空题（每题3分，共15分）6已知_. 7已知O的半径为5cm，AB、CD是O的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，ABCD，则AB与CD之间的距离为_.8矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为_.9已知O1和O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm则O1和O2的圆心距为_.10 若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则的值是_.三、解答题（每题10分，共30分）11 已知 y=kx3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式12 解关于x的方程13 已知：如图328所示，直线切O于点C，AD为O的任意一条直径，点B在直线上，且BAC=CA D(A D与AB不在一条直线上)，试判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？、同步跟踪巩固试题（10分 60分钟） 一、选择题（每题4分，共20分）1已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（ ） A16 B16或 17 C.17 D17或 182已知的值为（ ） 3若值为（） A2 B2 C2或2 D2或2或04若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（ ） 5在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的交点的个数是（ ） A0个或2个 Bl个 C2个 D3个二、填空题（每题4分，共24分）6已知点P（2，0），若x轴上的点Q到点P的距离等于2，则点Q的坐标为_7已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是_8等腰三角形的一个内角为70，则其预角为_9要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有_种换法10 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_11 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_.三、解答题（56分）12（8分）化简.13（9分）抛物线 与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式14（13分）已知关于 x的方程. 当k为何值时，此方程有实数根； 若此方程的两实数根x1，x2满足，求k的值15(13分)抛物线经过点A (1，0) 求b的值； 设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长16（13分）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围 yxDNMQBCOPEA例一（2009年长春）如图，直线分别与轴、轴交于两点，直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向左运动过点作轴的垂线，分别交直线于两点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分（阴影部分）的面积为（平方单位）点的运动时间为（秒）（1）求点的坐标（1分）（2）当时，求与之间的函数关系式（4分）（3）求（2）中的最大值（2分）（4）当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围（3分）【参考公式：二次函数图象的顶点坐标为】分析：第二问求时与之间的函数关系式中正确合理分类是本题的关键所在。分界点应为正方形的边MN在直线AD上。解：（1）由题意，得解得C（3,）. （2）根据题意，得AE=t，OE=8-t.点Q的纵坐标为(8-t)，点P的纵坐标为t，PQ= (8-t)-t=10-2t.当MN在AD上时，10-2t=t，t=. 当0t时，S=t(10-2t)，即S=-2t2+10t.当t5时，S=(10-2t)2，即S=4t2-40t+100. （3）当0t时，S=-2（t-）2+，t=时，S最大值=.当t5时，S=4(t-5)2，t，S的最大值为. （4）4t6. 例二（2009年台州市）如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为（1）请直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；OABCDEyx（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积备用图分析:本题考查与二次函数有关的面积问题，而且是学生较为头痛的动点动形问题,在滑行过程中，需正确分析滑行全过程中各个顶点所处的特殊位置，找到分界点。【答案】（1）； （2）设抛物线为，抛物线过，图1 解得 （3）当点A运动到点F时，当时，如图1， ， 图2； 当点运动到轴上时，当时，如图2， ， ； 当点运动到轴上时，图3当时，如图3， 图4 = （解法不同的按踩分点给分）（4）, = = 类型二 与几何有关的分类讨论例三 (2009年上海市)在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为（1，0），点的坐标为（0，4），直线轴（如图7所示）点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线CM相交于点D，联结OD（1）求的值和点D的坐标；（2）设点P在轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的与外切，求的半径CMOxy1234图7A1BD分析：若POD是等腰三角形则有三种分类情形。【答案】（1）点B与点（1，0）关于原点对称，B（1，0）直线（为常数）经过点B（1，0）b=1在直线中令y=4，得x=3D（3，4）（2）若POD是等腰三角形，有三种可能：i）若OP=OD=，则（5，0）ii）若DO=DP，则点P和点O关于直线x=3对称，得（6，0）iii）若OP=DP，设此时P（m，0），则由勾股定理易得，解得，得（，0）（3）由（2）的解答知，i）当（5，0）时