微积分(下)模拟试卷二

杭州商学院微积分(下)模拟试卷(二)一、填空题（每小题2分，共20分）1、 .2、 .3、 .4、已知级数收敛,则q的范围是 .5、已知幂级数的收敛半径是R,则的收敛半径为 。6、 。7、设,则 .8、设,则 .9、设D由,及x轴所围, 则 .10、微分方程的通解是 .二、单项选择（每小题2分，共10分）1. （ ）.（A） （B） （C） （D）2. 设幂级数, 则其和函数 （ ）.（A） （B） （C） （D）3. 设, 则（ ）（A）（B）（C）（D）4. 微分方程满足的特解是（ ）（A） （B） （C） （D）.5. 若具有二阶连续偏导数,且(常数),则( )（A） （B） （C） （D）三、计算题（每小题7分，共49分）1、已知, 求.2、.3、判别级数的敛散性,若收敛,说明是绝对收敛还是条件收敛.4、已知, 求.5、设函数由方程确定,求.6、求.7、求微分方程的通解.四、应用题(8+9=17分)1、已知某产品的需求函数为, 其中Q为需求量, p为价格, x为广告费用,生产此产品的可变成本为元/件, 固定成本(不含广告费用)为元,求使利润达到最大时的价格与广告费用.2、设平面图形由曲线与所围,(1) 求此平面图形的面积;(2) 求此平面图形分别绕x轴与y轴旋转所得旋转体的体积.五、证明题(4分) 已知是正项数列, 数列满足:, ,证明: 若级数收敛,则级数也收敛.杭州商学院微积分(下)模拟试卷参考答案一、填空题(每小题2分，共20分)1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、8、, 9、 10、二、单项选择（每小题2分，共10分）1、B 2、D 3、A 4、C 5、D三、计算题（每小题7分，共49分）1、解: 设,两边从到积分, , 即,所以.2、解: 原式.3、解: ,所以原级数绝对收敛.4、解: ,所以.5、解: 两边微分, ,所以.6、解: 交换积分次序，原式.7、解: 特征方程 , ,对应齐次方程的通解为,设原方程的特解为 , 代入原方程, 得 ,所以原方程的通解为.四、应用题(8+9=17分)1、解: 利润函数,令,解得唯一驻点,由实际问题, 此时利润最大.2、解: (1) , 或 .五、证明题(4分)证: 因为, 而,由归纳法可知, , 所以 ,另一方面, ,从而,由正项级数的比较判别法, 由于正项级数收敛,则正项级数也收敛.杭州商学院微积分(下)模拟试卷(二)详解一、填空题(每小题2分，共20分)1、 .2、 .解：.3、 .解: .4、已知级数收敛,则q的范围是 .5、已知幂级数的收敛半径是,则的收敛半径为 。6、 .7、设,则 .8、设,则 .,.9、设D由,及x轴所围, 则 .10、微分方程的通解是 .解: .二、单项选择（每小题2分，共10分）1、（ ）.(A) (B) (C) (D)解: ,选(B).2、设幂级数, 则其和函数（ ）.(A) (B) (C) (D)解: ,选(D).3、设, 则（ ）(A) (B) (C) (D)解: 选(A).4、微分方程满足的特解是（ ）(A) (B) (C) (D)解: 分离变量, , 积分, ,将代入, 得, 选(C).5、若具有二阶连续偏导数,且(常数),则( )(A) (B) (C) (D)解: 选(D).三、计算题（每小题7分，共49分）1、已知, 求.解: 设,两边从0到2积分, , 即,所以.2、.解: 原式.3、判别级数的敛散性,若收敛,说明是绝对收敛还是条件收敛.解: ,所以原级数绝对收敛.4、已知, 求.解: , ,所以.5、设函数由方程确定,求.解: 两边微分, ,所以.6、求.解: 交换积分次序,原式.7、求微分方程的通解.解: 特征方程 , ,对应齐次方程的通解为,设原方程的特解为 , 代入原方程, 得 ,所以原方程的通解为.四、应用题(8+9=17分)1、已知某产品的需求函数为, 其中Q为需求量, p为价格, 设平面图形由曲线与所围,为广告费用,生产此产品的可变成本为元/件, 固定成本(不含广告费用)为元, 求使利润达到最大时的价格与广告费用。解: 利润函数,令,解得唯一驻点,由实际问题, 此时利润最大.2、设平面图形由曲线与所围,(1) 求此平面图形的面积;(2) 求此平面图形分别绕x轴与y轴旋转所得旋转体的体积.解: (1) , (2) , 或 .五、证明题(4分)已知是正